数学竞赛辅导2

数学竞赛辅导——认阅读自学，同上课一、基事实：1、全国联赛时间：一试：2014年14日（星期日）上午8：00—9：举行；二试：上午9401210举行今天是8月2日，距离联赛刚好还有六周时间。2、联赛说明：满分300分，包括一试和二试：一试满分120分含个填（每题8分+3个大（分别是20分二试(加试满分180分，含4个大题（分别是40、40、、分）3、获奖评估：今年广东省通过预赛人数人(估计与去年相当；2、去年广东省得奖情况如下：(估计与今年相当)全国一等奖：52人(154分—分)；全国二等奖149人全国三等奖258人4、对高考能的作用：自招中，同等条件下被优先考虑；二、注事项——以愿为前：提示：一切要给高考让路，请大家根据自身情况，准备决赛事宜。面对高三紧张的学习状况严格的作息实际结合同学们的实际情况从高考出发，为配合同学们的高考大局，年级组商讨后决定，不再做集中培训。但在这六周中，我会给大家印发一些指导性资料，并配以文字说明，形同当面授课，以供同学们自由研究，到9月13日晚，即决赛前一天的晚上我们会集训热身—2小时，准备第二天的决赛。三、战布局方面：1、先发2011,2012,2013年的联赛真题，附加评析、小结；2、除基本的个人能力积累，重点突破平面几何（至少拿20~30分）；3、强化三个专题：数列、不等式、解析几何；4、模拟题热身约2套，附加评析、小结5、9月13日晚，梳理所学，誓师大会

四、考范围、要求(了一下)一试：高考范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微积分初步不考。二试：1、平面几何基本要求：掌握高中数学竞赛大纲所确定的内容。补充要求：面积和面积方法。几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点-费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。三角形内到三边距离之积最大的点-重心。几何不等式。简单的等周问题。了解下述定理：在周长一定的边形的集合中，正n边形的面积最大在周长一定的简单闭曲线的集合中圆的面积最大在面积一定的n边形的集合中正边形的周长最小在面积一定的简单闭曲线的集合中圆的周长最小几何中的运动反射平移旋转复数方法向量方法。平面凸集、凸包及应用。2、代数在一试大纲的基础上另外要求的内容期函数与周期对值的函数的图像。三倍角公式三角形的一些简单的恒等式角不等式第二数学归纳法递归，一阶、二阶递归，特征方程法。函数迭代，n次迭代，简单的函数方程。个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。复数的指数形式，欧拉公式，棣莫佛定理，单位根，单位根的应用。圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理简单的初等数论问题除初中大纲中所包括的内容外还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。3、立体几何多面角，多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。正多面体，欧拉定理。体积证法。截面，会作截面、表面展开图。4、平面解析几何直线的法线式直线的极坐标方程直线束及其应用二元一次不等式表示的区域。三角形的面积公式。圆锥曲线的切线和法线。圆的幂和根轴。

5、其它：抽屉原理。容斥原理。极端原理。集合的划分。覆盖。梅涅劳斯定理。托勒密定理。西姆松线的存在性及性质(西姆松定理)。赛瓦定理及其逆定理。五、战布局1：近三年题》2013全国高中数学合竞赛一试试题一、填空题：本大题共8小题每小题分，64分1.设合｛2，，，｝，集合=

{，

A}

．则集合B中所有元素的和为___________2.在面直角坐标系中点A、在抛线物线的焦点．则=___________

y

x

上，满足

OAOB

，是抛3.在△中，已知

sin10sinC，cosAB，tan的为____________4.已正三棱锥P—底边为，高为2，其内切球半径___________5.设，b为数，函数

f(xax

满足：对任意，1]，有

|f()．ab的最大值为__________6.从1，，…，中任5个同的数，其中至少有两个是相邻数的概率___________7.若数

xy

，满足

2

，则

x

的取值范围是___________8.已数列

{a}

共有9项其中

a9

，且对每个i1，2，，｝均有ii

{2,1,}

，则这样的数列的个数__________二、解答题：本大题共3小题共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤9.（题满分16分正数

{}满足2

，=2，，，这里

x

…

．证明：存在常数0使得n

n

，n=1，，10.（本题满分20分面直角坐标系xOy中椭圆的方程为

22a22

，、分为椭圆的左、右焦点，、F分为椭圆的左、右焦点为圆上不同于12和的任意一点．面中个点、满足2

QAPA，QAPA112

，RFPF11

，

RFPF22

，试确定线段QR的长度与

b

的大小关系，并给出证明．

（题满分20分设函数

f(x)ax

，求所有的正实数对

(,)

，使得对任意实数x

，

，有

f()f()f()()

．2013全国高中数学合竞赛加试试题一、（本题满分40分如图是圆一条弦，为弧内一点，E、为线段上点，满足==FB.连接、PF并延长，与圆ω分别相交点、D·CDACBD（解题时请将图画在答卷纸上）二、（本题满分40分）给定正数，．数列{a}义如下a对整数，1记(1,2,…．证明：m1m

F

数列

{}

中有无穷多项是完全平方数．三本题满分50分考试共有试题，n个学生参加，其中m，为给定的整数．道

D题的得分规则是：若该题恰有个学生没有答

C对，则每个答对该题的学生得x分，未答对的学生得零分．每个学生的总分为其道的得分总和．将所有学生总分从高到低排列为p

…

，求

p

的最大可能值．四本满分50分

，

k

为大于1的数，

n

．证明：存在

个不被

整除的整数，若将它们任意分成两组，则总有若干个数的和被n整．点评数学竞赛文章简单来说，联的点一和试风差较，试为实接了考而二的拔得了大提。此造成的影响是一试对于高考练兵的作用贴切，而想通过联赛获得加分或者保送的难度加大果没有经过竞赛的系统培训在试中取得好成绩的难度大大增加。一试部分一填题共8题每题，总分分题号

12345678

考点

函数

解几

函数

不等式

解几

函数

数列

概率二、解题共三题，分分别为，2020，总分分。题号

9

10

11考点

解析几何数列二试部分

函数，不等式大：题，分别为分分，分50分，总分分题号考点

一平面几何

二不等式

三数论

四数论，抽屉原理从考点分布上来看，一试的知识点比例与高考极为接近，函数占据了30%-40%，考的重点和难点：数列，不等式，解析几何占据了其他的几乎所有题。从这里可以看出，联赛一试的准备和高考的准备并无矛盾之处至在一定程度上可以促进对于高考的复习以么说如平时数学基本功掌控常好的学生怕没有经过系统的竞赛培训也应该可以解决出绝大多数问题从这角来，们高学对联赛应有惧心，不该得赛不攀完可将备赛作种段的练，养己短间压下决考轴度目能，样模场是可多的另外一个值得说明的问题便是前在一试中一直占据一个题目的立体几何这次考试中没有出现个预测并非联改革的趋势有可能是知识点在本次联赛中的取舍并不能因此而忽视立体几何的学习。下对析个体题。填题2378在考中大致处于中档题的难度，凭借一般的高中知识可以轻松解决。第题一个函数迭代的问题，只要能找到在一层迭代中的规律，可解决。第题一个不等式问题式题在高考中很少单独考察题着眼于趋势的变化，发现这个数列的单调递减，问题也就迎刃而解了。第题过解析几何的面目察的是基本的运算能力数过般的代数运算即可得到正确解答。第题要细心讨考虑清楚所有的情况即可体操作时容易忽略一些情况。解题第题一个相对于高考层次较为复杂的解析几何问题其解决的思想和方法没有本质性的技巧，对计算的要求较高。

考题重合当然是本考题重合当然是本次联赛的一大失误解题第题实是本次考试中比较丢人的一个题目，用的是2008全国高考广东理科卷的最后一道大题这级别的比赛中本不应该出现陈题的现象一面来说是主办省份的失误，从另一方面来说，也正说明了高考和联赛一试贴近的趋势。解题最一略于竞赛函数面出现的不等式察了代数变形的技巧值不等式和柯西不等式的使用果没有经过竞赛培训这问题可能较为困难但这个题目的想法却仍然偏于陈旧，算不得较好的新题。总而言之份试卷的一试部分较为朴实发地体现了联赛一试和高考之间密切的关系只在具体选择题目的时候考虑不够周详张试卷看起来新意上有些不足去高2013年