数学第六章 实数的专项培优练习题及答案

．．c④．．c④数学第章实数的专培优练题(答案一、选题1．在求1的值时，小林发现：从第二个加数每一个加数都是前一个加数的6倍于是她设：S

……①然后在①式的两边都乘以6，：6

…②②-即5

，所以

6

.得出答案后，爱动脑筋的小林想：如果把6“a”(a≠0且a，能否求出1

的值?的答案是A．

a2018a

B．

a2019a

C．

a2018a

．

2．已知

表示不超过的最整数，例

令于的数A．

(是整例=1，下列结论错的是（B．C．

．

或13．设表最接近的整数x≠n+0.5n为数），则[

1]+[

]+[3…+[36]=A．132B146C161．6664．规定：求若干个相同的有理（均不等于）除法运叫做除方，如，(

等，类比有理数的乘方，我们把2记2③，读“的3次方，

(

记作(

④

，读作

的圈次”，般地，把

(a

记作，读作的次方，关于除方，下列说法错误的是（）A．任何非零数的圈次方都等于B．于任何正整数

，

④

)

2C．3

=4

④．数的圈奇次方结果是负数负数的圈偶次方结果是正.5．有四个有理数12，，﹣5，它们平均分成两组，假设，分一组2，5分为另一组，规定A﹣，知，数轴上原点右侧从左到右有两个有理数m、n，再取这两个数的相反数，那么，所有A的为（）A．m

B．mn

C．

．﹣6．若一个正数的方根为

a14

，则x）A．

B．

C．25

．7．下列各数中，属于无理数的（）

A．8．实数3,

B．3.1415926C．D．25的小关系是（）

πA．10

3

25

B．

3

25C．10

3

25

．

259．估计7+1的在（）A．到之间

B．到之

C．到5之

．到6之10．实数A．个

B．个

3

8中无理数的个数是（C．个．个二、填题11．用☆定一种新运算：对于任意有数和b规定☆b=

例如：☆

2

=2从﹣7654321468中任选两个有理数做ab(a≠b)的，并计☆，那么所有运算结果中的最大值_12．已知，a

_____．13．于有理数，，规定一种新运算：※，如2※×+．下列结论：①（﹣）4=﹣；②若※※，则a=b③方程（﹣）※的为；（※）※（※）其中正确的是（把所有正确的序号都填上）．14．果一个数的平方根和它的方根相等，则这个数______.15．义新运算a☆＝﹣2b则（2）＝_____．16．的方根为．17．的平根_算术平方根______,-8立方根_.18．a，

都是有理数，规定a

a3

b，

=__________19．

4330035.12，

x，x．20．xy分是

8

的整数部分与小数部分，则x-的值________．三、解题21．阅读第

已知，是有理数，并且满足等式

2b

，求，的．解：因为

3a2b

所以

3a

bxybxy2a3所以解得1336

已知，是有理数，并且满足等式x2

2y17，求的值．22．图，用两个面积为200cm

的小正方形拼成一个大的正方形．（）大正方的边长___________；（）沿着大方形边的方向裁出一个长方形，能否使裁出的长方形纸片的长宽之比为5：，面积为

？23．阅读材料）数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求的立方根．华罗庚脱口而出：．座的乘客十分惊奇，忙间其中计算的奥妙．你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的步骤试一试：第一步：∵3

1000，3

，

10001000000

，∴10

59319．∴能确定59319的方根是个两位数．第二步：∵59319的位数是9，9∴能确定59319的方根的个位数是9第三步：如果划去59319后的三位319得到数，而

27

3

593

64，3

59，得30

5931940由此能确定59319的立方的十位数是3，因此59319的方根是39（解答问题）根据上面材料，解答下面的问题（）110592的方根，写出步骤．（）空：3

21952．24．知

3y

的算术平方根是

，

2x

的立方根是2,37

的整数部分是

，求4xy的平方根．25．知b是方根等于本身的负整数，且ab满(

|=0，回答下列问题：（）直接写、、c的值a=_______，b=_______，（）、、在轴上所对应的点分别为A、，点是、之的个动包括

22B、两)，对的数为m，则化|m+

|=________．（）（）、2的条件下，点、、开在数轴上运动，若点、点C都以每秒1个单位的速度向左运动，同时点A以每秒个位长度的速度向右运动，假设秒过后，若点与C之间的距离表示为，点A与B之间的距离表示为，问：AB的是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变请求出AB−AC的值．26．算：(1)|

|3|3|(3)

172(4)3427

5

2

2【参考答案】***试卷处理标记，请不要除一选题1．解析：【解析】【分析】首先根据题意，设M=1+a+a+a+a+…+a，出aM的是多少然后求出aM-M的，即可求出M的值，据此求出1+a+a+a+a【详解】∵M=1+a+a2+a+a+2018，

+…+a

的值是多少即可．∴2+a

+a

+…+a2014+a

2019，②①可得aM-M=a2019-1，即（a-1）M=a2019，∴

aa

.故选：【点睛】考查了整式的混合运算的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．2．C解析：

【解析】【分析】根据新定义的运算逐项进行计算即可做出判.【详解】A.

=

=0-0=0，故A选项正确，不符合题意；B.

=

=

=

=

所以=

，故B选项正确，不符合题意；

=

当时

==0

=

=1此时设n为正整数，

，故选项错误，符合题意；当时，

=

当k=4n+1时，当k=4n+2时，当k=4n+3时，

===

所以

或，故选正确，不符合题，故选C.【点睛】本题考查了新定义运算，明确运算的法则，运用分类讨论思想是解题的关.3．B解析：【解析】分析：先计算出2，3.52，4.525.5，即可得出[

]+[

]+[3…+[]中有，个2，4个，6个，从而可得出答案．详解：1.5

，得出有1；，得出有4个2；

=12.25可得出有；=20.25，可得出有8个4；

=30.25可得出有个；则剩余数全为故

]+[36

故选：点睛本题考查了估算无理数的大4．C解析：【解析】【分析】根据定义依次计算判定即可．【详解】解：、任何非零数的圈次就是两个相同数相除，所以都等于；所选项A正；B、

④=

1)a

；所选项B正；C、3=3÷3÷3÷3=

，④，，则3≠④；所选项C错；、数的圈奇数次方，相当于数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D正；故选：．【点睛】本题是有理数的混合运算，也是一个新定义的理解与运用；一方面考查了有理数的乘除法及乘方运算，另一方面也考查了学生的阅读理解能力；注意：负数的奇数次方为负数，负数的偶数次方为正数，同时对新定义，其实就是多个数的除法运算，要注意运算顺序．5．C解析：【分析】根据题意得到mn相反数，分成三种情况⑴，n；-m⑵m-m；n-n⑶，-n；n分计算，最后相加即.【详解】解：依题意mn（＜）相反数为﹣，n，则有如下情况m，n为组，﹣mn为组，有A＝m+|+|（﹣）（﹣）2mnmm为组n，n为组，有A＝m+（m|+|+（n）＝mn为一组n，﹣为一组，有A＝m（﹣n）n（m|＝n﹣m所以，所有的和为2+2+0+2﹣m＝故选：．【点睛】本题主要考查了新定义的理解，注意分类讨论是解题的关.6．D解析：【解析】【分析】首先根据正数的两个平方根互为相反数，列的方程：（

a

）（

14a

），解方

即可求得a的，代入即可求得x的个平方根，则可求得x的．【详解】∵一个正数x的平方根为

a1

，∴（

）（14

），解得：∴

a

=7，

a

=-7，∴=49.故选D.【点睛】此题考查平方根，解题关键在于求出a的.7．D解析：【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】解：、

是有理数，故选项A不合题意；B、是理数，选项B不合题意；C、是有理，故选项C不合题意、

π是无理数，故选项D题；故选：．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有，π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001，等有这样规律的数．8．D解析：【分析】先把化二次根式和三次根式的形式，把和325【详解】

做比较即可得到答案解：

9

∴

9，3

27

，故，故为答案【点睛】

本题主要考查了实数的大小比较，能熟练化简二次根式和三次根式是解题的关键，当二次根式和三次根式无法再化简时，可把整数化成二次根式或者三次根式的形式再做比.9．B解析：【分析】先估算的围，继而可求得答.【详解】∵

=4，

=9，∴7<3∴7+1<4，故选【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握是解题的关.10．解析：【解析】分析：无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概一要同时理解有理数的概有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理而限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．详解无数共个．故选B点睛本主要考查了无理数的其初中范围内学习的无理数π2等开方开不尽的数以像0.1010010001等有特定规律的．二、填题11．8【解析】解：当a＞b时，a☆b==a，a最大为8；当a＜b时，a☆b==b，b最大为8，故答案为：．点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．解析：【解析】解：当ab时a=

a2

=aa最大为当ab时ab

a2

=bb最大为8，答案为8点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

12．6【分析】分别根据绝对值、平方和算术平方根的非负性求得、b、c的值，代入即可．【详解】解：因为，所以，解得，故，故答案为：6．【点睛】本题考查非负数的性质，主要考查绝对值、平方【分析】分别根据绝对值、平方和算术平方根的非负性求得a、、的，代入即可．【详解】解：因为

，所以

，解得

ab

，故

，故答案为：．【点睛】本题考查非负数的性质，主要考查绝对值、平方和算术平方根的非负性．理解几个非负数（式）的和为0，么这几个数或（式）都为0是题关键．13．①③【解析】【分析】题目中各式利用已知的新定义公式计算得到结果，即可做出判断．【详解】(※4=3×4+4=所以①正确；a※b=ab+b，b※a=ab+a，若a=b，两式解析：③【解析】【分析】题目中各式利用已知的新定义公式计算得到结果，即可做出判断．【详解】(−3)※4=−3×4+4=，以①正；

ab=ab+b，※a=ab+a，若a=b，两式相，若，两式不相等，所②错；方程x−4)3=6化3(x−4)+3=6，得，以正确；左边=(a※b)※)(a×b+b)·c+c=abc+bc+c右边=a※（b）※c+c)=a(b×c+c)两式不相等，所④误．综上所述，正确的说法有①③．故答案为①③.【点睛】有理数的混合运,

解一元一次方程，属于定义新运算专题，解决本题的关键突破口是准确理解新定义．本题主要考查学生综合分析能力、运算能力．140【解析】试题解析：平方根和它的立方根相等的数是．解析：【解析】15．8【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果．【详解】解：根据题中的新定义得：（﹣2）1＝3×−2−2×1＝−6−2＝−8故答案为−8.【点睛】此题考查了有理数的混合运算，解析：8【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果．【详解】解：根据题中的新定义得：（）3×−2）＝−6−2＝，故答案为8.【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．16．3【解析】找到立方等于27的数即可．解：∵33=27，∴27的立方根是3，

故答案为3．考查了求一个数的立方根，用到的知识点为：开方与乘方互为逆运算解析：【解析】找到立方等于的数即可．解：

，27的立方根是3，故答案为3．考查了求一个数的立方根，用到的知识点为：开方与乘方互为逆运算17．±77-2【解析】试题解析：∵（±72=49∴49的平方根是±7，算术平方根7；∵（-2）3=-8，∴-8的立方根是-2.解析：7-2【解析】试题解析249的方根是7，术平方根是7-2

3-8的方根-2.18．【分析】根据规定，利用算术平方根与立方根的定义计算即可得答案．【详解】∵，∴=（）（）=（2+2）（3-4）=4-1）==2-1=1故答案为：1【点睛】本题考查平方

解析1【分析】根据规定，利用算术平方根与立方根的定义计算即可得答案．【详解】∵

a3

b，∴

=（

8）

（9

）=（）3-4）=4

（）=

4

=2-1=1．故答案为：【点睛】本题考查平方根与立方根，正确理解规定，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题关键．19．－0.0433【分析】三次根式变化规律为：三次根号内的式子扩大或缩小倍，则得到的结果扩大或缩小10倍，根据规律可得x的值．【详解】从35.12变为－0.3512，缩小了100倍，且添解析：0.0433【分析】三次根式变化规律为：三次根号内的式子扩大或缩小倍则得到的结果扩大或缩小10倍，根据规律可得x的．【详解】从35.12变为－，小了100倍，且添加了“－”∴根据规律，三次根式内的式子应该缩小1000000倍且添加“－”故答案为：0.0433【点睛】本题考查三次根式的规律，二次根式规律类似：二次根号内的式子扩大或缩小1倍，则得到的结果扩大或缩小10倍20．【分析】估算出的取值范围，进而可得x，y的值，然后代入计算即可．【详解】解：∵，∴，

∴的整数部分x＝4，小数部分y＝，∴2x－y＝8－4＋，故答案为：．【点睛】本题考查了估算无理解析411【分析】估算出

8

的取值范围，进而可得x，的值，然后代入计算即可．【详解】解：∵11，∴∴

8

的整数部分＝，数部分＝11411，∴－＝－＋1111，故答案为：11．【点睛】本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是求出，的值．三、解题21．

x或

.【分析】利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程组，然后解方程即可．【详解】因为x2y2y2，所以

2

，所以y，解得y或，所以

或x

.【点睛】本题是一个阅读题目，主要考查了实数的运算，其中关键是理解解方程组的思路就是消.对于阅读理解题要读懂阅读部分，然后依照同样的方法和思路解题．22．（）；（）不能剪出长宽之比为5：，且面积为360cm2的大长方形，理由详见解析【分析】

（）据已知到大正方形的面积为400cm，求出算术平方根即为大正方形的边长；（）长方形片的长为

5xcm

，宽为

4

，根据面积列得

5x

，求出x，到5x18，此判断不能裁出符合条件的大正方.【详解】（）用两个积为200cm

的小正方形拼成一个大的正方形，∴大正方形的面积为400cm2，∴大正方形的边长为40020cm故答案为：20cm；（）长方形片的长为

5xcm

，宽为

4

，5x

，解得：x18，5x1820，答：不能剪出长宽之比为5：，面积为2的大长方.【点睛】此题考查利用算术平方根解决实际问题，利用平方根解方程，正确理解题意是解题的关.23．（）；2）28【分析】（）（）【详解】

3

10003

100

10001000000

10110592

11059211059223

512

1105928110592592110

64

110

125

4

110

40

11059250

1105924110592

3

10003

10021952

21952

512

82195295221

30

219522195232195228

28【点睛】24．【分析】根据算术平方根、立方根的定义列出二元一次方程组，之后对方程组进行求解，得到和y的值，再根据题意得到的，即可求解本题．【详解】解：由题意可得y解得，y

，36

37

49

，

377

，z

6，4z36

，故

4xz

的平方根是

．【点睛】本题考查了平方根、立方根