数学必修平面向量综合练习题

数学必平面向量综合习题ItlastJanuary2,2021

一、选择题【共12小题】1下列说法中正确的()A.两个单位向量的数量积为1B.若a·b=a·c且a≠0,则b=cC.D.若⊥c,(a+c)·b=a·b参考答案与解析解析：A中两向量的夹角不确;B若a⊥b,a⊥c,bc反方向则不成立;C中应为

;Db⊥cb·c=0,所(a+c)·b=a·b+c·b=a·b.答案：D要考察知识:向量、向量的运算2、设e是单位向量,=2e,=-2e,||=2,四边形ABCD()||=2,四边形ABCD()=|=2,四边形ABCD()2|=2,四边形ABCD(),|=2,四边形ABCD()则|=2,则四边形ABCD()四|=2,则四边形ABCD()边|=2,则四边形ABCD()形|=2,则四边形ABCD()A|=2,四边形ABCD()B|=2,四边形ABCD()C|=2,四边形ABCD()D|=2,四边形ABCD()是|=2,则四边形ABCD()(|=2,四边形ABCD()|=2,四边形ABCD()|=2,四边形ABCD(

)|=2,四边形ABCD()|=2,四边形ABCD())|=2,四边形ABCD()|=2,四边形ABCD()A.梯形B.形C.矩形D.方形参考答案与解析解析：是平行四边形又因为||=|

,所以||=||,且AB∥CD,以四边形ABCD|=2,所以四边形ABCD是菱形.答案：B要考察知识:向量、向量的运算3、已知|a|=|b|=1a的夹角为90°,c=2a+3b，d=ka-4b,c⊥d,实数k的值为()参考答案与解析解析：∵c⊥d,2k-12=0,∴k=6.答案：A要考察知识:向量、向量的运算4、设0≤θ2π,已知两个向量

=(cosθsinθ),=(2+sinθ，θ)，则向量)

长度的最大值(A.B.C.D.参考答案与解析解析：所以||=

=(2+sinθ,2-cosθ),≤=.答案：C要考察知识:向量与向量运算的坐标表示5、设向量a=(1,-3)b=(-2,4)c=(-1,-2)，若表示向量4a4b-2c2(a-c)d有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为(

)A.(2,6)B.(-2,6)C.(2,-6)D.(-2,-6)参考答案与解析解析：依题意,4a+4b-2c+2(a-c)+d=0,所以d=-6a+4b-4c=(-2，-6).答案：D要考察知识:向量与向量运算的坐标表示6、已知向量a=(34)b=(-3，1)a的夹角为θ,θ等()A.参考答案与解析解析：由已知得，|a|=5，

，所以θ=

.由于θ∈0，π］,所以θ=.所以θ==-3.答案：D要考察知识:向量与向量运算的坐标表示7、向量a不共线,

=a+kb,=la+b(k、∈R),且

与

共线,、l应满足()+l=0=0+1=0=0参考答案与解析解析：因为

与

共线,所以设

=λ(λ∈R),即la+b=λ(a+kb)=λa+λkb,所(l-λ)a+(1-λk)b=0.因为a不共线,以l-去得即kl-1=0.答案：D要考察知识:向量、向量的运算8、已知平面内三点A(-1,0),B(5,6),P(3,4),且λPB,的值为()

C.D.参考答案与解析解析：因为

=λ,所以(4，4)=λ(22).以.答案：C要考察知识:向量与向量运算的坐标表示9、设平面向量a1a2，a3和a1+a2+a3=0，如果平面向量b1，b2b3足|bi|=2|ai|且ai顺时针旋转30°后bi同，其中i=1，23则()+b2+b3=0+b3=0+b2-b3=0+b2+b3=0参考答案与解析解析：根据题意,向量的物理意,共点的向量模伸长为原来的2倍,三个向量都顺时针旋转30°后力为原来的2倍,原来的合力为零所以由a1+a2+a3=0,可得b1+b2+b3=0.答案：D要考察知识:向量、向量的运算10、设过点P(xy)的线分别与x轴的正半轴和y的正半轴交于AB两，点Q与点P关于y对称，O为坐标原点，若方程是()

,且

·=1,则P点的轨迹+y2=1(x0,y＞0)=1(x0,y0)=1(x0,y＞0)+3y2=1(x＞0)参考答案与解析解析：设P(x,y),Q(-x,y).设A(xA),xA,B(0,yByB0,yB)=(xAx,-y).

=(x,y-∵又∵·

=2PA,∴x=2(xA,x),y-yB=2y,xA=

x,yB=3y(x0,y＞0).

x,3y)=1,x2+3y2=1(x＞0,y0).即答案：D要考察知识:向量、向量的运算11、已知△ABC，点D在BC上，且是()

，若

,则的值A.C.参考答案与解析解析：△ABC中

==()=-

，故r+s=0.答案：B要考察知识:向量、向量的运算12、定义a※b=|a||b|sin，θ向量a和b的夹角，|a|、|b|别为ab的模，已知点A(-3,2)B(2,3),O坐标原点，则)

※

等于(参考答案与解析解析：由题意可知

=(-3,2),=(2,3),计算得

·

=-3×2+2×3=0另一方面

·

=||||cosθ，∴cosθ=0,又∈(0,π)从而sinθ=1，※=||||sinθ=13.答案：D要考察知识:向量与向量运算的坐标表示二、填空题【共4道小题】1已知a+b+c=0,且a|=3,|b|=5,|c|=7,向量a与b的夹角是_

参考答案与解析解析：由已知得a+b=-c,边平方得所以2a·b=72-32-52=15.设与b的夹角为θ,θ=所以答案：60°要考察知识点:量、向量的运算

==,2、若

=2e1+e2,=e1-3e2,

=5e1+λe2,B、CD点共线,实数λ=___________.参考答案与解析解析：由已知可得

=(e1-3e2)-(2e1+e2)=-e1-4e2,=(5e1+λe2)-(e1-3e2)=4e1+(λ+3)e2.由于BC、D三共,所以存在实数m使得

,即-e1-4e2=m4e1+(λ+3)e2.以-1=4m-4=m(λ+3),消mλ=13.答案：13主要考察知识:向量、向量的运算3、已知e1e2是夹角为60°的个单位向,则a=2e1+e2夹角是__________.参考答案与解析解析：运用夹角公式cosθ=

，代入数据即可得到结.答案：120°要考察知识:向量、向量的运算4、如图2-1示，两射线OA与OB于，则下列选项中向量的终点落在阴影区域内的是_________________.图①②+③④+⑤-参考答案与解析解析：由向量减法法则可③⑤不符合条件,②然满足，④满足.答案：①②要考察知识:向、向量的运算

三、解答题【共6道小题】1、如图2-2示，△ABC,

=c,=a,=b,且a·b=b·c=c·a试判断△ABC形状.图参考答案与解析解：∵a·b=b·c,∴b·(a-c)=0.又∴-(a+c)·(a-c)=0,∴|c|=|a|.理,|b|=|a|,故|a|=|b|=|c|,所以△ABC等边三角形.要考察知识:向量、向量的运算2、如图2-3示,知||=||=1，、

的夹角为120°,

与

的夹角为

|=5,用，

表示

.(注：cos75°=)图参考答案与解析解：设

=λ+μ,则又

·=(λ+μ)·=λ+μ·=λ+μcos120°=λμ.·=||||cos45°=5cos45°=,∴λμ=,·=(λ+μ)·=λ·+μ=λcos120°+μ=λ+μ.又

·=||·|,∴λ+μ=.

∴λ=,μ=.∴=+.主要考察知识:量、向量的运算3、在四边形ABCD(AB、CD时针排列),

=(6，1)

=(-2，-3).有∥,又有

⊥,求

的坐标.参考答案与解析解：设4,2-y),=(x-2,y-3).

=(x,y),

=(6+x,1+y),=(4+x,y-2),=(-x-又

∥

及

⊥,所以①(6+x)(x-2)+(1+y)(y-3)=0.②解得∴

或=(-6,3)(2,-1).要考察知识:向量与向量运算的坐标表示4、已知平面向量a=(

,-1),b=(,).(1)证明a⊥b;(2)若存在不同时为零的实数k、t,使x=a+(t2-3)b,y=-ka+tb,且x⊥y,函数关系式参考答案与解析(1)明：因为a·b=(

，-1)·(

，

)==0，所以a⊥b.(2)解：由已知得a|==2，|b|==1,由于x⊥y,所x·y=0,［a+(t2-3)b·(-ka+tb)=0.所以-ka2+ta·b-k(t2-3)b·a+t(t2-3)b2=0.

由于以-4k+t(t2-3)=0.所以t(t2-3).由已知k，t同时为零得k=

≠0).要考察知识:向量与向量运算的坐标表示5、已知a、bc是同一平面内的三个向,中(1)|c|=,且∥a,求c的坐标;(2)|b|=,且a+2b与2a-b直,a与b的夹角θ.参考答案与解析解：(1)c=(xy),∵|c|=①∵c∥a,a=(12),即y=2x.

,∴,即x2+y2=20,联立①②

或∴c=(2,4)(-2,-4).(2)∵(a+2b)即①∵|a|2=5|b|2=,代入①式得a·b=.∴cosθ==-1.又∵θ∈0，π］，∴π.要考察知识:向量与向量运算的坐标表示

6、如图2-4示,知