数学分析教案-(华东师大版)第六章-微分中值定理及其应用

精品文档第六章分中定理及其应教学目：掌握微分学中值定理会其实质微分学的应用打好坚实的理论基础；熟练掌握洛比塔法则，会正确应用它求某些不定式的极限；掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题；使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象；会求函数的最大值、最小值，了解牛顿切线法。教学重、难点：本章的重点是中值定理和泰勒公式用导数研究函数单调性与凸性；难点是用辅助函数解决问题的方法。教学时14学时§1

中值定

（时教学目：掌握微分学中值定理领会其实质为微分学的应用打下坚实的理论基础。教学要：深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义掌握三个定理的证明方法，知道三者之间的包含关系。教学重：值定理。教学难：理的证明。教学难：系统讲解法。一、引新课：精品文档精品文档通过复习数学中“导数与物理上“速度几何上“切线”之联系，引导学生从直觉上感到导数是一个非常重要而有用的数学概念。在学生掌握了“如何求函数的导数的前提下自然提出另外一个基本问题导数有什么用？俗话说得好：工欲善其事，必先利其器。因此，我们首先要磨锋利导数的刀刃。我们要问：若函数可导，则它应该有什么特性？由此引入新课——第六章微分中值定理及其应用§1拉格朗日定理和函数的单调性（板书课题）二、讲新课：（一）值概念：1极值：图解，定义(区分一般极值和严格极值.)2.

可微极点的必要条Th(Fermat)(证)函数的稳定点,

稳定点的求法.（二）微分中值理1.Rolle中值定理:叙述为证)定理条件的充分但不必要性.2.

Lagrange值定理叙述为(证图解.用分析方法引进辅助函数,证明定理.用几何直观引进辅助函数的方法参阅[1]P157.Lagrange中值定理的各种形式

关于中值点的位置.(证)

推论1函数

在区间I可导且

为I上的常值函数精品文档精品文档推论函数

和

在区间I可导且推论

设函数

在点

的某右邻域

上连续,在

内可导.若(证)但是,

存在,则右导数不存在时,却未必有

也存在,且有不存在.

例如对函数虽然

不存在,但

却在点

可导(可用定义求得).Th(导数极限定理)设函数

在点

的某邻域

内连续,在内可导.若极限

存在,则

也存在,且(证)由该定理可见,若函数

在区间I上可导则区间I上的每一点要么是导函数的连续点,要么是点点可导时,导函数

的第二类间断点.这就是说,当函数在区间I上不可有第二间断点.

在区间I推论(导函数的介值性)

若函数

在闭区间

上可导,且(证)Th(Darboux

)

设函数

在区间

上可导且.若为介于

与

之间的任一实数,则设精品文档

对辅助函数

,应用系4结果.(证)精品文档3.Cauchy中值定理:Th3

设函数

和

在闭区间

上连续,在开区间

内可导,和

在

内不同时为零,又

则在

内至少存在一点使

.证

分析引出辅助函数

.

验证

在上满足Rolle理的条件,必有,

因为否则就有.这与条

和

在

内不同时为零”矛盾.Cauchy中值定理的几何意义.（三）中值定的简单应用1.

证明中点的存在性例1

设函数

在区间

上连续,在

内可导,则

,使得证例2试证明:

在Cauchy值定理中取设函数在区间上连续,在.

.

.内可导,且有.精品文档精品文档2.证明恒等:

原理.例3

证明:对,

有.例4

设函数

和

可导且

又

则.

证明.例5

设对

,

有

,

其中

是正常数.则函数

是常值函数.(证明

).3.证明不等:例6

证明不等式:

时,.例74.

证明不等式:对，有.证明方根的存在性证明方程

在

内有实根.例8

证明方程

在

内有实根.§2

柯中定和定的限时教学目：掌握讨论函数单调性方法；掌握’则，或正确运用后求某些不定式的极限。教学要：1.熟练掌握’Hospital法则能正确运用后迅速正确地求某些不定式的极精品文档精品文档限；2.深刻理解函数在一区间上单调以及严格单调的意义和条件；熟练掌握运用导数判断函数单调性与单调区间的方法；能利用函数的单调性证明某些不等式。教学重：用函数的单调性，Hospital则教学难：’法则的使用技巧；用辅助函数解决问题的方法教学方：题教学法，结合练习。一.

型:Th1(Hospital则)(证)例1

应用技巧.例2.例3.(作代换

或利用等价无穷小代换直接计算.)例4.(Hospital法则失效的例)二.

型:Th2(例5

Hospital法则)(证略).例6.精品文档精品文档註:例7

关于

当.(

时的阶.Hospital法则失效的例)三.其待定型:例8

.前四个是幂指型的.例9例.

.例.例.例.例

设

且

求解§3

Taylor

.公（学时）精品文档精品文档教学目：握公，并能应用它解决一些有关的问题。教学要：深刻理解定理，掌握公式，熟悉两种不同余项的公式及其之间的差异；掌握并熟记一些常用初等函数和展开公式，并能加以应用。会用带型余项的公进行近似计算并估计误差；会用代Peanlo余项的公求某些函数的极限。教学重：式教学难：理的证明及应用。教学方：统讲授法。一.

问题和务:用多项式逼近函数的可能性对已知的函数,希望找一个多项式逼近到要求的精度.二.

Taylor

(1685—1731)多项式:分析前述任务，引出用来逼近的多项式应具有的形式定义

Taylor多式

及多项式例1

求函数

在点

的Taylor多项式.[1]P174.(留作阅读)三.称

Taylor公和误差计:为余项.称给出

的定量或定性描述的式为函数

的Taylor公式.1.精品文档

误差的量刻画整体质)——Taylor中定理精品文档Th1

设函数满足条件:在闭区间

上

有直到阶连续导数;

在开区间

内

有

阶导数.则对使证[1]P175—176.称这种形式的余项

.为Lagrange余项并称带有这种形式余项的Taylor公式为具Lagrange余项的Taylor式.Lagrange型余项还可写为.时,称上述Taylor公式为公式,此时余项常写为.2.

误差的性描述(局部性质)—Peano型余项Th2

若函数在点的某邻域

内具有

阶导数,且

存在,则,.精品文档精品文档证

设

,

.应用

Hospital则次,并注意到

存在,就有=称公式的Peano型余项为

.为Taylor公式的Peano型余项相应的.并称带有这种形式余项的Taylor公式为具Peano型项的Taylor公(或Maclaurin公式).四.

函数的Taylor公式(或Maclaurin公)开1.直接展开例2

求

的Maclaurin公式解

.例3

求

的Maclaurin公式解

,例4精品文档

求函数

.的具Peano型余项Maclaurin式.精品文档解

..例5

把函数

展开成含

项的具Peano型余项Maclaurin公式.([1]P179E5,

留为阅读.)2.间展开:利用已知的展开式,施行代数运算或变量代换求新的展开式.例6

把函数

展开成含

项的具Peano型余项的Maclaurin公式.解,.例7

把函数

展开成含

项的具Peano型余项的Maclaurin公式.解,注意,.精品文档精品文档例8

先把函数

展开成具Peano余项的Maclaurin公式.利用得到的展开式,

把函数

在点

展开成具Peano型余项的Taylor公式.解.=

+例9

把函数

展开成具Peano型余项Maclaurin公式

的相应展开式进行比较.解;.而五.Taylor式应用例:精品文档

.精品文档1.例10证

证明证明把

是无理:是无理数.展开成具Lagrange型余项的Maclaurin式,

有.反设

是有理数,即

和

为整数),

就有

整数+.对

也是整数.于是,

整数=整数―整数=整数.但由

因而当

时，

不可能是整数.矛盾.2.计算函数近似值例11

求

精确到

的近似值.解

.注意到

有.为使,只要取.现取,

即得数

的精确到

的近似值为.3.利公式求极限

原理:精品文档精品文档例

求极限.解

,;.4.证明不式：原理.例13

证明:

时,有不等式

.[3]P130E33.§4函的值最（）时教学目：求函数的极值和最值。教学要：会求函数的极值与最值；弄清函数极值的概念，取得极值必要条件以及第一、第二充分条件；掌握求函数极值的一般方法和步骤能灵活运用第一第二充分条件判定函数的极值与最值；会利用函数的极值确定函数的最值，对于取得极值的第三充分条件，也应用基本的了解。教学重：用导数求极值的方法教学难：值的判定教学方：讲授法＋演示例题一．可函数单调性别法：精品文档精品文档1单调性判法Th1

设函数

在区间

内可导.则在

内或↘)在

内

(或).证

))

证.Th2

设函数

在区间

内可导.则在

内↗或↘↘)ⅰ>ⅱ>

对有在内任子区间上2.单调区间分离:例1分离函数

(或;的升区间分别对应的单调区间.

的非负正值区间.更一般的例可参阅[4]P147—148E13，14.二.可极值点别法:极值问题:极值点,极大值还是极小值,极值是多少1.可微极值的必要件:Fermat定理(表述为).函数的驻点和(连续但)不可导点统称为可疑点,可疑点的求法.2.极值点.

极值点充分条件:对每个可疑点用以下充分条件进一步鉴别是否为精品文档精品文档Th4(充分条件Ⅰ设函数内可导.则

在点

连续,在邻域

和

在

内

在

内

时,为

的一个极小值点;

在

内

在

内

时,为

的一个极大值点;

若

在上述两个区间内同号,则

不是极值点.Th5(充分条件Ⅱ—雨水法则点存在.则

为函数

的驻点且

当当

时,时,

为为

的一个极大值点;的一个极小值点.证法一当

时,在点

的某空心邻域内

与

异号,……证法二

用Taylor公式展开到二阶带Peano型余项.Th6(充分条件Ⅲ设.则精品文档

,而精品文档ⅱ>

为奇数时,为偶数时,

不是极值点;是极值点.且

对应极小;

对应极大.例2例3

求函数求函数

的极值.[1]P190E3的极值.[1]P190E43.函数的最:.则=

设函数

在闭区间

上连续且仅有有限个可疑点;.函数最的几个特例

单调函数的最值:

如果函数

在区间

上可导且仅有一个驻点,则当

为极大值点时,

亦为最大值点;当

为极小值点时,

亦为最小值点.

若函数

在

内可导且仅有一个极大(或小)值点,则该点亦为最大(或小)值点.三.

对具有实际意义的函数常用实际判断原则确定最大(或小值点.最值应问题:精品文档精品文档例4、

两村距输电（直线分别为

和（如图，

长.现两村合用一台变压器供电.问变压器设在何处,输电线总长最小.解

设

如图，并设输电线总长为.则有,解得四.

,和(捨去).利用导证明不等式

答：……实,

我们曾在前面简介过用中值定理或公式证明不等式的一些方法其利用导数证明不等式的方法至少可以提出七种(参阅[3]P112—142).本段仅介绍利用单调性或极值证明不等式的简单原理1.利用单调证明不式:原理

若

则对,

有不等式.例5

证明:对任意实数

和,

成立不等式证

取

在

内↗↗.于是,由,就有精品文档

,即精品文档.2.等式原理[4]P169—171.不等式理:

设函数

在区间

上连续,在区间

内可导,且

;又

则

时,

(不等式原理的其他形式.)例6

证明:

时,.例7

证明:

时,.2.利用极值明不等:例8证明:

时,.§5

函的性拐（2时教学目：握讨论函数的凹凸性和方法。教学要：弄清函数凸性的概念掌握函数凸性的几个等价论断会求曲线的拐点，能应用函数的凸性证明某些有关的命题。教学重：用导数研究函数的凸性教学难：用凸性证明相关命题教学方：统讲授法＋演示例题一．凸的定义及判：1凸性的定义直观引入.

强调曲线弯曲方向与上升方向的区别精品文档精品文档定义设函数

在区间

上连续.若对,

恒有,

或.则称曲线

在区间

上是凹(或凸)的.若在上式中,当

时,有严格不等号成立,则称曲线凹和凸也分别称为上凸和下凸.

在区间

上是严格凹(或严格凸)的.凸性的何意义倘有切线与切线的位置关系;与弦的位置关系;曲线的弯曲方向.2利用二阶导判断曲的凸向:Th

设函数

在区间

内存在二阶导数,

则在

内该判别法也俗称为“雨水法则.

在在

内严格上凸;内严格下凸.证法一(用公式)对

设,

把在点

展开成具Lagrange余项的Taylor式,

有.精品文档精品文档其中

和

在

与

之间.

注意到,

就有若有若有

上式中,即上式中,即

,于是严格上凸.严格下凸.证法二(利用中值定理.)

若

则有↗↗,不妨设,并设,分别在区间Lagrange值定理,有

和

上应用有

,.又由，<,

，即，

严格下凸.可类证

的情况.3凸区间的分间.二.曲的拐点:精品文档

的正、负值区间分别对应函数拐点的定义

的下凸和上凸区精品文档例1解

确定函数的定义域为

的上凸、下凸区间和拐点.[4]P154E20.令,解得.在区间

内

的