人教数学A版选修《空间向量的正交分解及其坐标表示》课时活页训练

1．与点P(1,3,5)关于原点成中心对称的点P′的坐标是()A．(－1，－3，－5)B．(－1，－3,5)C．(1，－3,5)D．(－1,3,5)答案：A2．O，A，B，C为空间四点，且向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))不能构成空间的一个基底，则()\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))共线\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))共线\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))共线D．O，A，B，C四点共面解析：选\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))不能构成基底，故eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))共面，所以O，A，B，C四点共面．3．若向量eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))的起点和终点M，A，B，C互不重合且无三点共线，则下列能使向量eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))成为空间一组基底的关系式是()\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))\o(MA,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))\o(MA,\s\up6(→))＝2eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→))解析：选C.对于选项A，由结论eq\o(OM,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)⇔M，A，B，C四点共面知，eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面；对于选项B，D，易知eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面，故只有选项C中eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))不共面．4．在以下命题中，不正确的命题有()①已知A、B、C、D是空间任意四点，则eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0；②|a|－|b|＝|a＋b|是a、b共线的充要条件；③若a与b共线，则a与b所在直线平行；④对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x、y、z∈R)，则P、A、B、C四点共面．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C.由加法法则知，命题①正确．命题②、命题③、命题④都不正确．5．我们称(x，y，z)是向量p＝xa＋yb＋zc关于基底{a，b，c}的坐标，则向量m＝2a－b－3c的相反向量关于基底{a，b，c}的坐标为________．解析：－m＝－2a＋b＋3c，∴坐标为(－2,1,3)．答案：(－2,1,3)6．在空间四边形ABCD中，连结AC、BD，△BCD的重心为G，eq\o(AG,\s\up6(→))＝xeq\o(BA,\s\up6(→))＋yeq\o(BD,\s\up6(→))＋zeq\o(BC,\s\up6(→))，则x＋y＋z＝________.解析：如图，取DC的中点为E，连结BE，则eq\o(AG,\s\up20(→))＝eq\o(AB,\s\up20(→))＋eq\o(BG,\s\up20(→))＝eq\o(AB,\s\up20(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up20(→))＝－eq\o(BA,\s\up20(→))＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up20(→))＋eq\o(BD,\s\up20(→)))＝－eq\o(BA,\s\up20(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BD,\s\up20(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up20(→)).∴x＝－1，y＝eq\f(1,3)，z＝eq\f(1,3).∴x＋y＋z＝－eq\f(1,3).答案：－eq\f(1,3)7．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标是(2,3，－1)，求p在基底{a，a＋b，a＋b＋c}下的坐标．解：由已知p＝2a＋3b－c，设p＝xa＋y(a＋b)＋z(a＋b＋c)＝(x＋y＋z)a＋(y＋z)b＋zc.由向量分解的惟一性，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＋z＝2，,y＋z＝3，,z＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝4，,z＝－1.))∴p在基底{a，a＋b，a＋b＋c}下的坐标为(－1,4，－1)．8．设有空间四边形ABCD，对角线AC和BD的中点分别为L和M.求证：eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝4eq\o(LM,\s\up6(→)).证明：取CD的中点E，连结EL，EM(图略)，则eq\o(LE,\s\up6(→))＋eq\o(EM,\s\up6(→))＝eq\o(LM,\s\up6(→))，所以，eq\o(LE,\s\up6(→))＋eq\o(EM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))，所以，eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝2eq\o(LM,\s\up6(→)).同理，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2eq\o(LM,\s\up6(→)).所以，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝4eq\o(LM,\s\up6(→)).如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，E、F分别在B1B和D1D上，且BE＝eq\f(1,3)BB1，DF＝eq\f(2,3)DD1.(1)求证：A、E、C1、F四点共面；(2)若eq\o(EF,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AA1,\s\up6(→))，求x＋y＋z的值．解：(1)证明：因为eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up6(→)))＋(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))，所以A、E、C1、F四点共面．(2)因为eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))－(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s