3年级上册数学奥数培优讲义 第12讲 等差数列应用（教师版）

第12讲等差数列应用三年级秋季第12讲等差数列应用三年级秋季知识点知识点等差数列(进阶)应用(三上)1.当项数为奇数时，由和=中间项×项数可知，中间项=和÷项数．也就是说，可以通过项数与和求出一个等差数列的中间数．2.当项数为偶数时，可以根据和=(首项+末项)×项数÷2，算出首项与末项的和．如果再能求出首项与末项的差，便能求出首相与末项的具体数值了．知识精讲知识精讲

我们来看一下几个数列，(1)13,14,15,16,17,18,19；(2)7,10,13,16,19,22,25；(3)4,8,12,16,20,24,28；(4)10,12,14,16,18,20,22．这几个数列有什么相同点呢？这几个数列虽然都不一样，但它们的项数、和与中间数都是相同的：项数都是7，和都是112，中间数都是16．其实只要项数与和相同，中间数就肯定相同了．课堂例题课堂例题项数为奇数项1、一个等差数列第1项为21，前7项和为105，这个数列的第10项是多少？2121？．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第1项第2项第7项第10项和105【答案】

3【解析】

等差数列前7项和为105，中间项为第4项，所以第4项为．这个等差数列公差为，所以第10项为．2、11个连续自然数之和为110，其中第6个数是__________．【答案】

10【解析】

11个数的中间项为第项，当项数为奇数时，，所以第6个数为．3、已知一个等差数列的前15项之和为450，前21项之和为819．请问：这个数列的公差是多少？首项是多少？2121．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第1项第2项第15项第21项和为450？和为819【答案】

3，9【解析】

等差数列前15项和为450，中间项为第8项，所以第8项为．前21项之和为819，中间项为第11项，所以第11项为．这个等差数列公差为，首项为．4、11个连续偶数的和是1100，其中最大的数是多少？【答案】

110【解析】

11个连续偶数构成公差为2的等差数列，中间项为第6项，所以第6项为，最大数为．项数为偶数项5、把248表示成8个连续偶数的和，其中最大的偶数是__________．【答案】

38【解析】

当项数为8时，中间数是第4个数和第5个数之间的数．，所以第4个数为，所以最大偶数为．6、已知一个等差数列的前15项之和为450，前20项之和为750，请问：这个数列的公差是______，首项是______．A．3，15B．5，15C．3，13D．3，9【答案】

D

【解析】

方法一：等差数列前15项的和是450，那么根据“”，得．同理，得．因此第20项与第15项的差是．显而易见，第20项与第15项之间相差5个公差，所以1个公差就是．此时第15项与第1项的差是．根据和差问题公式“”，得到数列的首项是．方法二：等差数列前15项的和是450，根据“”得中间项(第8项)就是．又由于数列的前20项之和是750，因此数列中第16项至第20项这5个数的和就是，那么这5个数的中间项(原数列第18项)是．它们之间相差个公差，因此数列的公差是．第8项与第1项相差个公差，所以数列的首项是．7、一个等差数列第8项为82，前7项和为490，这个数列的公差是多少？这个数列的第20项是多少？【答案】

3，118【解析】

等差数列前7项和为490，中间项为第4项，所以第4项为．公差为，第20项为．8、已知一个等差数列的前25项之和为325，前30项之和为465．请问：这个数列的公差是多少？首项是多少？【答案】

1，1【解析】

等差数列的前25项之和为325，中间项为第13项，所以第13项为．等差数列的前30项之和为465，则第26项至第30项的和为，所以第28项为．所以这个数列公差为，首项为．等差数列应用9、在一次考试中，第一组同学的分数恰好构成了公差为3的等差数列，总分为609．卡莉娅发现自己的分数算少了，找老师更正后，加了21分，这时他们的成绩还是一个等差数列．请问：卡莉娅正确的分数是多少？【答案】

99分【解析】

一组同学的分数构成等差数列，把其中卡莉娅的分数加上21分后，这组数仍构成等差数列，那自然就知道卡莉娅的分数在原数列中是最低的，也就是首项．同理，卡莉娅更正后的分数是新数列的末项，而数列中其它各数都没有变化．因此卡莉娅的分数更正后，比原先分数最高的同学还要高3分，因此原先卡莉娅的分数比其他同学中最高分低分，即原数列的首项比末项少18．根据项数公式，得，所以这组同学有7人．因，则成绩位于中间位置的同学(第4名)得了87分．原先卡莉娅的分数比他少分，更正后就比他多分．所以卡莉娅更正后的分数为分．33差21？卡莉娅原来的分数卡莉娅现在的分数和609

随堂练习随堂练习1、一个等差数列第1项为3，前11项和为198，这个数列的第20项是多少？【答案】

60【解析】

等差数列前11项和为198，中间项为第6项，所以第6项为．这个等差数列公差为，所以第20项为．2、7个连续奇数之和为91，其中最小的奇数是__________．【答案】

7【解析】

7个数的中间项为第项，当项数为奇数时，，所以第4个数为．相邻两个奇数差2，所以最小奇数为．3、已知一个等差数列的前13项之和为533，前15项之和为690．请问：这个数列的首项是多少？【答案】

11【解析】

等差数列前13项和为533，中间项为第7项，所以第7项为．前15项之和为690，中间项为第8项，所以第8项为．这个等差数列公差为，首项为．4、把115表示成10个连续自然数之和，其中最小的数是几？【答案】

7【解析】

10个连续自然数成公差为1的等差数列，所以首项和末项和为，末项比首项大9，所以最小数为．课后作业课后作业1、5个连续自然数之和为15，那么最大的那个数是________．【答案】

5【解析】

5个连续自然数中间项为第3项，所以第3项为，那么最大数为．2、7个连续偶数之和为112，其中最小的那个数是________．【答案】

10【解析】

7个连续偶数中间项为第4项，所以第4项为，那么最小数为．3、8个连续奇数之和为112，其中最小的那个数是________．【答案】

7【解析】

8个连续奇数之和为112，则首项和末项和为，首项和末项相差，所以较小数为．4、已知一个等差数列的首项是1，前3项之和为15，那么这个数列的公差是________．【答案】

4【解析】

等差数列前3项之和为15，中间项为第2项，所以第2项为，这个数列公差为．5、已知一个等差数列的首项是17，前7项之和为161，那么这个数列的第11项是________．【答案】

37【解析】

等差数列前7项之和为161，中间项为第4项，所以第4项为，这个数列公差为，第11项为．6、一个等差数列的第10项是35，前9项之和为180，这个数列的首项是_________．【答案】

8【解析】

等差数列前9项和为180，中间项为第5项，所以第5项为，公差为，首项为．7、一个等差数列的前3项之和为15，前9项之和为180，这个数列的首项是_________．【答案】

0【解析】

等差数列前3项之和为15，中间项为第2项，所以第2项为．同理，前9项之和为180，中间项为第5项，所以第5项为．公差为，首项为．8、把325表示成10个连续自然数之和，其中最小的数是_________．【答案】

28【解析】

10个连续自然数构成公差为1的等差数列，首项与末项和为，首项和末项相差，所以最小数为．9、已知一个等差数列的前11项之和为451，前19项之和为1235，这个数列的首项是_________．【答案】

11【解析】

等差数列前11项之和为451，中间项为第6项，所以第6项为．同理，前19项之和为1235，中间项为第10项，所以第10项为．公差为，首项为．10、魔术师表演魔术．刚开始，桌上的盒子里放着3个乒乓球．第一次