二次函数的应用【省一等奖】

4二次函数的应用第1课时求图形的最大面积课标要求【知识与技能】经历探究图形的最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验．【过程与方法】经历探索问题的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验，感受数学模型和数学应用的价值，通过观察、比较、推理、交流等过程，获得一些研究问题与合作交流的方法与经验．【情感态度】通过动手实践及同学之间的合作与交流，让学生积累经验，发展学习动力．【教学重点】会根据不同的条件，利用二次函数解决生活中的实际问题．【教学难点】从几何背景及实际情景中抽象出函数模型．教学过程一、情景导入，初步认识问题1：某建筑物的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有粗线的长度和)是21米，怎样设计窗户才能使窗户通过的光线最多？问题2：某开发商计划开发一块三角形土地，它的底边长100米，高80米．开发商要沿着底边修一座底面是矩形的大楼，这座大楼地基的最大面积是多少？要解决这些实际问题，实际上也就是求面积最大的问题，在数学中也就是求最大值的问题．这节课我们看能否用已学过的数学知识来解决以上问题．二、思考探究，获取新知求下列函数的最大值或最小值．(1)y＝2x2－3x－5；(2)y＝－x2－3x＋4.分析：由于函数y＝2x2－3x－5和y＝－x2－3x＋4的自变量x的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数的最大值或最小值．解：(1)因为y＝2x2－3x－5＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))eq\s\up12(2)－eq\f(49,8).所以当x＝eq\f(3,4)时，函数y＝2x2－3x－5有最小值是－eq\f(49,8).(2)因为y＝－x2－3x＋4＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(25,4)，所以当x＝－eq\f(3,2)时，函数y＝－x2－3x＋4有最大值是eq\f(25,4).【归纳结论】最大值或最小值的求法，第一步确定a的符号，a＞0有最小值，a＜0有最大值；第二步配方求顶点，顶点的坐标即为对应的最大值或最小值．三、运用新知，深化理解1．见教材P46例12．要用总长为20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎样围才能使围成的花圃的面积最大？分析：先写出函数关系式，再求出函数的最大值解：设矩形的宽AB为xm，则矩形的长BC为(20－2x)m，由于x＞0，且20－2x＞0，所以0＜x＜10.围成的花圃面积y与x的函数关系式是y＝x(20－2x)．即y＝－2x＋20x，配方得y＝－2(x－5)2＋50.所以当x＝5时，函数取得最大值，最大值y＝50.因为x＝5时，满足0＜x＜10，这时20－2x＝10.所以应围成宽5m，长10m的矩形，才能使围成的花圃的面积最大．3．如图在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上．如果设矩形的一边AB＝xm，那么当x为多少时，矩形面积最大？最大面积是多少？解：由AB＝xm，则CD＝AB＝xm.由图可得，△EDC∽△EAF，∴eq\f(ED,AE)＝eq\f(CD,AF)，即eq\f(ED,30)＝eq\f(x,40)，解得ED＝eq\f(3,4)x，∴AD＝30－eq\f(3,4)x.S矩形ABCD＝AB·AD＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(30－\f(3,4)x))＝－eq\f(3,4)x2＋30x，当x＝－eq\f(b,2a)＝－eq\f(30,2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4))))＝20时，y有最大值，最大值为y最大值＝eq\f(－302,4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4))))＝300.即：当x为20时，矩形面积最大，最大面积是300m2.四、师生互动，课堂小结引导学生总结，确定问题的解决方法：在一些涉及到变量的最大值或最小值的应用问题中，可以考虑利用二次函数最值方面的性质去解决．步骤：第一步：设自变量；第二步：建立函数的表达式；第三步：确定自变量的取值范围；第四步：根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值(在自变量的取值范围内)．课后作业1．布置作业：教材“习题”中第2、3题．2．完成练习册中本课时的练习．

第2课时求最大利润问题课标要求【知识与技能】能为一些较简单的生活实际问题建立二次函数模型，并在此基础上，根据二次函数关系式和图象特点，确定二次函数的最大(小)值，从而解决实际问题．【过程与方法】经历探究二次函数最大(小)值问题的过程，体会函数的思想方法和数形结合的思想方法．【情感态度】积极参加数学活动，发展解决问题的能力，体会数学的应用价值．从而增强数学学习信心，体验成功的乐趣．【教学重点】探索销售中最大利润问题，从数学角度理解“何时获得最大利润”的意义．【教学难点】从实际问题中抽象出二次函数模型，以利用二次函数知识解决某些实际生活中的最大(小)值问题．教学过程一、情景导入，初步认识问题：某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是20元．根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是35元时，销售量是600件，而单价每降低1元，就可以多销售200件．若设销售单价为x(20＜x＜35的整数)元，该商店所获利润为y元．请你帮助分析，销售单价是多少元时，可以获利最多？你能运用二次函数的知识解决这个问题吗？【教学说明】用生活中的事例，更贴近实际生活，帮助学生理解题意，激发学生的学习热情．二、思考探究，获取新知1．教师提问：(1)此题主要研究哪两个变量之间的关系，哪个是自变量？哪个是因变量？(2)销售量可以表示为________；销售额(销售总收入)可以表示为________；所获利润与销售单价之间的关系式可以表示为________．(3)当销售单价是________元时，可以获得最大利润，最大利润是________元．2．在解决第(3)问中，先引导学生观察得出此函数为二次函数，再引导学生探索思考“何时获得最大利润”的数学意义．【教学说明】在本章前面的学习中，学生已初步了解求特殊二次函数最大(小)值的方法．鼓励学生大胆猜想、探索求此二次函数最大值的方法．【归纳结论】求二次函数最大(小)值的方法：(1)配方化为顶点式求最大(小)值；(2)直接带入顶点坐标公式求最大(小)值；(3)利用图象找顶点求最大(小)值．三、运用新知，深化理解1．见教材P48例2.2．某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元(为10的正整数倍)．(1)设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；(2)设宾馆一天的利润为W元，求W与x的函数关系式；(3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？分析：当每天的房价增加x元时，就会有eq\f(x,10)个房间空闲．∴一天订住的房间数为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(50－\f(x,10)))，每间房可获利(180＋x－20)，从而可列出函数关系式．解：(1)y＝50－eq\f(1,10)x(0≤x≤160，且x是10的正整数倍)．(2)W＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(50－\f(1,10)x))(180＋x－20)＝－eq\f(1,10)x2＋34x＋8000.(3)W＝－eq\f(1,10)x2＋34x＋8000＝－eq\f(1,10)(x－170)2＋10890.当x<170时，W随x增大而增大，但0≤x≤160，∴当x＝160时，W最大＝10880.当x＝160时，y＝50－eq\f(1,10)x＝34.答：一天订住34个房间时，宾馆的利润最大，最大利润是10880元．3．某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？分析：先写出函数关系式，再求出函数的最大值．解：设每件商品降价x元(0＜x＜2)，该商品每天的利润为y元．商品每天的利润y与x的函数关系式是：y＝(10－x－8)(100＋100x)，即y＝－100x2＋100x＋200，配方得y＝－100eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋22