基于数学核心素养下的2020高考数学试题的思考

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精品资料每天更新16/16基于数学核心素养下的2020高考数学试题的思考一、高考的背景分析（一）政治背景1.总书记在2018年9月10日全国教育工作会议上的讲话要形成高水平的人才培养体系！重要内容是：培养学生的关键能力2.2017年9月中办、国办《关于深化教育体制机制改革的意见》在培养学生基础知识和基本技能的过程中，要强化学生关键能力的培养！（二）专业背景1.新课改下数学核心素养的提升（数学抽象、数学运算、逻辑推理、直观想象、数据分析、数学建模）2.《数学学科专业发展战略报告》数学训练在提高人的推理能力、抽象能力、分析能力和创造能力是其它训练难以替代的！二、建国以来高考数学教学大纲及高考说明的变革（一）、建国初期：教学大纲就是考试大纲.强调双基；培养学生用知识来解决各种实际问题所必须的技能和熟练技巧.（二）、六十年代：1963年编制的《全日制中学数学教学大纲》第一次明确提出：培养学生正确的计算能力、逻辑推理能力、和空间想象能力.（三）七十年代：1978年编写的复习考试大纲.基础知识的学习、基本技能的训练和逻辑思维能力的培养.（四）、九十年代：1991年第一次编写考试说明.明确提出：运算能力、逻辑思维能力、空间想像能力、以及运用所学知识和方法，分析和解决问题的能力.（五）、1997年新课程改革试点启动：2002年颁布的新大纲1.知识的变化：知识增减比较大，在能力要求上也发生了变化：2.能力的变化：思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新能力将逻辑思维能力扩展为思维能力，并放在能力之首（六）、2007年第一次进行新课改的新高考将逻辑思维能力拆分为：推理论证能力和抽象概括能力，推理又分为演绎推理和合情推理（七）、2014年启动新高考：四十年高考总结会上提出：“一核、四层、四翼”一核是指：立德树人；服务选才；引导教学四层是指：必备知识；关键能力；学科素养；核心价值四翼是指：基础性、综合性、应用性、创新性三、近几年高考的考查方向（一）、立德树人教育总目标在高考中的落实1.数学史（数学发生、发展及其规律）例1.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏2.数学在科学技术、社会发展中的作用（感悟数学的价值、提升学生的科学精神、应用意识和人文素养）例2.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（）（A） （B）（C） （D）3.数学精神（理性、探索、创新）例3.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，12，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21再接下来的三项是20，21，22，是（）A．440 B．330 C．220 D．1104.数学思想方法、数学美、数学语言的简洁等例4.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A． B．C． D．（二）、服务选才在高考中的具体体现（高考的定性，必须要求区分度）例1．已知是由非负整数组成的无穷数列．该数列前项的最大值记为，第项之后各项的最小值记为，．（Ⅰ）若为，是一个周期为的数列（即对任意，），写出,,,的值；（Ⅱ）设是非负整数．证明：（）的充分必要条件为是公差为的等差数列；（Ⅲ）证明：若，（），则QUOTE{an}的项只能是或者，且有无穷多项为．例2.为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．（1）求的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，．假设，．(i)证明：为等比数列；(ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．（三）、引导教学高考中的正确导向（概念本质、打破模式、综合应用、思维能力、提升素养）例1.在平面坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以O𝑥为始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是（A）（B）（C） （D）例2.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则A． B． C． D．1例3.设函数（是常数，）.若在区间上具有单调性，，则的最小正周期为.例4.将函数图象上的点向左平移（）个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（）A.，的最小值为B.，的最小值为C.，的最小值为QUOTED.，的最小值为例5.已知点,,.若平面区域D由所有满足的点P组成,则D的面积为________例6.一半径为的水轮,水轮圆心距离水面2,已知水轮每分钟转动(按逆时针方向)3圈,当水轮上点从水中浮现时开始计时,即从图中点开始计算时间.(Ⅰ)当秒时点离水面的高度；(Ⅱ)将点距离水面的高度(单位:)表示为时间(单位:)的函数，则此函数表达式为。例7.已知函数有唯一零点，则=A． B． C． D．1例8.已知函数满足，若函数与图像的交点为则（A）0（B）（C）（D）例9.已知是定义域为的奇函数，满足．若，则A． B．0 C．2 D．50（四）、四个层次在高考中的定位（必备知识、关键能力、学科素养、核心价值）1.课标、考试说明要求的必备知识，如：函数、导数、不等式；数列；平面向量与三角函数；立体几何；解析几何；概率统计等2.那些关键能力：思维能力（逻辑与非逻辑）、运算能力、空间相象能力、分析问题与解决问题的能力。例1.（非逻辑）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为A． B． C． D．例2.（逻辑、空间想象）已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积A．B．C． D．例3.（运算能力）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm例4.（运算能力）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：.设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为A．B．C．D．例5.（运算、分析问题、解决问题）已知函数为的零点,为图像的对称轴,且在单调,则的最大值为()（A）11

（B）9

（C）7

（D）5例6.（分析问题、解决问题）设函数的定义域为R，满，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是A．B．C．D．例7.（分析、解决问题）函数，若存在，使得则的最小值为（）A.5B.6C.7D.8（五）、四翼在高考中的考查方向（基础性、综合性、应用性、创新性）1.基础性例1.函数f(x)=在的图像大致为A． B．C． D．例2.设函数QUOTE3x-1,x<12x,x≥1则满足的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）例3.已知直线：与圆相交于，两点，是线段中点，则到直线的距离的最大值为(A)2（B）3（C）4（D）52.综合性例1.已知点A,B,C在圆上运动，且ABBC，若点P的坐标为（2，0），则的最大值为例2.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=+，则+的最大值为A．3 B．2 C． D．2例3.已知正方体的棱长为2，点分别是棱的中点，点在平面内，点在线段上，若，则长度的最小值为（）A.B.C.D.3.应用性例1.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则的最大值为__________．例2.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为（k=1,2）．已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（A）1010.1 （B）10.1 （C）lg10.1 （D）例3.根据统计，一名工作组装第件某产品所用的时间（单位：分钟）为（为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第件产品用时15分钟，那么和的值分别是（） A．75，25 B．75，16 C．60，25 D．60，164.创新性（题目形式的创新性）例1.设函数的定义域为R，若满足条件：存在，使得在上的值域为，则称为“倍缩函数”。若函数为“倍缩函数”，则的取值范围是（）A.B.C.D.（思维方法的创新性）例2.已知，满足，则的最小值为（）A.B.C.1D.3.（解题方法的创新性）已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为A． B． C． D．四、2020年高考的走向（一）、加强对数学文化的考查数学史、数学的理性精神、数学的应用、数学的美等都是考查数学文化方面的素材.例1.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有(A)14斛(B)22斛(C)36斛(D)66斛例2.（2019国Ⅱ理16）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________.例3.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是（：lg3≈0.48）（A）1033（B）1053

（C）1073（D）1093例4.下列极坐标方程中，对应的曲线为如图的是（）（A）（B）（C）（D）（二）、数学应用与数学建模1.给出模型，解决实际问题例1.根据预测，某地第个月共享单车的投放量和损失量分别为和（单位：辆），其中，，第个月底的共享单车的保有量是前个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第个月底的单车容纳量（单位：辆）.设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？2.给出数据与模型，解决实际问题例2.（2108国Ⅱ文理）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型①：；根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型②：．（Ⅰ）利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（Ⅱ）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．3.给出数据，解决问题例3.（课本必修4例题）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常情况下，穿在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋。某港口在某季节每天的整点时间与水深（m）关系如下表所示.时刻水深时刻水深时刻水深0:005.0008:002.83516:007.1651:006.2509:002.50017:006.2502:007.16510:002.83518:005.0003:007.50011:003.75419:003.7544:007.16512:005.00020:002.8355:006.25013:006.25021:002.5006:005.00014:007.16522:002.8357:003.75415:007.50023:003.754探究1：你能选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系吗？探究2：一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？探究3：若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？4.考生自己收集数据（不好收集）略（三）、数学探究ABCDA1B1C1例1.函数．若存在，，，满，且（，），则的最小值为．ABCDA1B1C1例2.如图，在三棱柱中，各个侧面均是边长为的正方形，为线段的中点．（Ⅲ）设为线段上任意一点，在内的平面区域（包括边界）是否存在点，使，并说明理由．例3.（2017年全国Ⅰ理）已知椭圆：，四点，，，中恰有三点在椭圆上.则的方程；例4.（特殊猜想，一般证明）如图，椭圆E：SKIPIF1<0的离心率是SKIPIF1<0，过点P（0,1）的动直线SKIPIF1<0与椭圆相交于A，B两点，当直线SKIPIF1<0平行与SKIPIF1<0轴时，直线SKIPIF1<0被椭圆E截得的线段长为SKIPIF1<0.(1)求椭圆E的方程；（2）在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.（四）数学开放（1）举例开放；例1.等比数列满足如下条件：①；②数列的前项和．试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式．例2.能说明“函数的图象在区间上是一条连续不断的曲线．若，则在内无零点”为假命题的一个函数是例3.无穷数列由个不同的数组成，为的前项和.若对任意，则称这个数列为“有限和数列”，试写出一个“最大的有限和数列”。（2）条件、结论开放；例4.已知双曲线的焦距为10，请你添加条件，使得双曲线方程(可以)为。例5.已知是平面外的两条不同直线.给出下列三个论断:①②③以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题:。(3)对同一问题，研究方法开放；这样的问题情境学生并不陌生，课堂上，教师经常引导学生在处理同一问题时，运用不同的方法给与解决，一题多解就是这类问题。例1.在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线的距离，当θ，m变化时，d的最大值为（A）1 （B）2（C）3 （D）4（4）对同一问题，思维层次开放。例6.对于给定的式子：（）你有什么样的理解？请根据你的理解，给出相应的解释.例7.给出一个满足以下条件的函数，并证明你的结论.①的定义域是R,且其图像是一条连续不断的曲线；②是偶函数；③在上不是单调函数；④恰有2个零点.【这样的就满足条件】例8.改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变。近年来，移动支付已成为主要支付方式之一。为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人，样本仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A,B两个支付方式都使用的概率；（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化，现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额大于2000元。根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由。（五）、逻辑推理例1.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩例2.袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球