可逆矩阵方阵的逆矩阵的定义-第一学期第九次课(完整版)实用资料VIP

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第一学期第九次课可逆矩阵方阵的逆矩阵的定义-第一学期第九次课（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）第二章§5n阶方阵n阶方阵，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵，初等矩阵，对称、反对称、上三角、下三角矩阵定义（数域上的阶方阵）数域上的矩阵成为上的阶方阵，上全体阶方阵所成的集合记作。定义（阶对角矩阵、数量矩阵、单位矩阵）数域上形如的方阵被称为n阶对角矩阵，与其他矩阵相乘，有；。形如的方阵被称为n阶数量矩阵，与其他矩阵相乘，有；。矩阵被称为n阶单位矩阵，记作，有；。我们记第i行第j列为1，其余位置全为零的n阶方阵。定义初等矩阵我们把形如其中对角线上除了第i个元素为k以外，全为1，其他位置全为0的矩阵和形如其中对角线上的元素全为1，第i行j列位置上为k，其余位置都为0的矩阵和形如其中对角线上的元素除了第i和第j个元素为零外，都为1，第i行第列和第（n-i）行第（n-j）列位置上为1，其余位置均为零的矩阵称为初等矩阵，分别用，，来表示。初等矩阵都是由单位阵经过一次初等变换得到的。定义对称矩阵、反对称矩阵设为数域K上的n阶方阵，若，称A为对称矩阵；若，则称为反对称矩阵。若为数域上的阶对称（反对称）矩阵，则仍为K上的n阶对称（反对称）矩阵，其中。定义上三角、下三角矩阵数域K上形如的n阶方阵被称为上三角矩阵；形如的n阶方阵被称为下三角矩阵。对于n阶上（下）三角矩阵，同样有若为数域K上的n阶上（下）三角矩阵，则仍为K上的n阶上（下）三角矩阵，其中。命题矩阵的初等行（列）变换等价于左（右）乘初等矩阵；证明我们分别考察三种初等矩阵对于，有，等价于初等行变换中将第i行乘以一个非零数，，等价于初等列变换中将第i列乘以一个非零数；对于，有等价于初等行变换中将第j行加上第i行的k倍，等价于初等列变换中将第j列加上第i列的k倍；对于，有，等价于初等行变换中互换i，j两行，而等价于初等列变换中互换i，j两列。于是初等行（列）变换可以等价为左（右）乘初等矩阵。证毕。定理一个方阵是满秩的当且仅当它能表示为初等矩阵的乘积。证明必要性经过初等变换可以将一个满秩n阶矩阵（记为A）化为对角形，由初等变换与乘初等矩阵的等价性，可知存在初等矩阵和，使得，由于初等变换存在逆变换，于是可知用初等变换的逆变换可以将单位矩阵化为满秩矩阵A，于是，存在n阶初等矩阵和，使得，由矩阵运算的结合律和单位矩阵的性质，可以知道，必要性证毕。充分性若可以表示成为初等矩阵的乘积，则，表示可由阶单位阵经过次初等变换得到，于是满秩。证毕。推论设是满秩矩阵，对于任意矩阵，有rr，rr（只要乘法有意义）.证明由于满秩矩阵可以写作初等矩阵的乘积，于是存在初等矩阵，使得，于是，，由初等矩阵于初等变换的等价关系，相当于对B做r次初等行变换。由于初等变换不改变矩阵的秩，所以rr；同理，rr。证毕。第五章二次型§5.1习题1．证明，一个非奇异的对称矩阵必与它的逆矩阵合同．2．对下列每一矩阵A，分别求一可逆矩阵P，使是对角形式：(i)(ii)(iii)3．写出二次型的矩阵，并将这个二次型化为一个与它等价的二次型，使后者只含变量的平方项．4．令A是数域F上一个n阶斜对称矩阵，即满足条件．(i)A必与如下形式的一个矩阵合同：(ii)斜对称矩阵的秩一定是偶数．(iii)F上两个n阶斜对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的秩．§5.2复数域和实数域上的二次型1．设S是复数域上一个n阶对称矩阵．证明，存在复数域上一个矩阵A，使得．2．证明，任何一个n阶可逆复对称矩阵必定合同于以下形式的矩阵之一：3．证明，任何一个n阶可逆实对称矩阵必与以下形式的矩阵之一合同：4．证明，一个实二次型可以分解成两个实系数n元一次齐次多项式的乘积的充分且必要条件是：或者q的秩等于1，或者q的秩等于2并且符号差等于0．5．令证明A与B在实数域上合同，并且求一可逆实矩阵P，使得．6．确定实二次型的秩和符号差．7．确定实二次型的秩和符号差．8．证明，实二次型的秩和符号差与无关．§5.3正定二次型1．判断下列实二次型是不是正定的:;2．取什么值时,实二次型是正定的.3．设A是一个实对称矩阵.如果以A为矩阵的实二次型是正定的,那么就说A是正定的.证明,对于任意实对称矩阵A,总存在足够大的实数,使得是正定的.4．证明,阶实对称矩阵是正定的,必要且只要对于任意,阶子式5．设是一个阶正定实对称矩阵.证明当且仅当A是对角形矩阵时,等号成立.[提示:对作数学归纳法,利用定理的证明及习题4.]6．设是任意阶实矩阵.证明(阿达马不等式).[提示:当时,先证明是正定对称矩阵,再利用习题5.]§5.4主轴问题1．对于下列每一矩阵A,求一个正交矩阵U,使得具有对角形式:;;2．设A是一个正定对称矩阵.证明:存在一个正定对称矩阵S使得．3．设A是一个阶可逆实矩阵.证明,存在一个正定对称矩阵S和一个正交矩阵U,使得．[提示:是正定对称矩阵.于是由习题2存在正定矩阵S,使得=.再看一下U应该怎样取．]4．设是一组两两可交换的阶实对称矩阵.证明,存在一个阶正交矩阵U,使得都是对角形矩阵.矩阵行列式与可逆矩阵一、n阶矩阵行列式下面介绍线性代数中另一个基本概念——行列式，由于内容较多，我们主要介绍行列式的定义及其简单的计算，行列式的性质等内容请大家自己学习教材.定义2.9对任一n阶矩阵A=用式表示一个与A相联系的数，称为A的行列式，记作.规定：当n=1时，；当n=2时，；当n>2时，，其中=，称为中元素的余子式，它是中划去第一行、第j列后剩下的元素按原来顺序组成的n–1阶行列式；为中元素的代数余子式.（由定义可知，一个n阶矩阵行列式表示一个数，而这个数可以由第一行的元素与其相应的代数余子式的乘积之和求出.应该指出的是，方阵是一个数表，不能求数值的；而与它相应的行列式则表示一个数，是可以计算数值的.）行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等，即.性质2互换行列式的两行（列），行列式的值改变符号.性质3n阶行列式等于任意一行（列）所有元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即（）其中i=1,2,…,n(j=1,2,…,n).性质4n阶行列式中任意一行（列）的元素与另一行（列）的相应元素的代数余子式的乘积之和等于零.即当时，有.性质5行列式一行（列）的公因子可以提到行列式符号的外面.即性质6若行列式的某一行（列）元素都是两数之和：则等于下列两个行列式之和：性质7用常数遍乘行列式的某一行（列）的各元素，然后再加到另一行（列）对应的元素上，则行列式的值不变.（下面通过例题简单介绍行列式的计算方法）例1计算解首先按性质5，从第一行提出公因子，再从第四行提出，即再利用性质7把第三列的元素尽可能多的化为零，即作“第三行加上第一行的1倍，第四行加上第一行的-2倍”的变换，得=再利用性质3按第3列展开，即=再作“第三列加上第一列的-1倍”的变换，并按第二行展开，即===例2计算解首先交换第一列与第二列，然后作“第二行加上第一行的-1倍，第四行加上第一行的5倍”的变换，得=首先交换第二行与第三行，然后作“第三行加上第二行的4倍，第四行加上第二行的-8倍”的变换，得=再作“第四行加上第三行的倍”，化成三角形行列式，其值就是对角线上的元素乘积，即==（关于矩阵行列式，有一个重要结论请大家记住.）定理2.1对于任意两个方阵A，B，总有即方阵乘积的行列式等于行列式的乘积.（在上一讲中，我们介绍了矩阵的加法、减法和乘法运算，那么矩阵是否有除法运算呢？这就是这下面要介绍内容.）二、逆矩阵定义定义2.11对于n阶矩阵A，如果有n阶矩阵B，满足AB=BA=I（2-5-1）则称矩阵A可逆，称B为A的逆矩阵，记作.（由定义可知：）满足公式（2-5-1）的矩阵A,B一定是同阶矩阵.例3设矩阵A=，B=验证A是否可逆？解因为AB==BA==即A,B满足AB=BA=I.所以矩阵A可逆，其逆矩阵=B.可以验证：单位矩阵I是可逆矩阵；零矩阵是不可逆的.(1)单位矩阵I是可逆矩阵.证因为单位矩阵I满足：II=I所以I是可逆矩阵，且.(2)零矩阵是不可逆的.证设O为n阶零矩阵，因为对任意n阶矩阵B，都有OB=BO=O所以零矩阵不是可逆矩阵.可逆矩阵具有以下性质：(1)若A可逆，则是唯一的.证设矩阵B1,B2都是A的逆矩阵，则B1A=I，AB2=I，且B1=B1I=B1(AB2)=(B1A)B2=IB2=B2故是唯一的.(2)若A可逆，则也可逆，并且=A若A可逆，则也可逆，并且=A.证由公式（2-5-1）可知，A=A=I，故是A的逆矩阵，同时A是的逆矩阵，即=A.(3)若A可逆，数k0，则kA也可逆，且=若A可逆，数k0，则kA也可逆，且=证因为kA()=()()=I()kA=()()=I所以，kA可逆，且=(4)若n阶方阵A和B都可逆，则AB也可逆，且证因为A和B都可逆，即和存在，且(AB)()=A(B)=AI=A=I()(AB)=B(A)=BI=B=I根据定义2.11，可知AB可逆，且.性质(4)可以推广到多个n阶可逆矩阵相乘的情形，即当n阶矩阵A1,A2,…,Am都可逆时，乘积矩阵A1A2…Am也可逆，且(A1A2…Am=特别地，当m=3时，有(A1A2A3=问题：若n阶方阵A和B都可逆，那么A+B是否可逆？答：尽管n阶矩阵A和B都可逆，但是A+B也不一定可逆，即使当A+B可逆，例如A=，B=都是可逆矩阵，但是A+B=是不可逆的.而A+A=2A可逆，但是===2(5)若A可逆，则也可逆，且=.若A可逆，则也可逆，且=.证因为矩阵A可逆，故存在，且======根据定义2.11，可知也是可逆的，且=.三、可逆矩阵的判定若方阵A可逆，则存在，使.于是1=（定理2.1）得.把满足的方阵A称为非奇异的（或非退化的），否则就称为奇异的（或退化的）.（由此可以得到定理2.2：）定理2.2方阵A可逆的必要条件为A是非奇异的，即.（定理2.2结论是很重要的，但要注意，它是方阵A可逆的必要条件，不是充分条件.因此，大家就会想到若，方阵A是否可逆呢？要回答这个问题，需要引进伴随矩阵的概念）定义2.12对于n阶方阵A=，称n阶方阵为A的伴随矩阵，记作，其中为行列式中元素的代数余子式.（注意：伴随矩阵中各元素的位置秩序与常规的不一样，是由常规秩序经过转置后获得的.）（利用伴随矩阵可以证明：）定理2.3若方阵A是非奇异的，即，则A是可逆矩阵，并且有（定理2.3的证明请看教材.该定理不仅给出了可逆矩阵的一种判别方法，即当方阵A的行列式时，A是可逆矩阵；若，则A不是可逆矩阵.而且还给出了求逆矩阵的一种方法——伴随矩阵法，即若A可逆，那么只要求出它的伴随矩阵，再除以它对应的行列式的值，就能获得逆矩阵.）例4设矩阵判别A是否可逆？解因为==1即，所以A是可逆矩阵.例5设，问：当a,b,c,d满足什么条件时，矩阵A可逆？当A可逆时，求.解因为当时，由，（由定理2.3知道）得A可逆.又，，，（问题：2阶矩阵的伴随矩阵与原矩阵中的元素之间有什么联系？）所以，==（把定理2.2和定理2.3合在一起，得到判别矩阵A是否可逆的充分必要条件.）定理2.4矩阵A为可逆矩阵的充分必要条件是，且有.第4章可逆矩阵习题习题4.1考虑空间解析几何中平面，，的焦点问题，写出该问题确定的线性方程组以及所对应的系数矩阵，常数项和增广矩阵。考虑高三学年语文、数学、英语三门课程4次模拟高考成绩，用矩阵方法建立个人成绩档案。对本节股市中数据表格问题中的矩阵，给出一组调研数据并用矩阵表示出来。用三种不同面值的硬币分别作4、6、10次投掷实验，用数字1表示正面，表示反面，用矩阵形式把实验记录下来。习题4.2对下列矩阵计算：（1）；（2）。计算矩阵乘积或方幂：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）。计算矩阵多项式：（1）；（2）。证明：矩阵的乘法和加法还适合分配律，即本节（9）、（10）两式成立。矩阵乘法的消去律不成立，即当时，即使也不一定有。试针对矩阵举出例子。在下列各题中，求与矩阵可交换的所有矩阵：（1）；（2）；（3）；（4），其中。对任意正整数，给出的条件，并加以证明。证明：如果一个级矩阵与所有级矩阵作乘法都是可以交换的。那么这个矩阵一定是数量矩阵。证明：任何级矩阵总可以表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。设是对称矩阵，证明：也对称的充分必要条件是可交换。即设是实对称矩阵，证明：。证明：两个上（下）三角的乘积仍然是上（下）三角矩阵。这个性质对于对称（反对称）矩阵成立吗？试对矩阵情形讨论。习题4.3计算下列各题中矩阵乘积的行列式：（1）；（2）；（3）。判定上题中矩阵的退化性。如何仿照推论2来建立上题中（3）情形的判定？习题4.4求下列矩阵的逆矩阵：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）。求下列矩阵方程中：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）。证明：对于级方阵，如果那么就都是可逆的并且它们互为逆矩阵。证明：如果，那么可逆，并且证明：如果，那么、都可逆。设为可逆矩阵，证明：对称（反对称）对称（反对称）。对反对称情形，必然为偶数，为什么？设为可逆矩阵，证明：的伴随矩阵具有性质（1）；（2）设为可逆矩阵，证明：上（下）三角矩阵上（下）三角矩阵。习题4.5用分块方法计算下列矩阵的乘积：（1）；（2）；（3）。用分块方法计算下列矩阵的逆矩阵：（1）；（2）；（3）；（4）；