苏科版八年级上第二章《轴对称图形》单元检测试卷含答案(常用版)

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第二章《轴对称图形》单元检测苏科版八年级上第二章《轴对称图形》单元检测试卷含答案（常用版）(可以直接使用，可编辑完整版资料，欢迎下载）（满分：100分时间：90分钟）一、选择题(每题2分，共20分)1．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是轴对称图形的是()2．一张菱形纸片按图1、图2依次对折后，再按图3打出一个圆形小孔，展开铺平后的图案是()3．已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为()A．11B．16C4．如图，在△ABC中，AB=AC，且D为边BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为()A．30°B．36°C．40°D．45°5．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于()A．10B．7C6．如图，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则下列结论错误的是()A．BF=EFB．DE=EFC．∠EFC=45°D．∠BEF=∠CBE7．如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，…，按此做法继续下去，则第A．()n·75°B．()n－1·65°C．()n－1·75°D．()n·85°8．如图，在线段AE同侧作两个等边三角形：△ABC和△CDE(∠ACE<120°)，点P与点M分别是线段BE和AD的中点，则△CPM是()A．钝角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．非等腰三角形9．如图是P1、P2、…、P10十个点在圆上的位置图，且此十点将圆周分成十等分．今小玉连接P1P2、P1P10、P9P10、P5P6、P6P7，判断小玉再连接下列哪一条线段后，所形成的图形不是轴对称图形？（）A．P2P3B．P4P5 C．P7P8 D．P8P910．如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=7．如图2，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC=∠ACD．如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABED．则BE的长是（）A．4B．C．3D．2二、填空题(每题2分，共20分)11．下面有五个图形，与其他图形不同的是第个．12．如图，在2×2的方格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出方格纸中所有与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有个．13．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D．若CD=4，则点D到AB的距离是14．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，若∠ADE=40°，则∠DBC=．15．如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是．16．如图，CD与BE互相垂直平分，AD⊥DB，若∠BDE=7°，则∠CAD=．17．如图，∠BAC=110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ=．18．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为．19．在4×4的方格中有五个同样大小的正方形按图示位置摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有种．20．如图，∠AOB是一角度为10°的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管：EF，FG，GH，…，且OE=EF=FG=GH…，在OA，OB足够长的情况下，最多能添加这样的钢管的根数为．三、解答题(共60分)21．(本题6分)如图，在由边长为1的小正方形组成的10×10的网格中(我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点)，四边形ABCD在直线l的左侧，其四个顶点A，B，C，D分别在网格的格点上．(1)请你在所给的网格中画出四边形A'B'C'D'，使四边形A'B'C'D'和四边形ABCD关于直线l对称；(2)在(1)的条件下，结合你所画的图形，直接写出四边形A'B'C'D'的面积．22．(本题6分)如图，在△ABC中，∠C=90°．(1)用圆规和直尺在边AC上作点P，使点P到A，B的距离相等；(保留作图痕迹，不写作法和证明)(2)当满足(1)的点P到AB，BC的距离相等时，求∠A的度数．23．(本题8分)如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．(1)若△CMN的周长为15cm，求AB的长；(2)若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．24．(本题8分)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②BE=CD；③OB=OC．(1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形?(用序号写出所有成立的情形)(2)请选择(1)中的一种情形，写出证明过程．25．(本题8分)如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，且BD=CE，BE=CF．如果点G为DF的中点，那么EG与DF垂直吗?请说明你的理由．26．(本题10分)如图，在△ABC中，AB=AC，D，E是BC边上的点，连接AD，AE，以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD'E，连接D'C，若BD=CD'．(1)求证：△ABD≌△ACD'；(2)若∠BAC=120°，求∠DAE的度数．27．(本题12分)如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点．过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．(1)当A，B，C三点在同一直线上时(如图1)，求证：M为AN的中点．(2)将图1中△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时(如图2)，求证：△CAN为等腰直角三角形．(3)将图1中△BCE绕点B旋转到图3的位置时，(2)中的结论是否仍然成立?若成立，试证明之；若不成立，请说明理由．参考答案一、选择题1．C2．C3．D4．B5．C6．B7．C8．C(提示：△ABC和△CDE为等边三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACE+∠ECD=∠ACE+∠ACB，即∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∠CAD=∠CBE．又点P与点M分别为BE和AD的中点，∴AM=BP，∴△ACM≌△BCP，∴CM=CP，∠ACM=∠BCP，∴∠PCM=∠PCA+∠ACM=∠PCA+∠BCP=∠ACB=60°，∴△CPM是等边三角形)9．D10．B二、填空题11．③12．513．414．15°15．916．70°17．40°18．60°或120°19．13(提示：可将图中5个阴影小正方形先编号，再依次考虑如何移动，共有13种)20．8(提示：当与∠AOB形成的最大三角形的外角为直角时，不能再添加钢管三、解答题21．(1)所作图形如下：(2)四边形A'B'C'D'的面积为6．522．(1)(2)连接BP．∵点P到AB，BC的距离相等，∴BP是∠ABC的平分线，∴∠ABP=∠PBC．又∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA=PB，∴∠A=∠ABP，∴∠A=∠ABP=∠PBC=×90°=30°23．(1)∵DM，EN分别垂直平分AC和BC，∴AM=CM，BN=CN．∵△CMN的周长为15cm，∴CM+CN+MN=15(cm)，∴AM+BN+MN=15(cm)，即AB的长为15cm(2)在△CMN中，∵∠MFN=70°，∴∠FMN+∠FNM=110°，∴∠AMD+∠BNE=110°．由(1)知AM=CM，BN=CN，∴∠AMD=∠CMD，∠BNE=∠CNE，∴∠AMC+∠BNC=220°，∴∠NMC+∠MNC=140°．在△CMN中，∠MCN=180°－(∠NMC+∠MNC)=40°，即∠MCN的度数为40°24．(1)①②；①③(2)选①②证明如下：在△BOE和△COD中，∵∠EBO=∠DCO，∠EOB=∠DOC，BE=CD，∴△BOE≌△COD，∴BO=CO，∠OBC=∠OCB，∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形25．EG与DF垂直．理由如下：连接DE，EF．在△ABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C.在△CEF和△BDE中，BD=CE，∠B=∠C，BE=CF，∴△CEF≌△BDE，∴DE=EF．又∵点G为DF的中点，∴EG⊥DF26．(1)∵以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD'E，∴AD=AD'．∵在△ABD和△ACD'中，AB=AC，BD=CD'，AD=AD'，∴△ABD≌△ACD'(2)∵△ABD≌△ACD'，∴∠BAD=∠CAD'，∴∠BAC=∠DAD'=120°．∵以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD'E，∴∠DAE=∠D'AE=∠DAD'=60°，即∠DAE=60°27．(1)∵点M为DE的中点，∴DM=ME．∵AD∥EN，∴∠ADM=∠NEM，又∵∠DMA=∠EMN，∴△DMA≌△EMN，∴AM=MN，即M为AN的中点(2)由(1)中△DMA≌△EMN可知DA=EN，又∵DA=AB，∴AB=NE．∵∠ABC=∠NEC=135°，BC=CE，∴△ABC≌△NEC，∴AC=CN，∠ACB=∠NCE．∵∠BCE=∠BCN+∠NCE=90°，∴∠BCN+∠ACB=90°，∴∠ACN=90°，∴∠CAN为等腰直角三角形(3)由(2)可知AB=NE，BC=CE．又∵∠ABC=360°－45°－45°－∠DBE=270°－∠DBE=270°－(180°－∠BDE－∠BED)=90°+∠BDE+∠BED=90°+∠ADM－45°+∠BED=45°+∠MEN+∠BED=∠CEN，∴∠ACB=∠NCE，AC=CN，∠ACN=∠ACB+∠BCN=∠BCN+∠NCE=∠BCE=90°，∴△ABC≌△NEC，∴△CAN为等腰直角三角形，∴(2)中的结论仍然成立《第2章轴对称图形》一、选择题1．2021年北京车展上，我国自主品牌的轿车不论在设计上还是在性能上，都引起了外国许多专家的赞叹，下面是我国自主品牌的轿车的车标，其中是轴对称图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如图，该图案对称轴的条数是（）A．4条 B．3条 C．2条 D．1条3．已知MN是线段AB的垂直平分线，C，D是MN上任意两点，则∠CAD和∠CBD之间的大小关系是（）A．∠CAD＜∠CBD B．∠CAD=∠CBD C．∠CAD＞∠CBD D．无法判断4．如果一个三角形是轴对称图形，且有一个内角是60°，那么这个三角形是（）A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．等腰三角形 D．含30°角的直角三角形5．有两个角相等的梯形是（）A．等腰梯形 B．直角梯形C．一般梯形 D．直角梯形和等腰梯形6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，若AD=6，则CP的长为（）A．3 B．3.5 C．4 D．4.57．若△ABC的边长为a、b、c，且满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．任意三角形 D．不能确定8．如图，在等边△ABC中，BD、CE是两条中线，则∠1的度数为（）A．90° B．30° C．120° D．150°9．A，B是平面内的两个定点，在平面内找一点C，使△ABC构成等腰直角三角形，这样的C点可找（）A．2个 B．4个 C．6个 D．8个10．如图，D、E是等边△ABC的边BC上的三等分点，O为△ABC内一点，且△ODE为等边三角形，则图中等腰三角形的个数是（）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个二、填空题11．线段AB关于直线MN对称，则垂直平分．12．在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=50°，则∠B=．13．如图，点Q在∠AOB的平分线上，QA⊥OA，QB⊥OB，A、B分别为垂足，则AQ=．14．等腰三角形的周长为18cm，其中一边为8cm，则另两边的长分别为．15．如图，在△ABC中，∠ACB=130°，AC、BC的垂直平分线分别交AB于点M、N，则∠MCN=．16．如图，OP平分∠AOB，PB⊥OB，OA=8cm，PB=3cm，则△POA的面积等于cm2．17．给出一个梯形ABCD，AD∥BC，下面四个论断：①∠A=∠D；②AB=CD；③∠B=∠C；④AC=BD．其中能判断梯形ABCD为等腰梯形的是（填序号）．18．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，BC=AC，∠ACD=30°，则∠D=．三、解答题19．如图，在正方形网格内有∠AOB，请你利用网格画出∠AOB的平分线，并说明理由．20．如图，△ABC绕点A旋转到AB′C′，BC与B′C′交于P，试说明AP平分∠BPC′．21．如图，已知AB=AC，BD=DC，AD的延长线交BC于点E．（1）试说明BE=EC；（2）试说明AD⊥BC．22．如图梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD，BD⊥CD，求∠C的度数．23．如图，在等边△ABC的三边上分别取点D、E、F，使AD=BE=CF．（1）试说明△DEF是等边三角形；（2）连接AE、BF、CD，两两相交于点P、Q、R，则△PQR为何种三角形？试说明理由．24．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点P为BC边上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥DC于点F，BG⊥CD于点G，试说明PE+PF=BG．

《第2章轴对称图形》参考答案与试题解析一、选择题1．2021年北京车展上，我国自主品牌的轿车不论在设计上还是在性能上，都引起了外国许多专家的赞叹，下面是我国自主品牌的轿车的车标，其中是轴对称图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】轴对称图形．【分析】结合车标图案，根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：第一个图形，不是轴对称图形，故选项错误；第二个图形，是轴对称图形，故选项正确；第三个图形，不是轴对称图形，故选项错误；第四个图形，不是轴对称图形，故选项错误；第五个图形，是轴对称图形，故选项正确．故选B．【点评】本题考查了轴对称图形的概念：熟记轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合是解题的关键．2．如图，该图案对称轴的条数是（）A．4条 B．3条 C．2条 D．1条【考点】轴对称图形．【分析】根据该图形的特点结合轴对称图形的定义得出即可．【解答】解：该图案对称轴的条数是2条．故选C．【点评】本题考查了轴对称图形的概念．判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3．已知MN是线段AB的垂直平分线，C，D是MN上任意两点，则∠CAD和∠CBD之间的大小关系是（）A．∠CAD＜∠CBD B．∠CAD=∠CBD C．∠CAD＞∠CBD D．无法判断【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】首先根据题意画出图形，然后由MN是线段AB的垂直平分线，C，D是MN上任意两点，根据线段垂直平分线的性质可得：AC=BC，AD=BD，则可证得∠DAB=∠CBA，∠DAB=∠DBA，继而求得答案．【解答】解：∵MN是线段AB的垂直平分线，C，D是MN上任意两点，∴AC=BC，AD=BD，∴∠DAB=∠CBA，∠DAB=∠DBA，如图1，∠CAD=∠CAB+∠DAB，∠CBD=∠CBA+∠DBA，∴∠CAD=∠CBD；如图2，∠CAD=∠CAB﹣∠DAB，∠CBD=∠CBA﹣∠DBA，∴∠CAD=∠CBD．故选B．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．4．如果一个三角形是轴对称图形，且有一个内角是60°，那么这个三角形是（）A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．等腰三角形 D．含30°角的直角三角形【考点】生活中的轴对称现象．【分析】三角形是轴对称图形，则该三角形是等腰三角形，根据有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形，即可作出判断．【解答】解：因为三角形是轴对称图形，则该三角形是等腰三角形，根据有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形．故选A．【点评】本题主要考查了等边三角形的判定方法，是需要熟记的内容．5．有两个角相等的梯形是（）A．等腰梯形 B．直角梯形C．一般梯形 D．直角梯形和等腰梯形【考点】梯形．【分析】由直角梯形中有两个直角，等腰梯形同一底上的两个角相等，即可求得答案．【解答】解：∵直角梯形中有两个直角，等腰梯形同一底上的两个角相等，∴有两个角相等的梯形是直角梯形和等腰梯形．故选D．【点评】此题考查了直角梯形与等腰梯形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意直角梯形中有两个直角，等腰梯形同一底上的两个角相等．6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，若AD=6，则CP的长为（）A．3 B．3.5 C．4 D．4.5【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质．【分析】由题意推出BD=AD，然后，在Rt△BCD中，CP=BD，即可推出CP的长度．【解答】解：∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，∴∠A=30°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠DBA=30°，∴BD=AD，∵AD=6，∴BD=6，∵P点是BD的中点，∴CP=BD=3．故选A．【点评】本题主要考查角平分线的性质、等腰三角形的判定和性质、折角三角形斜边上的中线的性质，关键在于根据已知推出BD=AD，求出BD的长度．7．若△ABC的边长为a、b、c，且满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．任意三角形 D．不能确定【考点】因式分解的应用．【分析】利用完全平方公式进行局部因式分解，再根据非负数的性质进行分析．【解答】解：∵a2+b2+c2=ab+bc+ca，∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca=0，（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2=0，∴a=b=c，∴三角形是等边三角形．故选B．【点评】此题考查了完全平方公式的运用和非负数的性质，即几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0．8．如图，在等边△ABC中，BD、CE是两条中线，则∠1的度数为（）A．90° B．30° C．120° D．150°【考点】等边三角形的性质．【分析】先根据在等边△ABC中，BD、CE是两条中线得出∠AEC与∠ADB的度数，再根据四边形内角和定理即可得出结论．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，BD、CE是两条中线，∴∠AEC=∠ADB=90°，∠A=60°，∴∠1=360°﹣90°﹣90°﹣60°=120°．故选C．【点评】本题考查的是等边三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．9．A，B是平面内的两个定点，在平面内找一点C，使△ABC构成等腰直角三角形，这样的C点可找（）A．2个 B．4个 C．6个 D．8个【考点】等腰直角三角形．【分析】分三种情况考虑：当A为直角顶点时，过A作AB的垂线，以A为圆心，AB长为半径画弧，与垂线交于C3、C4两点；当B为直角顶点时，过B作AB的垂线，以B为圆心，BA长为半径画弧，与垂线交于C5、C6；当C为直角顶点时，以上两种情况的交点即为C1、C2，综上，得到所有满足题意的点C的个数．【解答】解：A，B是平面内的两个定点，在平面内找一点C，使△ABC构成等腰直角三角形，如图所示：则这样的C点有6个，故选C．【点评】此题考查了等腰直角三角形，利用了分类的思想，根据等腰直角三角形的性质找全满足题意的C点是本题的关键．10．如图，D、E是等边△ABC的边BC上的三等分点，O为△ABC内一点，且△ODE为等边三角形，则图中等腰三角形的个数是（）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个【考点】等腰三角形的判定；等边三角形的性质．【分析】根据等腰三角形判定和等边三角形性质得出△ODE、△ABC，求出∠ODE=∠OED=60°，OE=EC，OD=OB，求出∠OBC=∠OCB=30°，求出∠OBA=∠OCB=30°，即可得出、△OEC、△OBC、△AOB、△AOC也是等腰三角形．【解答】解：等腰三角形有△ODE、△ABC、△ODB、△OEC、△OBC、△AOB、△AOC，共7个，故选D．【点评】本题考查了等腰三角形的判定和等边三角形的性质的应用，注意：有两边相等的三角形是等腰三角形，有两角相等的三角形是等腰三角形．二、填空题11．线段AB关于直线MN对称，则MN垂直平分AB．【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】根据对称轴垂直平分对应点的连线可知：线段AB关于直线MN对称，则MN垂直平分AB．【解答】解：线段AB关于直线MN对称，则MN垂直平分AB．故填MN，AB．【点评】主要考查了轴对称的性质．对称轴垂直平分对应点的连线．12．在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=50°，则∠B=65°．【考点】等腰三角形的性质．【分析】根据等腰三角形性质即可直接得出答案．【解答】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠A=50°，∴∠B=（180°﹣50°）÷2=65°．故答案为：65°．【点评】本题考查学生对等腰三角形的性质的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．13．如图，点Q在∠AOB的平分线上，QA⊥OA，QB⊥OB，A、B分别为垂足，则AQ=BQ．【考点】角平分线的性质．【分析】由角平分线的性质可得AQ=BQ．【解答】解：∵OQ平分∠AOB，且QA⊥OA，QB⊥OB，∴AQ=BQ，故答案为：BQ．【点评】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．14．等腰三角形的周长为18cm，其中一边为8cm，则另两边的长分别为2cm、8cm或5cm、5cm．【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】分8cm是腰长与底边长两种情况讨论求解．【解答】解：①8cm是腰长时，18﹣8×2=2cm，所以，其余两边长为2cm、8cm，②8cm是底边时，（18﹣8）=5cm，所以，其余两边长为5cm、5cm，故答案为：2cm、8cm或5cm、5cm．【点评】本题主要考查了等腰三角形两腰相等的性质，难点在于要分情况讨论求解．15．如图，在△ABC中，∠ACB=130°，AC、BC的垂直平分线分别交AB于点M、N，则∠MCN=80°．【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】首先由在△ABC中，∠ACB=130°，可求得∠A+∠B的度数，然后由AC、BC的垂直平分线分别交AB于点M、N，根据线段垂直平分线的性质，可得AM=CM，BN=CN，即可得∠ACM=∠A，∠BCN=∠B，继而求得∠ACM+∠BCN的度数，则可求得答案．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB=130°，∴∠A+∠B=50°，∵AC、BC的垂直平分线分别交AB于点M、N，∴AM=CM，BN=CN，∴∠ACM=∠A，∠BCN=∠B，∴∠ACM+∠BCN=∠A+∠B=50°，∴∠CMN=∠ACB﹣（∠ACM+∠BCN）=80°．故答案为：80°．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．注意求得∠ACM+∠BCN=∠A+∠B是关键．16．如图，OP平分∠AOB，PB⊥OB，OA=8cm，PB=3cm，则△POA的面积等于12cm2【考点】角平分线的性质．【分析】过点P作PD⊥OA于点D，根据角平分线的性质求出PD的长，再由三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：过点P作PD⊥OA于点D，∵OP平分∠AOB，PB⊥OB，PB=3cm，∴PD=PB=3cm，∵OA=8cm，∴S△POA=OA•PD=×8×3=12cm2．故答案为：12．【点评】本题考查的是角平分线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．17．给出一个梯形ABCD，AD∥BC，下面四个论断：①∠A=∠D；②AB=CD；③∠B=∠C；④AC=BD．其中能判断梯形ABCD为等腰梯形的是①②③④（填序号）．【考点】等腰梯形的判定．【分析】由同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形得出①③能判定梯形ABCD为等腰梯形；由两腰相等的梯形是等腰梯形得出②能判定梯形ABCD为等腰梯形；由两条对角线相等的梯形是等腰梯形得出④能判定梯形ABCD为等腰梯形；即可得出结果．【解答】解：①能判定；理由如下：在梯形ABCD，AD∥BC，∵∠A=∠D，∴四边形ABCD是等腰梯形（同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形），∴①能判定；同理：③能判定；②能判定；理由如下：在梯形ABCD，AD∥BC，∵AB=CD，∴四边形ABCD是等腰梯形（两腰相等的梯形是等腰梯形），∴②能判定；④能判定；理由如下：在梯形ABCD，AD∥BC，∵AC=BD，∴四边形ABCD是等腰梯形（两条对角线相等的梯形是等腰梯形），∴④能判定；故答案为：①②③④．【点评】本题考查了等腰梯形的判定方法；熟练掌握等腰梯形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．18．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，BC=AC，∠ACD=30°，则∠D=110°．【考点】等腰梯形的性质．【分析】由等腰梯形的性质得出∠B=∠BCD，设∠ACB=x，则∠B=∠BCD=x+30°，由等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠BAC=∠B=x+30°，∠DAC=∠ACB=x，∠B+∠BAD=180°，得出方程，解方程求出∠BCD，即可得出∠D的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是等腰梯形，AB=DC，∴∠B=∠BCD，设∠ACB=x，则∠B=∠BCD=x+30°，∵BC=AC，∴∠BAC=∠B=x+30°，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=x，∠B+∠BAD=180°，即x+30+x+30+x=180°，解得：x=40°，∴∠D=180°﹣∠BCD=180°﹣70°=110°．故答案为：110°．【点评】本题考查了等腰梯形的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质；熟练掌握等腰梯形和等腰三角形的性质，由角的关系得出方程是解决问题的关键．三、解答题19．如图，在正方形网格内有∠AOB，请你利用网格画出∠AOB的平分线，并说明理由．【考点】作图—复杂作图．【分析】利用边边边构造全等三角形，可得对应角相等，从而画出∠AOB的平分线．【解答】解：如图所示：OC即为所求∠AOB的平分线．【点评】考查角平分线上一点的确定；构造三角形全等或确定等腰三角形底边中点是解决本题的主要方法．20．如图，△ABC绕点A旋转到AB′C′，BC与B′C′交于P，试说明AP平分∠BPC′．【考点】旋转的性质．【专题】证明题．【分析】作AD⊥BC于D，AD′⊥B′C′于D′，如图，先根据旋转的性质得到△ABC≌△A′B′C′，则根据全等三角形的性质得到AD=AD′，然后根据角平分线的性质即可得到AP平分∠BPC′．【解答】证明：作AD⊥BC于D，AD′⊥B′C′于D′，如图，∵△ABC绕点A旋转到AB′C′，∴△ABC≌△A′B′C′，∴AD=AD′，∴AP平分∠BPC′．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了角平分线的性质．21．如图，已知AB=AC，BD=DC，AD的延长线交BC于点E．（1）试说明BE=EC；（2）试说明AD⊥BC．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】（1）根据SSS证明△ABD与△ACD全等，再利用等腰三角形的性质证明即可；（2）根据等腰三角形的性质证明即可．【解答】证明：在△ABD与△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD=∠CAD，∴△ABC是等腰三角形，∴BE=EC；（2）∵△ABC是等腰三角形，BE=EC，∴AD⊥BC．【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，以及等腰三角形的性质解答，关键是根据SSS证明△ABD与△ACD全等．22．如图梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD，BD⊥CD，求∠C的度数．【考点】等腰梯形的性质．【分析】由AB=AD=CD，可知∠ABD=∠ADB，又AD∥BC，可推得BD为∠B的平分线，而由题可知梯形ABCD为等腰梯形，则∠B=∠C，那么在RT△BDC中，∠C+∠C=90°，可求得∠C=60°．【解答】解：∵AB=AD=CD∴∠ABD=∠ADB∵AD∥BC∴∠ADB=∠DBC∴∠ABD=∠DBC∴BD为∠B的平分线∵AD∥BC，AB=AD=CD∴梯形ABCD为等腰梯形∴∠B=∠C∵BD⊥CD∴∠C+∠C=90°∴∠C=60°【点评】先根据已知条件可知四边形为等腰梯形，然后根据等腰梯形的性质和已知条件求解．23．如图，在等边△ABC的三边上分别取点D、E、F，使AD=BE=CF．（1）试说明△DEF是等边三角形；（2）连接AE、BF、CD，两两相交于点P、Q、R，则△PQR为何种三角形？试说明理由．【考点】等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）由△ABC是等边三角形，AD=BE=CF，易证得△ADF≌△BED，即可得DF=DE，同理可得DF=EF，即可证得：△DEF是等边三角形；（2）由（1）证得△ADF≌△BED，得到BD=AF，通过△ABF≌△CBD，得到∠ABF=∠BCD，求得∠RPQ=∠FBC+∠BCD=60°，同理∠PQR=∠PRQ=60°，于是得到结论．【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∵AD=BE=CF，∴AF=BD，在△ADF和△BED中，，∴△ADF≌△BED（SAS），∴DF=DE，同理DE=EF，∴DE=DF=EF．∴△DEF是等边三角形；（2）△PQR是等边三角形，理由：由（1）证得△ADF≌△BED，∴BD=AF，在△ABF与△CBD中，，∴△ABF≌△CBD，∴∠ABF=∠BCD，∵∠ABF+∠CBF=60°，∴∠CBF+∠BCF=60°，∵∠RPQ=∠FBC+∠BCD=60°，同理∠PQR=∠PRQ=60°，∴△PQR是等边三角形．【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键．24．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点P为BC边上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥DC于点F，BG⊥CD于点G，试说明PE+PF=BG．【考点】等腰梯形的性质．【专题】证明题．【分析】过P作PH⊥BG，把BG分成两段，根据矩形得到PF=HG，再证明△BPH和△PBE全等得到PE=BH，继而可得出结论．【解答】证明：过点P作PH⊥BG，垂足为H，∵BG⊥CD，PF⊥CD，PH⊥BG，∴∠PHG=∠HGC=∠PFG=90°，∴四边形PHGF是矩形，∴PF=HG，PH∥CD，∴∠BPH=∠C，在等腰梯形ABCD中，∠PBE=∠C，∴∠PBE=∠BPH，又∠PEB=∠BHP=90°，BP=PB，在△PBE和△BPH中∴△PBE≌△BPH（AAS），∴PE=BH，∴PE+PF=BH+HG=BG．【点评】本题考查了等腰梯形的性质，利用“截长补短法”的截长，即把较长的线段截为两段，再分别证明线段相等，从而问题得以解决．第二章均匀物质的热力学性质习题2.1温度维持为25℃,压强在0至1000pn之间，测得水的实验数据如下：（）p=(4.5×10-3+1.4×10-6P)cm3·mol-1·K-1若在25℃的恒温下将水从1pn加压到1000p解：利用麦氏关系：=-求熵增S;从而=,=-0.572Jmol-1·K-1=-157J·mol-1习题2.2已知在体积保持不变的情况下,一气体的压强正比于其绝对温度.试证明在温度保持不变时,该气体的熵随体积而增加。解：由题意得：。因V不变,T、p升高,故k(V)>0据麦氏关系()式得:==(V)(k(V)>0)由于k(V)>0,当V升高时(或V0→V,V>V0),于是T不变时,S随V的升高而升高。2.3设一物质的物态方程具有以下形式，试证明其内能与体积无关。解：，()T=-p==0得证。习题2.4求证：(ⅰ)<0(ⅱ)>0证:由式()得：等H过程:（）H=-<0(V>0;T>0)由基本方程：;（）U=>0.习题2.5已知=0,求证=0。解：由式()得：=-p;=0;===0=∵≠0;=0。习题2.6试证明一个均匀物体在准静态等过程中熵随体积的增减取决于等压下温度随体积的增减。解：F=U-TS,将自由能F视为P,V的函数;F=F(p,V)==由关系;。习题2.7试证明在相同的压强降落下,气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在节流过程中的温度降落。（提示:证明->0）证：联立（1），（2）式得：-===据：熵不变时，（dS=0）,=-=；原题得证。习题2.8实验发现,一气体的压强p与比容v的乘积及内能U都只是温度的函数,即pv=f(T);U=U(T)，试据热力学理论,讨论该气体物