人教数学A版-3《排列组合,二项式定理》教材解析

解析教材排列组合二项式定理概率统计《排列、组合、二项式定理》是中学数学相对独立的一部分，是大学学习的基础和桥梁，其试题特点是基础和全面且内容与实际生活联系比较密切，随着新课改的深入，高考将越来越重视这部分的内容，2022年高考对这一部分内容的考查注重考查基础知识和基本方法．一热点考点聚焦排列组合的试题以客观题的形式出现，多为课本例题、习题迁移的改编题，其应用包含在概率应用题中进行考查，一般不需要高难技巧。求解时,首先需仔细理解题意,正确地将复杂事件“不重不漏”地分解为一些简单事件,然后合理地利用排列数或组合数进行计算，应增强阅读理解能力和构建模型简化运算能力.重点考查运用这些知识去解决问题的能力，凸现逻辑划分、化归转化等思想方法的应用.二项式定理展开式为特殊数列的和，逆用二项式定理简化数列求和或证明不等式的问题，成为高考网络交汇处设计试题的热点；概率统计试题的题量大致为2道，约占全卷总分的6％-10％，试题的难度为中等或中等偏易；通过对基础知识的重新组合、变式和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题。试题主要包括：基本概念和基本公式，对等可能性事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、事件在n次独立重复试验中恰发生k次的概率、离散型随机变量分布列和数学期望、方差、抽样方法频率分布表和频率分布直方图，总体分布的估计，正态分布，线性回归等．高考试卷中的概率应用试题，大多数源于教材，是由教材例、习题的组合、加工和拓展而成，充分表现出教材的基础作用.因此复习阶段要以课本的例、习题为素材，深入浅出、举一反三地加以类比、延伸和拓展，在“变式”上下工夫，力求对教材内容融会贯通，只有这样，才能“以不变应万变”，达到事半功倍的效果.二思考总结1、解决排列组合的应用问题是高考常见题型，其中主要考查有附加条件的应用题，解决这类问题通常有三种途径：(1)以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其它元素；（2）以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其它位置；（3）先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数.前两种叫直接法，后一种叫间接法.2、处理排列组合的综合性问题，一般思想方法是先选元素（组合），后排列，按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程“分步”，始终是处理排列、组合问题的基本方法和原理，通过解题训练要注意积累分类和分步的技能.3、对于有关组合数的求值、化简与证明，常常运用“赋值法”.4、利用二项式定理证明不等式时，设法将待证的不等式用二项式定理展开成较简单的表达式，对高次可考虑用放缩法处理；利用二项式定理研究整除问题，若除数为m则关键是把除式写成其中a,b为整数（或整式）；用二项式定理进行近似计算，关键是恰当地舍去不影响精确度的项.5、解决概率问题的关键是清楚所求事件是由哪些基本事件构成的，是这些基本事件有一个发生，还是同时发生，即事件是彼此互斥的事件有一个发生，还是相互独立事件同时发生.6、应注意（1）有放回抽样和无放回抽样，前者可看成独立事件，而后者（一般看成等可能事件来求概率）；（2）数量很大产品无放回抽取和从有限件产品中无放回抽取，前者可近似看成独立事件，而后者不能.7离散型随机变量的期望和方差是随机变量中两个最重要的特征数，它们分别反映了随机变量取值的平均值及其稳定性；求和的关键是求的分布列：（1）若分布列中概率值是待定常数，则必须根据分布列性质，先求出待定常数，再求期望和方差；（2）求的每种可能值的概率，应注意紧扣题意，分析清楚，对于的某个取值究竟有几种情形，表达的是几种试验结果；若随机变量则应注意在解题中的应用，不一定只设一个随机变量；利用二项分布的期望、方差计算公式及性质可以简化某些特殊的期望、方差的计算，但务必要准确运用，防止出现不该有的失误；期望与方差、标准差在实际中应用广泛，解决离散型随机变量的期望、方差有关应用题时，要认真分析题意，准确判断概率分布的类型，从而求出各种随机变量的相应概率，进而求出问题的解.8简单随机抽样、系统抽样和分层抽样是三种常用的抽样方法，三种方法的共同特点是在抽样过程中每个个体被抽取的概率相等，体现这些抽样方法的客观性和总体性.当总体中的个体量较小时，常采用简单随机抽样；当总体中的个体量较大时，常采用系统抽样；当已知总体由差异明显的几部分组成时，常采用分层抽样，实现简单随机抽样，常用抽签法和随机数表法.9求总体的频率分布的步骤：（1）计算最大值与最小值；(2)决定组距与组数；(3)决定分点；（4）列出频率分布表；（5）画出频率分布的直方图.10决定一个正态分布的是两个重要的参数，平均数（期望、数学期望）和标准差.我们不但明白和在统计上的意义，还要对应到正态曲线上的曲线几何意义，做到从概率、统计、曲线、函数这四个方面来把握和理解，其中后两个方面是作为数学工具来为前两个方面服务的；正态分布和线性回归属了解内容，不必过高要求；标准正态分布集中体现了所有正态分布的特点，所有的正态分布都可化归为标准正态分布，这正是“标准”一词的体现；在求总体落在某个区间里的概率时，我们往往借助于正态曲线的性质和查标准正态分布.11、求分布列，首先要确定随机变量的取值，其次求其取某个值的概率，在这里，一般都要通过排列组合的知识来计算其取值的概率.期望和方差是离散型随机变量两个重要特征，求期望和方差的步骤是：（1）写出随机变量的分布列；（2）正确应用期望和方差的公式计算（同时还应掌握如二项分布的期望和方差计算的结论等）12构建常见的概率模型：几何分布两点分布二项分布超几何分布正态分布13重要的数学思想和方法（1）一一对应的思想：和填空位模型的方法构成一一对应；取出来的与剩余的是一一对应的关系（2）特殊化的思想：元素分析法；位置分析法；（3）等价转化的思想:先取后排复杂问题的处理方法；（4）分类讨论的思想:，从某一个特殊元素入手，含与不含分类有且仅有只有两类；构造的思想和方法.补集思想.（5）模型化的思想三技巧和方法（一）“相邻位置整体思维，构建排列和组合数”简化求解涂色问题.123123456解析：如何栽种？可重复的排列问题如何求解?1、2、3块两两相邻,特殊位置优先,不同的设计将产生不同的思维方法.若从结果入手,分步中再整体分类,产生方法1:先涂1号区域，然后整体思考与1相邻的5，2，3进行合理分类，5，2，3均不同色；5与2同色；5与3同色；而5与2同色，5与3同色位置对等又可并为一类，后再分步栽种4，6，于是，不同的栽种方法为特殊位置优先分步完成产生方法2:第1、2、3块两两相邻，我们先安排这三块，给第1、2、3块种花时分别有4、3、2种种法，所以共有4×3×2=24种不同种法;下面给第4块种花，若第4块与第6块同色，只有一种种植方法，则第5块只有2种种法，则第4块与第2块同色时，共有2×1=2种种法;若第4块与第6块不同色，但第4块与第2块同色，则第6块有2种种植的方案，而第5块只有1种种法，共有2种不同的种植方法;若第4块与第6块不同色，但第4块与第2块不同色，则第6块有1种种法，则第5块也有一种不同种法，所以第4块与第6块不同色时，有1种种法,综上共有24×(2＋2＋1)=120种不同的种植方法．感悟:元素可重复的排列问题,弄清事件如何完成,设计做法是优先原则下的分步中的合理分类.本题从涂色的结果入手分类研究产生解法1，分步途中整体把握对顶的两个区域同色和异色分类完成有解法2，可要好好回味2种思维方法的发生和发展过程。（二）巧用对立事件简化计数例今有标号1，2，3，4，5的5封信，另有同样的标号的5个信封，现将5封信任意地装入5个信封，每个信封装入1封信，试求=1\*GB2⑴至少有2封信配对的概率；=2\*GB2⑵至少有1封信配对的概率；=3\*GB2⑶没有1封信配对的概率.解析：注意彼此互斥事件的特征合理分类，巧用对立事件的关系简化计算.=1\*GB2⑴设恰有2封信配对的事件为A，设恰有3封信配对的事件为B，设恰有4封信（也即5封信）配对的事件为C，则“至少有2封信配对”的事件等于A+B++C，切A，B，C两两互斥.由排列组合知识易知，，所求概率为=2\*GB2⑵在=1\*GB2⑴的基础上，只需研究恰有1封信配对的方法，其实质为“5个人坐好位置交换4个人的位置（都换位）”系满足条件的有限制的排列的个数问题，一一列举有且只有9种，于是，至少有1封信配对的概率.=3\*GB2⑶没有1封信配对的对立事件为至少有1封信配对，故没有1封信配对的概率为.感悟：含有“至多”、“至少”的排列组合问题，是需要分类问题.若用间接法，即排除法（总体取杂）但仅适用于反面情况明确且易于计算的情况.1．“5个人坐好位置交换某些人的位置（都换位）”系特殊的有限制条件的排列个数问题，应用“竖图列举法”一一列举，结论是：交换1人位置的方法有0种，交换2人位置的方法有1种，交换3人位置的方法有2种，交换4人位置的方法有9种，交换5人位置的方法有44种.25个人坐好位置交换5个人的方法有44种，利用对立事件的关系，用间接法探究.5个人坐好位置交换5个人的位置的对立事件是至少有1个人没换位分类有，1，2，3，4个（含5个）人没换位，其方法为，故5个人坐好位置交换5个人的方法有3本题的探究已经解决了5个元素的错位排列的研究方法和结论。（三）构建概率模型确定分布列一构建几何分布在独立重复试验中，某事件第一次发生时所做试验的次数是一个取值为正整数的离散型随机变量，“”表示第次独立重复试验时事件第一次发生。我们称服从几何分布,并记,其中.例1从一批有10个合格品与3个次品的产品中，一件一件地抽取产品，设每个产品被抽到的可能性相同，在下列三种情况下，分别求出直到取出合格品为止时所需抽取次数的分布列。（1）每次取出的产品都不放回此批产品中；（2）每次取出的产品都立即放回次批产品中，然后再取一件产品；（3）每次取出一件产品后总把一件合格品放回此批产品中。解析：由于取求后不放回，每次取产品的结果互相影响；由于取球后放回，各次取产品相互独立，它是一个几何分布；有放回取且放回正品，基本事件总数发生变化。（1）由题知的取值为1，2，3，4。当时，即只取一次就取到合格品，故；当时，即只取一次就取到次品，而第二次取到合格品，故；类似地，有，。所以的分布列为：123410/135/265/1431/286（2）由于取球后放回，所以的取值为1，2，3，…，n，…，则随机变量服从几何分布。当时，即第一次就取到合格品，故；当时，即第一次没有到合格品，而第二次取到合格品，故；当时，即第一、二次都没有到合格品，而第三次取到合格品，故；类似地，当时，即前n-1次都没有取到合格品，而第n次取到合格品，故因此的分布列为：123...n………(3)由题知的取值为1，2，3，4.当时，即第一次就取到合格品，故；当时，即第一次取到次品而第二次取到合格品，注意第二次再取时这批产品有11个合格品,2个次品故；类似地，有,,因此的分布列为:34感悟：此题主要考查等可能事件的概率问题,有放回和没有放回的基本事件总数是不一样的,特别是第2问是有放回摸球问题,表示第次独立重复试验时事件第一次发生,而前次独立重复试验时,事件都没有发生,这样的独立重复试验可以无限的进行下去,因而是一个典型的几何分布问题.二构建两点分布(0—1分布)某事件在一次试验中或者发生或者不发生只有两种情况,发生的概率为,不发生的概率为,此时我们称事件发生的概率服从0---1分布.例2篮球比赛中每次罚球命中球得1分,不中得0分,已知某运动员罚球命中的概率为0，求他一次罚球得分的分布列.解析：设他罚球得分为，则的分布列为：010．30．7感悟：两点分布的应用十分广泛，如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可用两点分布来研究。三、构建超几何分布一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件的概率为：其中，且称分布列为超几何分布列。如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布，它适用于有限不放回抽样问题。例3一家工厂收到批量为40的多批保险丝，接到部门从每一批中随机检查4根保险丝只要在任何一根为不合格，则拒绝该批，若某一批却有%的不合格品，则抽检的4根保险丝中有一根不合格的概率是多少？该批被接受的概率是多大？解析：设X表示抽取的4根中不合格品的根数，则X可能取值为0、1、2、3、4，某一批的40根保险丝，可分为两类，即合格品和不合格品，从中随机抽取4根，可以看成是不放回抽取4次，因此X服从超几何分布。在批量为40的多批保险丝中，某一批有10%的不合格品，因此在这一批中不合格品的根数为4，所以由超几何分布可知，抽检的4根保险丝中有1根为不合格品的概率为：；该批被接受的概率为：由此可见，即使不合格品为10%的一批任有64%的接受概率。感悟：在应用超几何分布时，适用的条件是从有限总体中无放回抽样问题，在解题时一定要分清是否放回，正确使用概率模型。四、构建二项分布一般地，在一次试验中某事件发生的概率为，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为，其中，于是得到随机变量的概率分布如下：012…k….n。。。。。。由于恰好是二项展开式+++。。。++。。。+中的第k+1项（这里k可取0，1，2，。。。，n中的各个值），所以称这样的随机变量服从二项分布，记作，其中为参数，并记：=，n是独立重复试验的次数，p是每一次试验中某事件发生的概率。例4从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，设X为途中遇到红灯的次数，求随机变量X的分布列及至多遇到一次红灯的概率。分析：由于在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，而途中有3个交通岗且每次遇到红灯的概率都是，因而可认为是做了3次独立重复试验，每次试验中事件A发生的概率都是，一次途中遇到红灯次数X服从参数为3，的二项分布。解析：由题设知：随机变量X的可能取值为0、1、2、3，所以，，其分布列为：0123至多遇到一次红灯的概率为.感悟：在应用二项分布求概率时，一定要分清参数n、p，否则容易出错.五构建正态分布例5（湖北高考）在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布.已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名.（Ⅰ）、试问此次参赛学生总数约为多少人？（Ⅱ）、若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？可共查阅的（部分）标准正态分布表0123456789解析：（Ⅰ）认识正态分布的意义，设参赛学生的分数为，因为～N(70，100)，由条件知，P(≥90)＝1－P（<90）＝1－F(90)＝1－＝1－(2)＝1－＝.这说明成绩在90分以上（含90分）的学生人数约占全体参赛人数的％，因此，参赛总人数约为≈526（人）.（Ⅱ）假定设奖的分数线为x分，则P(≥x)＝1－P（<x）＝1－F(90)＝1－＝＝，即＝，查表得≈，解得x＝.故设奖得分数线约为分.感悟：本题主要考查正态分布，对独立事件的概念和标准正态分布的查阅，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力.这是06年高考数学试题中唯一考查正态分布的应用试题，很耐人寻味.四09高考排列组合与二项式定理思维方法归类1.特殊元素的“优先排列法”对于特殊元素的排列组合问题，一般先考虑特殊元素，再考其他的元素。例1（09北京）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A．324B．328C．360D．648解析：首先应考虑“0”是特殊元素，当0排在末位时，有（个），当0不排在末位时，有（个），于是由分类计数原理，得符合题意的偶数共有（个）.故选B.感悟：对于排列的应用问题应遵循两个原则：一是按元素的性质进行分类；二是按事件发生的过程进行分步；解题时按特殊元素分类，遵循先特殊后一般，先选再排，避免重复和遗漏.2.相邻问题用捆绑法：对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。例2（09四川）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是A.60B.48C.42D.36解法一：从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必须在A、B之间（若甲在A、B两端。则为使A、B不相邻，只有把男生乙排在A、B之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求）此时共有6×2＝12种排法（A左B右和A右B左）最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，所以，共有12×4＝48种不同排法。解法二：从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三类情况：第一类：女生A、B在两端，男生甲、乙在中间，共有=24种排法；第二类：“捆绑”A和男生乙在两端，则中间女生B和男生甲只有一种排法，此时共有＝12种排法第三类：女生B和男生乙在两端，同样中间“捆绑”A和男生甲也只有一种排法。此时共有＝12种排法，三类之和为24＋12＋12＝48种。感悟：（1）排列问题中，部分元素相邻的问题可以用“捆绑法”解；部分元素不相邻的问题可用“插空法”解；部分元素无序的问题也可以用“插空法”；（2）对于有限制条件的排列问题，一般先从特殊元素和特殊位置入手，基本解法有直接法和间接法.3正难则反，间接处理

对于某些排列组合问题的正面情况较复杂而其反面情况却较简单时，可先考虑无限制条件的排列，再减去其反面情况的总数。例3(09湖北)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为解析：用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是，顺序有种，而甲乙被分在同一个班的有种，所以种数是感悟：处理排列组合的综合性问题，一般思想方法是先选元素（组合），后排列，按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程“分步”，始终是处理排列组合问题的基本方法和原理，通过解题训练要注意积累分类和分步的基本技能.4.分组问题：均匀分组，除法处理；非均匀分组，组合处理

对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其它元素进行排列。也可先放好定序的元素，再一一插入其它元素。例4（09重庆）将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种（用数字作答）．解析：分两步完成：第一步将4名大学生按，2，1，1分成三组，其分法有;第二步将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有所以满足条件得分配的方案有感悟：如何理解平均分组？应用组合数公式推导中的“先选后排”的方法加以理解。6本不同的书分给甲、乙、并，每人2本的分法为种，可以分步完成，先将6本书分成3堆，每堆2本，其均匀分成3组的分法为x,再将这3堆书分给3个人，方法为，则5.合理分类与准确分步：含有约束条件的排列组合问题，按元素的性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。例5（09天津）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有个（用数字作答）解析：个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有：种；个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有：种，所以共有个。感悟：特殊元素优先安排的策略；合理分类和分步的策略；排列、组合混合问题先选后排，先分堆后分配的策略；正难则反、等价转化策略；相邻问题捆绑处理策略；不相邻问题插空处理策略；定序问题除法处理策略；分配问题直排处理或先分堆后分配的策略；“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；构造模型的策略.6.利用“赋值法”求部分项系数，二项式系数和例6(09湖北)设，则解析：令得令时令时两式相加得：两式相减得：，代入极限式可得，故选B；感悟：对于二项式系数问题，赋值法是常用的解题方法，应结合题目要求适当赋值进行变形求值,许多复杂的与系数有关的问题均可以通过简单的赋值得到解决.7.二项式定理及其展开式的应用例7（2022北京）若为有理数），则A．45B．55C．70D．80解析：二项式定理展开切入，，由已知得，∴.故选C.感悟：本题利用二项式定理展开式，结合待定系数法求的参量值，是直接用法.五特别提醒概率分布列中的误区警示从函数的观点来看，离散型随机变量是其相应概率的函数，这个函数可以用列表法表示，其这个函数表叫做离散型随机变量的分布列.同学在学习中缺少用函数的观念认识和感悟，导致随机变量的取值和概率分布列性质应用中的错误.1概率分布列的两个性质认识不到位致错例1某射手有5发子弹，射击一次命中概率为.如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数的分布列错解:，则随机变量的分布列为12345策略：对的意义理解不全面导致遗漏，此时应包括两种情形：一是前4发没有命中，恰第5次命中，概率为，二是这5发子弹都未命中，概率为，所以，也可利用对立事件；则随机变量的分布列为12345警示：发生错误的原因是对分布列性质不理解，不会用分布列中的概率和为1简化求解概率.概率分布列的性质是判断能否构成分布列的依据和方法，结合数列求和可待定参数，利用分布列中的概率和为1和对立事件可简化求解某类的概率，要好好积累.2随机变量的意义理解不到位或概率计算出错已知从“神六”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所进行该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，每次实验结果相互独立，