2020秋高中数学人教版4-5课堂演练：第三讲 柯西不等式与排序不等式 复习课

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020秋高中数学人教A版选修4-5课堂演练：第三讲柯西不等式与排序不等式复习课复习课［整合·网络构建][警示·易错提醒］1．柯西不等式的易错点．在应用柯西不等式求最值时，易忽视等号成立的条件．2．排序不等式的易错点．不等式具有传递性，但并不是任意两个不等式比较大小都可以用传递性来解决的,由a＞m，b＞m，推出a＞b是错误的．专题一柯西不等式的应用柯西不等式主要有二维形式的柯西不等式(包括向量形式、三角形式）和一般形式的柯西不等式，不仅可以用来求最值，还可以用来证明不等式．［例❶]已知实数x，y,z满足x2＋2y2＋3z2＝3，求u＝x＋2y＋3z的最小值和最大值．解：因为(x＋2y＋3z）2＝（x·1＋eq\r（2）y·eq\r(2)＋eq\r(3)z·eq\r(3))2≤［x2＋（eq\r(2)y)2＋(eq\r（3)z）2］·[12＋(eq\r(2）)2＋（eq\r(3）)2］＝（x2＋2y2＋3z2）（1＋2＋3)＝18.当且仅当eq\f（x，1）＝eq\f（\r（2）y,\r（2))＝eq\f(\r（3)z，\r（3）)，即x＝y＝z时,等号成立．所以－3eq\r（2）≤x＋2y＋3z≤3eq\r(2),即u的最小值为－3eq\r（2),最大值为3eq\r（2)。归纳升华柯西不等式可以用来求最值和证明不等式，应用柯西不等式的关键在于构造两个适当的数组,并且要注意等号成立的条件．［变式训练]设a,b，c,d为不全相等的正数．求证：eq\f（1,a＋b＋c)＋eq\f（1，b＋c＋d)＋eq\f(1,c＋d＋a）＋eq\f(1,d＋a＋b)>eq\f(16，3（a＋b＋c＋d））.解:记s＝a＋b＋c＋d，则原不等式等价于eq\f（s，s－d)＋eq\f（s，s－a）＋eq\f（s，s－b）＋eq\f(s，s－c）〉eq\f(16，3）.构造两组数eq\r(s－d）,eq\r（s－a)，eq\r（s－b），eq\r（s－c)；eq\f(1，\r(s－d）），eq\f（1，\r（s－a）),eq\f(1,\r（s－b）)，eq\f(1，\r（s－c）），由柯西不等式得［（eq\r（s－d)）2＋(eq\r(s－a））2＋(eq\r（s－b）)2＋(eq\r（s－c)）2]·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（\f(1,（\r（s－d))2)＋\f（1，（\r(s－a））2）＋\f(1,（\r（s－b））2）＋\f(1，（\r(s－c))2）)）≥（1＋1＋1＋1）2.即［4s－（a＋b＋c＋d）］·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1，s－d）＋\f（1，s－a）＋\f(1，s－b)＋\f(1,s－c）））≥16,于是eq\f（s,s－d)＋eq\f(s，s－a)＋eq\f(s,s－b）＋eq\f（s，s－c)≥eq\f（16,3）,等号成立⇔s－d＝s－a＝s－b＝s－c⇔a＝b＝c＝d。因题设a，b,c，d不全相等，故取不到等号，即eq\f(1,a＋b＋c）＋eq\f(1，b＋c＋d)＋eq\f（1,c＋d＋a)＋eq\f(1,d＋a＋b）〉eq\f(16,3(a＋b＋c＋d))。专题二排序不等式的应用1．用排序不等式证明不等式的关键是根据问题的条件和结论构造恰当的序列，如何排好这个序列是难点所在．2．注意等号成立的条件．[例❷]在△ABC中，试证：eq\f（π，3)≤eq\f（aA＋bB＋cC，a＋b＋c)＜eq\f(π，2）。证明：不妨设a≤b≤c，于是A≤B≤C.由排序不等式,得aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC，aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC，aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC.相加，得3（aA＋bB＋cC）≥（a＋b＋c)（A＋B＋C)＝π（a＋b＋c),得eq\f(aA＋bB＋cC,a＋b＋c）≥eq\f(π,3)，①又由0＜b＋c－a，0＜a＋b－c,0＜a＋c－b，有0＜A（b＋c－a）＋C(a＋b－c)＋B（a＋c－b）＝a(B＋C－A）＋b(A＋C－B)＋c(A＋B－C）＝a（π－2A)＋b（π－2B)＋c(π－2C)＝(a＋b＋c）π－2(aA＋bB＋cC)．得eq\f（aA＋bB＋cC，a＋b＋c)＜eq\f(π,2)。②由①②得原不等式成立．归纳升华利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．[变式训练］已知正实数x1，x2,…，xn满足x1＋x2＋…＋xn＝P,P为定值,求F＝eq\f(xeq\o\al(2,1),x2)＋eq\f（xeq\o\al(2，2）,x3)＋…＋eq\f（xeq\o\al（2,n－1），xn）＋eq\f（xeq\o\al（2,n)，x1)的最小值．解:不妨设0〈x1≤x2≤…≤xn，则eq\f（1,x1)≥eq\f（1，x2)≥…≥eq\f（1,xn)>0，且0〈xeq\o\al（2,1)≤xeq\o\al（2,2)≤…≤xeq\o\al(2,n).因为eq\f（1,x2)，eq\f(1,x3），…,eq\f(1，xn），eq\f（1,x1）为序列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,xi））)（i＝1，2，3，…,n）的一个排列，根据排序不等式,得F＝eq\f(xeq\o\al（2,1）,x2）＋eq\f(xeq\o\al(2，2),x3）＋…eq\f（xeq\o\al（2,n－1）,xn)＋eq\f（xeq\o\al（2，n),x1)≥xeq\o\al(2，1）·eq\f（1，x1)＋xeq\o\al(2,2)·eq\f(1,x2)＋…＋xeq\o\al（2,n)·eq\f(1，xn)＝x1＋x2＋…＋xn＝P(定值),当且仅当x1＝x2＝…＝xn时等号成立，所以F＝eq\f（xeq\o\al（2,1)，x2)＋eq\f(xeq\o\al(2，2)，x3）＋…＋eq\f（xeq\o\al(2，n－1),xn)＋eq\f(xeq\o\al（2，n）,x1)的最小值为P.专题三转化与化归思想转化与化归思想是指在解决问题时，将问题通过变换使之化繁为简，化难为易的一种解决问题的思想．[例3］求使lg（xy)≤lga·eq\r（lg2x＋lg2y)对大于1的任意x与y恒成立的a的取值范围．解：因为eq\r(lg2x＋lg2y)＞0，且x＞1,y＞1，所以原不等式等价于lga≥eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（lgx＋lgy，\r（lg2x＋lg2y）)））eq\s\do7(max)。令f（x，y)＝eq\f(lgx＋lgy,\r(lg2x＋lg2y))＝eq\r（\f(（lgx＋lgy)2,lg2x＋lg2y））＝eq\r（1＋\f(2lgxlgy，lg2x＋lg2y)）（lgx＞0，lgy＞0)．因为lg2x＋lg2y≥2lgxlgy＞0,所以0＜eq\f(2lgxlgy，lg2x＋lg2y)≤1，所以1＜f（x,y）≤eq\r(2），即lga≥eq\r（2)，所以a≥10eq\r（2）。归纳升华解决数学问题时，常遇到一些直接求解较为困难的问题,通过观察、分析、类比、联想等，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题(相对来说自己较熟悉的问题)，通过求解新问题，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称为“化归与转化的思想”．本讲常见的化归与转化的问题是通过换元或恒等变形把命题的表达形式化为柯西不等式或排序不等式的形式．［变式训练]已知|x|≤1，|y｜≤1，试求xeq\r(1－y2)＋yeq\r（1－x2)的最大值．解：由柯西不等式，得xeq\r(1－y2)＋yeq\r(1－x2）≤eq\r（x2＋(\r(1－x2)）2)·eq\r（y2＋（\