2020秋高中数学人教版2-1学业质量标准检测1含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020秋高中数学人教A版选修2-1课时作业：学业质量标准检测1含解析第一章学业质量标准检测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2020·湖南浏阳一中醴陵三中高二联考)设命题p:∀x>0，log2x<2x＋3，则¬p为(C)A．∀x>0,log2x≥2x＋3B．∃x〉0，log2x〈2x＋3C．∃x>0,log2x≥2x＋3D．∀x〈0，log2x≥2x＋3［解析］全称命题的否定是特称命题，所以选C．2．已知等差数列{an｝的公差为d,前n项和为Sn,则“d〉0”是“S4＋S6>2S5"的(CA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析］方法1：∵数列｛an｝是公差为d的等差数列，∴S4＝4a1＋6d，S5＝5a1＋10d,S6＝6a1∴S4＋S6＝10a1＋21d，2S5＝10a1＋20若d〉0，则21d>20d，10a1＋21d〉10a1＋20即S4＋S6〉2S5。若S4＋S6〉2S5，则10a1＋21d>10a1＋20d,即21d>20∴d〉0.∴“d>0"是“S4＋S6>2S5”的充分必要条件故选C．方法2：∵S4＋S6〉2S5⇔S4＋S4＋a5＋a6>2（S4＋a5)⇔a6>a5⇔a5＋d〉a5⇔d〉0，∴“d>0”是“S4＋S6>2S5"的充分必要条件故选C．3．(2019－2020学年南康中学平川中学信丰中学联考)下列关于命题说法正确的是(B）A．命题“若xy＝0，则x＝0"的否命题是“若xy＝0，则x≠0”B．命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题是真命题C．命题“∃x∈R，x2－2x＋2≥0”的否定是“∀x∈R，x2－2x＋2≥0”D．命题“若cosx＝cosy,则x＝y"的逆否命题是真命题［解析]对于A：命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题是“若xy≠0，则x≠0"，故A错误,对于B：命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题是“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题,故B正确，对于C：命题“∃x∈R，x2－2x＋2≥0”的否定是“∀x∈R，x2－2x＋2＜0”故C错误，对于D：命题“若cosx＝cosy，则x＝y"是假命题，则逆否命题也是假命题，故D错误，故选B．4．（2020·北京9)已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1）kβ”是“sinα＝sinβ”的（C）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]若存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ，则当k＝2n，n∈Z时，α＝2nπ＋β，则sinα＝sin(2nπ＋β）＝sinβ；当k＝2n＋1，n∈Z时，α＝(2n＋1）π－β,则sinα＝sin（2nπ＋π－β）＝sin（π－β）＝sinβ。若sinα＝sinβ，则α＝2nπ＋β或α＝2nπ＋π－β，n∈Z，即α＝kπ＋（－1）kβ，k∈Z.故选C．5．已知命题p：∃x0∈R，使sinx0＝eq\f（\r（5）,2）；命题q：∀x∈R，都有x2＋x＋2>0,给出下列结论：①命题“p∧q”为真命题;②命题“（¬p)∨（¬q）”是假命题；③命题“p∨q”是真命题；④命题“p∨（¬q）”是假命题．其中正确的是（C）A．②③ B．②④C．③④ D．①②③［解析]p：∵∀x∈R，sinx≤1,∴p为假命题,q：Δ＝1－8<0,∴q为真命题，∴p∧q为假,(¬p)∨(¬q)为真，p∨q为真，p∨(¬q)为假,故选C．6．(2017·山东理,3）已知命题p:∀x〉0,ln(x＋1）>0；命题q：若a>b，则a2〉b2，下列命题为真命题的是（B）A．p∧q B．p∧（¬q）C．（¬p)∧q D．（¬p)∧（¬q)［解析]∵x〉0，∴x＋1〉1，∴ln（x＋1)〉ln1＝0。∴命题p为真命题，∴¬p为假命题．∵a>b，取a＝1,b＝－2，而12＝1，（－2）2＝4，此时a2〈b2,∴命题q为假命题，∴¬q为真命题．∴p∧q为假命题，p∧(¬q）为真命题，(¬p）∧q为假命题，（¬p)∧（¬q）为假命题．故选B．7．（2020·福州市八县(市）协作校期末)下列结论正确的是（C）A．命题“若am2<bm2，则a<b"的逆命题为真命题B．命题“若x＝1，则x2＋2x－3＝0"的否命题是真命题C．命题p：∃x0∈R,xeq\o\al(2,0)≤0的否定是“∀x∈R，x2〉0。”D．“x>2”是“eq\f(1,x)〈eq\f（1,2)”的充要条件［解析］A．“若am2〈bm2，则a<b”的逆命题为“若a〈b，则am2<bm2”错误,例如当m＝0时，am2＝bm2B．命题“若x＝1，则x2＋2x－3＝0”的否命题为“若x≠1,则x2＋2x－3≠0”错误，如：x＝－3时，x2＋2x－3＝0;C．命题p：∃x0∈R，xeq\o\al（2，0)≤0的否定是“∀x∈R,x2>0。”正确；D．如x＝－1满足“eq\f(1，x）<eq\f(1,2）”，但不满足“x〉2”，所以不是充要条件．8．设x、y、z∈R，则“lgy为lgx，lgz的等差中项”是“y是x，z的等比中项”的(A)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件［解析］由题意得，“lgy为lgx，lgz的等差中项"，则2lgy＝lgx＋lgz⇒y2＝xz,则“y是x,z的等比中项”;而当y2＝xz时，如x＝z＝1,y＝－1时，“lgy为lgx，lgz的等差中项”不成立，所以“lgy为lgx,lgz的等差中项"是“y是x，z的等比中项”的充分不必要条件,故选A．二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分,在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．）9．有四个关于三角函数的命题，其中是真命题的是(BC）A．∃x∈R，sinx＋cosx＝2B．∃x∈R，sin2x＝sinxC．∀x∈eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1（－\f(π，2），\f(π,2)）），eq\r(\f(1＋cos2x，2)）＝cosxD．∀x∈(0,π)，sinx>cosx[解析]对于选项A，因为sinx＋cosx＝eq\r（2）·sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(x＋\f（π,4))），所以sinx＋cosx的最大值为eq\r（2),可得不存在x∈R，使sinx＋cosx＝2成立，得命题A是假命题；对于选项B，因为存在x＝kπ或±eq\f（π,3)＋2kπ(k∈Z)，使sin2x＝sinx成立,故命题B是真命题;对于选项C,因为eq\f(1＋cos2x，2）＝cos2x，所以eq\r（\f(1＋cos2x,2))＝|cosx|,结合x∈eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（－\f(π,2),\f(π，2）)）得cosx≥0，由此可得eq\r(\f（1＋cos2x,2））＝cosx，得命题C是真命题；对于选项D，因为当x＝eq\f(π，4）时，sinx＝cosx＝eq\f（\r（2）,2）,不满足sinx>cosx，所以存在x∈（0,π），使sinx〉cosx不成立，故命题D是假命题．10．下列命题中假命题的是（ACD)A．命题“∃x0∈R，xeq\o\al(2，0）＋1〉3x0"的否定是“∀x∈R，x2＋1〉3x”B．“函数f（x）＝cosax－sinax的最小正周期为π"是“a＝2"的必要不充分条件C．x2＋2x≥ax在x∈［1，2］时有解⇔（x2＋2x）min≥(ax)max在x∈[1,2]时成立D．“平面向量a与b的夹角是钝角”的充分必要条件是“a·b<0”[解析］对于A，命题“∃x0∈R，xeq\o\al(2，0）＋1>3x0”的否定是“∀x∈R,x2＋1≤3x”，故错；对于B，由函数f（x）＝cosax－sinax的最小正周期为π⇒a＝±2，故正确；对于C，例a＝2时，x2＋2x≥2x在x∈[1，2］上有解，而(x2＋2x）min＝3＜2xmax＝4，∴故错；对于D，当“a·b＜0”时，平面向量a与b的夹角是钝角或平角，∴“平面向量a与b的夹角是钝角”的必要不充分条件是“a·b＜0”，故错．故选ACD．11．(湖南恩施州2019－2020学年高二期末）已知函数f(x)＝log2（x＋a)＋log2(x－a）(a∈R)．命题p：∃a∈R，函数f(x）是偶函数;命题q:∀a∈R，函数f（x）在定义域内是增函数．那么下列命题为真命题的是（AC）A．q B．p∧qC．(¬p)∧q D．p∧（¬q）[解析］当a≥0时，函数f(x)的定义域为:{x|x＞a}，当a＜0时，函数f（x）的定义域为：{x|x＞－a｝，因此当a∈R时，函数的定义域不关于原点对称，因此f(x）不可能是偶函数，所以命题p是假命题，¬p是真命题；根据函数的单调性的性质可知：∀a∈R，函数f(x)在定义域内是增函数，因此命题q是真命题，¬q是假命题，因此有：p∧q是假命题;(¬p）∧q是真命题；p∧（¬q)是假命题．故选AC．12.若函数f(x）对任意x1，x2∈(0，＋∞)，有f（x1)〉0，f（x2)>0，且f(x1）＋f（x2）<f(x1＋x2)成立，则称函数f（x）为“守法函数”．给出下列四个函数，其中是“守法函数”的是(AC)A．y＝x2 B．y＝log2(x＋1)C．y＝2x－1 D．y＝cosx[解析］对于选项A，函数y＝x2，当x〉0时，y>0，f（x1)＋f(x2)－f(x1＋x2)＝xeq\o\al（2,1)＋xeq\o\al（2，2）－(x1＋x2)2＝－2x2x1<0，所以f（x1)＋f（x2)〈f（x1＋x2）,故A是“守法函数”;对于选项B，若f(x）＝log2（x＋1),对于任意x1〉0，x2>0都有f(x1）>0，f(x2)>0，设x1＝x2＝1，则f(x1)＋f（x2)＝1＋1＝2，而f（x1＋x2）＝log23<2,所以f(x1)＋f（x2)<f(x1＋x2)不成立，所以B不是“守法函数”；对于选项C,若f(x)＝2x－1，对于任意x1〉0，x2〉0都有f（x1)〉0，f（x2)〉0,f（x1)＋f(x2）－f(x1＋x2)＝2x1－1＋2x2－1－2x1＋x2＋1＝2x1－1＋2x2(1－2x1）＝(2x1－1)(1－2x2）〈0，则C是“守法函数";对于选项D,若f(x）＝cosx,因为f（x)＝cosx∈[－1，1]，所以对任意x1>0，x2>0，f（x1)〉0，f（x2)>0不一定成立，所以D不是“守法函数”．三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．命题“若|x｜〉1，则x>1”的否命题是__真__.(填“真”或“假”）［解析］原命题的否命题为“若|x｜≤1，则x≤1"，∵|x|≤1，∴－1≤x≤1，故原命题的否命题为真命题．14．若命题“∃x0∈R,axeq\o\al（2,0)－ax0－2≥0”是假命题，则实数a的取值范围是__(－8，0]__.15．写出命题“若方程ax2－bx＋c＝0(a≠0）的两根均大于0，则ac〉0”的一个等价命题是__若ac≤0，则方程ax2－bx＋c＝0（a≠0）的两根不全大于0__。［解析]根据原命题与它的逆否命题是等价命题可直接写出．16。某学校三好学生的评定标准为：(1)各学科成绩等级均不低于等级B,且达A及以上等级的学科的比例不低于85％；（2）无违反学校规定行为，且老师同学对其品德投票评定为优秀的比例不低于85％；（3)体育学科综合成绩不低于85分．设学生达A及以上等级的学科比例为x%，学生的品德被投票评定为优秀的比例为y％，学生的体育学科综合成绩为z(0≤x，y，z≤100)．用(x，y，z)表示学生的评定数据．已知参评候选人各学业成绩均不低于B,且无违反学校规定行为．则：（1）下列选项中，是“学生可评为三好学生"的充分不必要条件的有__②④__（填序号)．①(85，80,100)②(85,85,100)③x＋y＋z≥255④x＋y＋z≥285（2)写出一个过往学期某同学的满足评定三好学生的必要条件：__x＋y＋z≥200__.［解析］(1)对于①，由数据可知，学生的品德被投票评定为优秀的比例是80%，低于85%，不能被评三好学生，充分性不成立；对于②，由数据可知，学生的评定数据均满足被评为三好学生的评定标准,充分性成立，但反之，被评为三好学生，成绩不一定是（85,85，100）,必要性不成立，故②符合题意，对于③,由x≥85，y≥85，z＝85，得x＋y＋z≥255，故x＋y＋z≥255是学生可评为三好学生的必要条件，故③不符合题意;对于④，由0≤x，y,z≤100,故有x≥85，y≥85，z≥85，充分性成立，但被评为三好学生,x＋y＋z≥285不一定成立，故④符合题意．综上所述，“学生可评为三好学生”的充分不必要条件有②④.(2）由(1)可知,x＋y＋z≥255是“学生可评为三好学生”的必要条件，故满足评定三好学生的必要条件可以是：x＋y＋z≥200(答案不唯一）．四、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分）命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集,则a2－4b≥0，写出命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断这些命题的真假．[解析］逆命题，已知a、b为实数，若a2－4b≥0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集．否命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集,则a2－4b〈0.逆否命题：已知a、b为实数，若a2－4b〈0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集．原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．18．（本小题满分12分)已知P＝｛x｜a－4<x〈a＋4｝，Q＝{x｜x2－4x＋3〈0｝，且x∈P是x∈Q的必要条件，求实数a的取值范围．［解析]P＝｛x|a－4〈x<a＋4｝，Q＝{x|1〈x〈3｝．∵x∈P是x∈Q的必要条件，∴x∈Q⇒x∈P,即Q⊆P.∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a－4≤1，a＋4≥3))，eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤5，a≥－1)）,∴－1≤a≤5.19．（本小题满分12分）已知定义在(－∞，3］上的单调递减函数f(x)，使得f(a2－sinx）≤f(a＋1＋cos2x）对x∈R均成立，求a的取值范围．[解析]由f(x）的单调性,得3≥a2－sinx≥a＋1＋cos2x对x∈R均成立，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2≤3＋sinx，，a2－a≥sinx＋cos2x＋1,))对x∈R均成立，然后转化为函数的最值问题．即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a2≤3＋sinxmin，，a2－a≥sinx＋cos2x＋1max，)）又3＋sinx≥2,sinx＋cos2x＋1＝－sin2x＋sinx＋2＝－(sinx－eq\f（1，2)）2＋eq\f(9,4)≤eq\f（9，4），故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a2≤2，，a2－a≥\f（9,4)。))解得－eq\r（2）≤a≤eq\f（1，2)－eq\f(\r（10),2）。∴a的取值范围是[－eq\r(2)，eq\f(1，2）－eq\f（\r(10），2）］．20．(本小题满分12分）求使函数f（x)＝(a2＋4a－5）x2－4（a－1）x＋3的图象全在x轴上方成立的充要条件［解析]∵函数f(x)的图象全在x轴上方，∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a2＋4a－5〉0，Δ＝16a－12－4a2＋4a－5×3<0)），或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a2＋4a－5＝0，a－1＝0)），解得1〈a〈19或a＝1，故1≤a〈19。所以使函数f（x)的图象全在x轴的上方的充要条件是1≤a<19。21．（本小题满分12分)(2019－2020学年福州一中第一学期模块考试）已知p:m＜a＋1＜m2＋2；q：函数f（x）＝log2x－a在区间eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,4），4））上有零点．(1)若m＝1,求使p∨q为真命题时实数a的取值范围;（2）若p是q成立的充分不必要条件,求实数m的取值范围．[分析］（1）判断函数的单调性和根据零点存在定理求解；（2)根据p是q成立的充分不必要条件得p集合是q集合的真子集求解,注意是否有等号成立．［解析］（1)当m＝1时，p:0＜a＜2，∵函数f（x)＝log2x－a在区间eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，4)，4）)上单调递增且函数f（x)＝log2x－a在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\