高考数学静悟材料

08高考教学静悟材料

第一部分：的教

一、考试内容及要求

1.集合、简易逻辑

(1)集合的含义与表示

①了解集合的含义，元素与集合的“属于”关系.

②能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问

题.

(2)集合间的基本关系

①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.

②在具体情境中，了解全集与空集的含义.

(3)集合的基本运算

①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.

②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.

③能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.

(3)命题及其关系

①理解命题的概念.

②了解“若p,则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四

种命题的相互关系.

③理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.

(4)简单的逻辑联结词

了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.

(5)全称量词与存在量词

①理解全称量词与存在量词的意义.

②能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

2.函数

(1)函数

①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.

②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解

析法)表示函数.

③了解简单的分段函数，并能简单应用.

④理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函

数奇偶性的含义.

⑤会运用函数图象理解和研究函数的性质.

(2)指数函数

①了解指数函数模型的实际背景.

②理解有理指数塞的含义，了解实数指数帮的意义，掌握鞋的运算.

③理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特

殊点.

④知道指数函数是一类重要的函数模型.

(3)对数函数

①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对

数或常用对数：了解对数在简化运算中的作用.

②理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特

殊点.

③知道对数函数是一类重要的函数模型.

④了解指数函数y-ax与对数函数y=log“x(a>0月.aw1)互为反函

数.

(4)募函数

①了解募函数的概念.1

2315

②结合函数y=x,y=x,y=x,y=—，y=的图象，了解它们的

x

变化情况.

(5)函数与方程

①结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程

根的存在性及根的个数.

②根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.

(6)函数模型及其应用

①了解指数函数、对数函数以及幕函数的增长特征；知道直线上升•、指数增长、

对数增长等不同函数类型增长的含义.

②了解函数模型(如指数函数、对数函数、塞函数、分段函数等在社会生活中

普遍使用的函数模型)的广泛应用.

二、重要知识、技能技巧(省略的部分自己填写)

I.函数是一种特殊的映射：f：A-B(A、B为非空数集)，

定义域：

自然定义域：给解析式，常涉及分母，开方，指数累，对数或三角函数，复合函数

〔限定定义域，:应用条件的限制或有附加条件的制约

解决函数问题必须树立“定义域优先”的观点.

2.函数值域、最值的常用解法

⑴观察法；⑵配方法；⑶反表示法；如丫="^或y=

ax+b2-cosx

⑷△法；适用于经过去分母、平方、换元等变换后得到关于y的一元二次方程

的一类函数：⑸基本不等式法；⑹单调函数法；⑺数形结合法；⑻换元法：⑼

导数法.

3.关于反函数

⑴求一个函数y=f(x)(定义域A,值域D)的反函数步骤；(略)

⑵互为反函数的两函数的定义域、值域、图象间关系；

⑶分段函数的反函数分段求解；

⑷有关性质：定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数；单调函数必有反函

数，且两函数单调性相同；奇函数的反函数仍为奇函数；

周期函数不存在反函数；fT(a)=bof(b)=a.

4.函数奇偶性

⑴判断

'定义域关于原点对称

(f<八hr/八一c、

①解析式《2

/(x)=/(-x)^V(-x)=-f(x)4^=±l，/(x)=0

②图象(关于y轴或坐标原点对称)

⑵性质：如果f(x)是奇函数且在x=0有定义，则f(0)=0；常数函数f(x)=0定义

域(一/力既是奇函数也是偶函数；在公共定义域上，两个奇、偶函数的运算性质.

(略)

5.函数单调性

⑴定义的等价形式如："*)一""2)>0=(XLX2)[f(X1)-f(X2)]>0

~x2

⑵判断：①定义法；②导数法；③结论法(慎用).

奇偶函数在对称区间上的单调性；互为反函数的两函数单调性；复合函数的单

调性(同增异减)；常见函数的单调性(如y=x+@,aGR).

X

6.函数周期性

⑴f(x)=f(x+a浏定义域中任意x总成立，则T=a.如果•个函数是周期函数，则其周期有无

数个.

(2)f(x+a)=f(x-a),贝UT=2a.(3)f(x+a)=—-,贝UT=2a.

fW

⑷f(x)图象关于x=a及x=b对称,aKb,则T=2(b-a).

(5)f(x)图象关于x=a及点(b,c)(bWa)对称，则T=4(b—a).

7.函数图象的对称性

⑴若f(a+x)=f(a—x)或[f(x)=f(2a—x)],则f(x)图象关于x=a对称,特别地f(x)=f(-

x)则关于x=0对称;

⑵若f(a+x)+f(b—x)=2c,则f(x)图象关于(日上—,c)中心对称，特别地f(x)+f(—

2

x)=0,则关于(0,0)对称；

⑶若f(a+x)=f(b—x),则y=f(x)关于x="对称;

(4)y=f(x)与y=f(2a—x)关于x=a对称；y=f(x)与y=-f(x)+2b关于y=b对称；y=f(x)

与y=-f(2a—x)+2b,关于(a,b)对称.

⑸y=f(a+x)与y=f(b_x),关于xJ2a对称.

8.⑴要熟练掌握和二次函数有关的方程不等式等问题，并能结合二次函数的图

象进行分类讨论；结合图象探索综合题的解题切入点。

⑵抽象函数未给出函数解析式，但给出函数的一些性质来探讨它的其他性质，

这样的题目常以具体的函数为背景，处理时要用广义的定义、性质、定理去处

理，不能用具体函数去论证.

9.指数对数函数

⑴对数恒等式a108"x=x(a>0且aWl,x>0).

⑵对数运算性质(M>0,N>0,p£Q)

©loga(MN)=logaM+logaN；②loga丝=logaM-logaN；③logaNP=plogN

N

xxxx

(3)y=logax与y=log1x；y=a与y=(-)；y=a与y=b(a>b)

aa

y=logaX与y=logbX图象间关系：(略)

10.逻辑联结词，四种命题

⑴且、或、否可理解为与交、并、补对应.

⑵非p即「p是对p的否定，而p的否命题，则是否定条件，否定结论.

例：p：如果x=l,那么x?-1=0；则—>p：如果x=l,那么X，-1W0.

而命题p的否命题是：如果X/l,那么x2—l#0.

⑶原命题和它的逆否命题、逆命题与否命题都互为逆否命题，互为逆否的两个

命题真假性一致，因此一个命题的真假性难以判断或一个命题难以证明时，可

以判断或证明它的逆否命题.

11.充要条件

⑴充分条件，必要条件，充要条件的等价叙述，如，p是q的充分条件O若p,

则qopnqoq的一个充分条件是p.

⑵关于充要条件的几个结论：

①“定义域关于原点对称”是“函数为奇或偶函数”的必要不充分条件.

②在aABC中，A>Boa>b.

③“1»=仿1”是“「=>'的必要不充分条件

④“｛a"既是等差，又是等比数列”是“｛如｝是常数数列”的充分不必要条件.

⑤“方程x2+y2+Dx+Ey+F=0”是“该方程表示圆方程”的必要不充分条件.

⑥f'(x)=0是x为极值点的必要不充分条件.

⑶证明充要条件的命题要证明两个方面，首先必须找准•个命题的条件和结论..

12.反证法

反证法就是假设命题的结论不成立，从这个假定出发，经过推理证出其矛盾，

然后推翻假设肯定原来命题正确。推出矛盾常见以下几种：

⑴与公理、定理、定义矛盾；

⑵与熟知的事实矛盾；

⑶与已知矛盾；

⑷与不同方向推出的其他结论矛盾。

以下情形适宜用反证法证明：

⑴难以甚至无法由已知条件直接证明结论的；

⑵“至多”、“至少”型问题；

⑶唯一性的证明；

⑷问题的结论本身以否定形式给出的；

⑸要证命题的逆命题是正确的。

注意若命题结论的反面情况有多种，则必须将每一种反面情况都驳倒。

13.解答函数应用题的基本步骤为：

⑴审题：审题是解题的基础，它包括阅读、理解、翻译、挖掘等，通过阅读，

理解问题的类型、内涵、实质，以及应建立的数学模型；

⑵建模：在细心阅读，深入理解题意的基础上，引进数学符号，将题目中的非

数学语言转化成数学语言，然后，根据题意，列出数量关系一一建立函数模型，

注意字母为取值范围应符合实际事实。

⑶解模：通过函数的有关性质的运用，进行推理、运算，使问题得到解决；

⑷还原评价：应用问题不是单纯的数学问题，对于理论的推导结果，要代入原

问题中进行检验、评价，判断是否符合实际情况。

分析、解决应用问题的思维过程：

三.易错点提示

⑴多变量问题注意主元与辅助元的转换

如pe(',4)时，不等式px+l>2x—p恒成立，可看成关于p的函数g(p)=(x+l)p+l

4

-2x>0,在J,4)上恒成立，g「)20，(等号不同时取)

424)20.

⑵单调函数要与区间对应.

⑶关于范围的结论的书写注意端点的“开闭”

bx+c

(4)y=-----的中心(a,b),渐近线x=a,y=b,单调区间(一8,a),(a,+8)(ab+cWO)

x-a

⑸图象信息题注意观察:对称性、特殊点、升降情况、图象位置、变化率、最高、最

低点等.

如：图象则a>C>b.

X+C

y=ax3+bx2+cx+d则a>0,b>0,c<0.

⑹复合函数要注意定义域的作用

如求y=log2(x2-3x+2)的单调区间，已知f(x+')=x2+f求f(x)均须考虑定

xx

义域.

⑺解决映射的有关问题，注意分类讨论.

如乂=仄,"},N={1,O,-1}.f：MfN满足f(x)-f(y)=f⑵的映射个数(7).

⑻注意代表元素的不同对集合意义的影响。$ll{yly=x2}>{xly=x2}^{(x,y)ly=x2}

就表示完全不同的三个集合，它们分别表示［0,+8),R两个数集及抛物线y=x2

上的点集。避免如下错误：{yly=x2}C{yly=2*}={(2,2)、(4,4)}。

⑼用列举法表示集合时，元素既不能遗漏，又不能违反互异性原则,如方程(x-iy

(x+2)=0的解集表示为{1,1,一2}是错误的，作为集合只能表示为{1,一2}.另外注

意(1,2),{1,2},{(1,2)}的区别.

(10)-•般来说图象直观不能代替代数论证.

四.典题训练：

1、设函数f(x)=n-l,x€［n,n+l),nGN,则满足方程f(x)=log2x根的个数是

()

A.1个B.2个C.3个D.无数个

2若函数段|ax—1］的图象的对称轴为则非零实数a的值是()

A.-2B.2C.-D.-1

22

3、已知函数〃x),g(x)分别由下表给出:

X123

131

/(X)

X123

321

/(元)

则/(g⑴)的值为；满足/(g(x))>g(/(x))的X的值是

4、已知［函数£6)=/+0-4)/一3/?1¥+5-6)0£7?)的图像关于原点对

称，其中m,n为实常数。

(1)求m,n的值；

(2)试用单调性的定义证明：f(x)在区间［-2,2］上是单调函数；

(3)当-2Wx<2时，，不等式“X)2(〃一log,")log,一恒成立，求实数a的

取值范围。

5、已知集合。={(芯,々),1>。，工2>°，$+%2=2},其中攵为正常数.

(I)设〃=斗X2，求〃的取值范围.

(II)求证：当人1时不等式4_XJ(，-々)4d一2)2对任意a,工2)e。恒

%x22k

成立；

(III)求使不等式(_L-X2)*(七-知对任意“|，Z)e。恒成立的人的

Xix22k

范围.

第二部分：导教

一、考试要求：

(1)导数概念及其几何意义

①了解导数概念的实际背景.

②理解导数的几何意义.

(2)导数的运算

21

①能根据导数定义,求函数y=c,y=x,y=%,y=一的导数.(理)

x

②能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单

函数的导数.

•常见基本初等函数的导数公式和常用的导数运算公式：

(c)'=0(c为常数)；

nfnzz

(x)=nx~\neN+);(sinx)=cosx;(cosx)=-sinx;

(ex),=ex;(ax),=ax\na(a>0,Ma1);(Inx)r=—;

x

(log.x\=—log”e(a>0,且aw1)

x

•法则i：[〃(犬)±v(x)]=〃'a)±v\x)

•法则2：[w(x)v(x)]=ur(x)v(x)+u(x)vf(x)

f

.法则3：=u'(x)v(x)—“(x)v'(x)(v(x)/0)

(v⑼V(x)

(3)导数在研究函数中的应用

①了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数

的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).

②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大

值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小

值(其中多项式函数一般不超过三次).

(4)生活中的优化问题

会利用导数解决某些实际问题.

二、知识与方法

1、导数的定义

设函数y=f(x)在点X。及其近旁有定义，当自变量x在X。处有增量(或称改为量)△

x,那么函数y相应的有增量(或称改变量)△3,

△y=f(x0+Ax)—f(x0)

比值包就叫做函数y=f(x)在X。至IJx0+Ax之间的平均变化率.

Ax

Ay_/U+Ax)-/(x)

—()0.

AxAx

如果当△x-O时，包有极限，我们就说函数y=f(x)在xo处可导，并把这个极限

Ax

值叫做函数f(x)在Xo处的导数(或称变化率)，记作f'(Xo)或y'lx=x0或f'(x)lx=x().

即：

N「A)'/(x0+Ar)-/(x0)

f(x0)=lim——=lim----------------

Ax->oAxAXTOA,

这里须指出：f'(Xo)是函数y=f(x)在xo点的导数值，瞬时速度匕.就是位移函数s(t)

在点乐处的导数，即：S'(1)=%

2、求函数y=f(x)在xo点处的导数的步骤

⑴求函数的增量△y=f(xo+Z\x)-f(x())

⑵求平均变化率：包=311包二Z1*2.

ArAx

⑶取极限，求函数在X。点的变化率，即导数：f'(Xo)=lim包.

-°Ar

3、“函数f(x)在点xo处的导数”、“导函数”及“导数”的概念间的区别与联系：

⑴函数在一点处的导数，就是在该点的函数增量△y=f(xo+4x)-f(xo)与自变量的增

量之比的极限。它是一个常数，不是变量。

⑵如果函数y=f(x)在区间(a,b)内每一点处均可导，这时称y=f(x)在区间(a,b)内可导，

对于区间(a,b)内一个确定的值x0,都对应着一个确定的导数f'(xo),这样的对应就

构成了以区间(a,b)为定义域的•个新函数，称为函数f(x)的导函数，简称导数，所以

函数的导数是对某一区间内任意一点x而言的。

⑶y=f(x)在x=x(>处的导数f'(x(j)就是导函数f'(x)在x=x0处的函数值，

即f'(x)l=f(x0),值得注意的是:f'(X。)4f(xo)]'

4、导数的几何意义

⑴函数f(x)在点X。处有导数，则函数f(x)的曲线在该点处必有切线，且导数值是该

切线的斜率；但函数f(x)的曲线在点X。处有切线，函数f(x)在该点处不一定可导。

如f(x)=V7在x=o有切线，但不可导。

⑵函数y=f(x)在点xo处的导数的几何意义是指：曲线y=f(x)在点P(x(),f(xo))处切线的

斜率，即曲线y=f(x)在点P(xo,f(x。))处的切线的斜率是f'(xo),切线方程为y-f(x())=f'

(XO)(X—Xo)

三、导数的应用

1、利用导数判断函数的单调性

设函数y=f(x)在某区间内可导，并且在该区间内，f'(x)>0,则f(x)在该区间内为增

函数；若在该区间内，f'(x)<0,则f(x)在该区间内为减函数.

指出：若可导函数只有某区间的个别点处导数等于零，不影响函数在该区间内的单

调性，如y=x3,在(一8,+8)内，y=3x220(只在x=0处y'=0)不影响y=x?在(一8,+

8)内为单调增加.

2、求可导函数f(x)单调区间的一般方法和步骤如下：

⑴确定函数f(x)的定义区间；

⑵求函数f(x)的导数f'(x)；

⑶令『(x)>0,所得x的范围(区间)为函数f(x)的单调增区间；令f'(x)<0,得单

调减区间.

3、利用导数求函数的极值

⑴极值的定义：设函数f(x)在点X。附近有定义，如果对X。左右近旁的所有x值，都

有

f(x)<f(x0)

我们就说f(Xo)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大仙=f(x0),

如果对x0左右近旁的所有x值，都有f(x)>f(x0)

我们就说f(xo)是f(x)的一个极小值，记作yL=f(Xo)

极大值、极小值统称为f(x)的极值.

指出：一个函数在给定区间上的极小值不一定小于极大值.(即极小值可以大于或等于

极大值)；极值是函数的局部性质，它仅与左右近旁的函数值进行比较；极值点一定

是区间的内点。可导函数导数为零的点是该点为极值点的必要条件，不是充分条件.

⑵极值的判定方法。

当可导函数f(x)在X。处有定义时，判别f(x0)是极大(小)值的方法是：

①如果在X。在左侧近旁f'(xo)>O,右侧近旁f'(Xo)<O,那么f(x())是极大值；

②如果在xo在左侧近旁f'(Xo)<O,右侧近旁f'(Xo)>O,那么f(x())是极小直

⑶求函数的极值的步骤：

①求函数的定义域

②求导数f'(X)

③求导数f'(x)=0的根.

④检查f'(x)在方程f'(x)=0的根的左右的符号，如果左正、右负，那么f(x)在这个

根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.

4、函数的最大值与最小值

⑴闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值.(开区间上的连续函数不一定有最大

值和最小值).

⑵求闭区间［a,b］匕的连续函数f(x)的最大值和最小值的步骤：

①求f(x)在(a,b)内的极值；

②将f(x)的各极值与端点函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的

一个是最小值.

⑶如果函数f(x)在开区间(a,b)或(-8,+8)内可导且有惟一的极值点xo，那么当f(x())

是极大值时，f(x())就是f(x)在该区间上的最大值；当f(x())是极小值时，f(x())就是f(x)

在该区间上的最小值.

⑷对于实际问题，如果连续函数f(x)在区间(a,b)内只有一个点使f'(x)=0,而且

实际问题本身又可以知道f(x)在(a,b)内必定取得最大值或最小值，则f(xo)就是所求

的最大值或最小值，这时也就无须判断是极大值还是极小值.

四.典题训练：

1、函数y=/(x)的图象如图所示，则导函数y=/'(x)的图象大致是

的一条直线，则旷=/(x)的图象不经过()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

3、已知函数小)—+8,则妈2年一")

的值为___________

4、已知力、B、，是直线/上的三点，向量而，~0B,0C,满足：OA-[y+2r(1)]^

+ln(x+l)OC—O.

(1)求函数尸/'(x)的表达式；

9v

(2)若x>0,证明：F(x)>一

(3)若不等式;xW/W)+/—2加—3时'[―1,1]及，£[―1,1]都恒成

立，

求实数力的取值范围.

Y~-4-HY4-h

5、已知/(x)=二-(X€(0,+8)),存在实数〃/，使/(X)满足：(i)/(X)

X

在(0,2]上是减函数，在[2,+8)是增函数；(ii)/(x)的最小值是5。

(1)求。力的值及/(x)的解析式；(2)若函数F(x)=/(x)-c-cosx.当

7T

XG0,-时是单调减函数，求实数C的取值范围。

I6

第三部分三角函教

考试要求：

(1)任意角的概念、弧度制

①了解任意角的概念.

②了解弧度制概念，能进行弧度与角度的互化.

(2)三角函数

①理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.

71

②能利用单位圆中的三角函数线推导出一±。,乃士a的正弦、余弦、正切的

2

诱导公式，能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象，了解三角函数的周期性.

③理解正弦函数、余弦函数在区间上的性质(如单调性、最大值和最

'TTTr\

小值以及与X轴的交点等)，理解正切函数在区间-一，一内的单调性.

I22)

④理解同角三角函数的基本关系式：

.2sinx

sin2x+cosx=i,----=tanx.

cosx

⑤了解函数y=Asin(&r+0)的物理意义；能画出y=Asin(<uv+e)的图

象，了解参数对函数图象变化的影响.

⑥了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些

简单实际问题.

(3)和与差的三角函数公式

①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.

②能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.

③能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出

二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.

（4）简单的三角恒等变换

能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公

式，但对这三组公式不要求记忆）.

（5）正弦定理和余弦定理

掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.

（6）应用

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的

实际问题.

二.基本知识

（•）角的概念的推广：

1.角的定义

2.与a角终边相同的角（含a角）的表示形式：£=*-360°+a=2hr+a

（左wZ）

3.象限界角，象限角的表示：

a一、二象限角三、四象限角

a

~2一、三象限角二、四象限角

5.角的对称情况：

〈1〉a,用终边关于x轴对称：P-Ikn—a（左eZ）

〈2〉a,/?终边关于y轴对称：P-lk7r+7T-a（ZeZ）

〈3〉a,/?终边关于原点对称：0=2k.兀+兀+a（ZeZ）

（二）弧度制:

1.1弧度角的定义：

2.弧度与角度的换算关系：

3.弧度数公式：lal=—

4.弧长公式、扇形面积公式：1="==

180

S扇形^2l'r=2a'r

（三）任意角的三角函数:

xy

1.定义：sin（z=-coscr=—tan«=—

x

2.象限界角的三角函数值：

3.象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三两切，四余弦

（四）三角函数线的定义及常用结论：

1.定义：sina=MPcoscr=OMtancr=ATf

2.常用结论：sinx<x<tanx（xG[0,y]）

3.应用：利用三角函数线解三角不等式。

（五）三角函数的图象与性质：।\

1.熟记y=sinx,y=cosx在xe[0,2%]上的图象；y=tanx在

X的图象；在X6（0,乃）上的图象。

22

2.掌握y=Asin（①x+，）+攵（或y=Acos（"）x+，）+Z）的图象的作

法：

（1）“五点法”：列表、描点、连线

〈2〉图象变换法：实质：与一般函数图象的变换规律完全一样！

3.图象和性质：

函

y-cosxy=tan光

数y=sinx

：Ak:

图K匚

象

定

义TT

(-00,4-00)(-OO,+GO){x1X¥k7T+—BjcGR}

域

值

域[-M][-1,1]R

极X=2kM,yinax=1

1=2攵乃+1时，ymax=1

值

性X=2%；r+耐，{in=1

"=2壮一微时,y1nto=1

奇

偶奇偶奇

性

xe[2k7r,2k7r+7r]

单z.7T.71

xe加/小+§（壮Z）时，xe(k兀-----,k"—)

调(ZcZ)时，为增函数22

性为增函数xe的+件.争xe[2k;r-7r,2k7r]CkeZ)时,为增函数

(ZEZ)时，为减函数

（kwZ）时，为减函数

周

T=2TTT=2TTT=兀

期一般性周期：2k兀一般性周期：2k兀一般性周期：k兀

y=Acos(〃x+。)+k的y=Atan（皿+/）+k的

y=Asin(5+0)+攵的周期T=____

性周期T=______周期T=_____

*y=1Acos(6A¥+0)l的周说明：除有*的两种

*y=1Asin(3r+°)1的周期T=_____

期T=______带绝对值符号的情

况周期减半外，

图对称中心：7T对称中心：

对称中心：（左乃+―,0）

象2

（攵匹0）

的对称轴方程：

对x=k兀

称对称轴方程：

性,71

X=kTTT——

2

（六）三角函数公式

1.诱导公式：

1、不改变名称的诱导公式：函数名不变，符号看象限。”

改变名称的诱导公式：“函数名改变，符号看象限。”

2.同角三角函数的基本关系式：

3.和角公式：

4.差角公式：

5.倍角公式:

6.半角公式：

7.辅助角公式：asina+bcosa-yla2+b~sin（a+（p）；其中9的值由tan*=2

a

确定，角夕的象限山。力的符号确定。

（七）.解三角形

1.正弦定理一L=—2—=—J=2R.

sinAsinBsinC

2.余弦定理c2=a2+b2—2abcosC；cosC=———..-.

2ab

3.射影定理：a=bcosC+ccosB.

4.三角形的面积公式：SA='ah(其中h是a边上的高).SA=^absinC.

22

5.由A+B+C=n,易推出

①sinA=sin(B+C),cosA=-cos(B+C),tanA=一tan(B+C)

8+CA8+CA8+C

②sin—=cos,cos—=--------tan——=cot

222222

(10)a>b<=>A>BosinA>sinB.

（ID锐角AABC中，A+B>—,A>——B,sinA>cosB,cosA<sinB,a2+b2>c2,同样可

22

类比锐角△ABC中结论.

6、利用正、余弦定理判断三角形的形状

山已知，利用三角形中的主要知识点，特别是角的关系和边角关系，推出满足题设

条件的三角形的形状。

7、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解三角形.

三、重点突破

1、关于任意角的概念

角的概念推广后，任意角包括、正角、负角、零角；象限角、轴上角、区间角及终

边相同的角

2、角的概念推广后，注意“0°到90°的角”、“第一象限角”、“钝角”和“小于90°

的角”这四个概念的区别

3、利用任意角的三角函数及同角三角函数的基本关系式，诱导公式可以解决证明、

化简、求值问题，而求值有“给角求值”、“给值求值”、“给值求角”三类。

4、应用两角和与差的三角函数公式应注意：

⑴当a,6中有一个角为工的整数倍时，利用诱导公式较为简便。

2

⑵善于利用角的变形，如B=(a+B)—a,2a=(a+B)+(a—B),—+2a=2(a+—)

24

等

⑶倍角公式的变形——降幕公式：siraJ二cos2a,2a=1±上工生，sinaCos

22

a=isin2a应用十分广泛.

2

5、三角求值问题的解题思路：

⑴三种基本变换：角度变换、名称变换、运算结构的变换

⑵给值求角问题的基本思路

①先求出该角的•个三角函数值；②再根据角的范围与函数值定角，要注意角的范

围对三角函数值的影响。

6、注意活用数学思想方法：方程思想、数形结合，整体思想、向量方法

7.奇偶性：当(p=km+］时是偶函数，当(p=kn时是奇函数，当<p#与时是非奇非

偶函数(kGZ)

,九

1K71H----(p

8.对称性：关于点(土坐,0)中心对称，关于直线*=——2一(kez)轴对称.

COco

9.当Q为第一象限角时，sinQ+cosa>1

3TTJT

10当a£(———+2kn,—+2kn),k£Z时,，sinQ—cosQv0(点在x—y=0下方)

44

7T3元

当a£(—+2kn,——+2kn),k£Z时，sina—cosa>0(点在x—y=0上方)

44

总之，可归纳为“成上大于0,成下小于0”.

四.典型训练：

1.若函数/(x)=sin(以+Q)的图象(部分)如图所示，则。和中的取值是

()

A[兀

A.(o=\(p=—

3

71

「1

C.CD=­,(D=——

26

2.△ABC中，a、b、c

,3

ZB=30°,AABC的面积为一，那么"()

2

A.匕立

B.1+V3c2+6D.2+V3

2'.2

若sinA+cosA=交，则tan(A-工)=

3.在三角形ABC中,

24

4.已知向量a=(2sinx,cosx),1=(百cosx,2cosx),定义函=a・2-L

(1)求函数/(x)的最小正周期；(2)求函数/(x)的单调减区间;

(3)画出函数g(x)=/(X),X€[-五，0]的图象，由图象研究并写出g(x)的

对称轴和对称中心.

5,设函数/(%)=J3cos之GX+sin69%cosG%+a(其中

刃＞0,aeR).且/(X)的图像在y轴右侧的第一个最高点的横坐标是工.

6

(I)求0的值；(H)如果/(x)在区间［-工,2］上的最小值为百，求a的值.

第四部分平面向量

一、考试说明：

(1)平面向量的实际背景及基本概念

①了解向量的实际背景.

②理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.

③理解向量的几何表示.

(2)向量的线性运算

①掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.

②掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义.

③了解向量线性运算的性质及其几何意义.

(3)平面向量的基本定理及坐标表示

①了解平面向量的基本定理及其意义.

②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.

③会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.

④理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

(4)平面向量的数量积

①理解平面向量数量积的含义及其物理意义.

②了解平面向量的数量积与向量投影的关系.

③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.

④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关

系.

(5)向量的应用

①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.

②会用向量方法解决某些简单的力学问题及其他•些实际问题.

二、知识方法与技巧

㈠向量的概念及运算

1、向量的有关概念向量一既有大小又有方向的量

向量的长度(模)一向量的大小

平行向量(共线向量)一方向相同或相反的非零向量，并且规定零向量与任何向量均

平行.

相等向量一长度相等且方向相同的向量。

2、向量运算

⑴加法运算

加法法则：①三角形法则；②平行四边形法则

平面向量的坐标运算：设a=(xi,yi),3=(x2,y2)，贝Ua+3=区+*必+丫2).

⑵减法运算

减法法则，平面向量的坐标运算：

设。=区田)，3=(X2,y2)，则a—各=(xi—X2,yi—y2).

设A、B两点的坐标分别为(xi,y1),(X2,y2)，AB=(x2—xby2—yi).

⑶实数与向量的积

定义：Xa,其中入>0时，Aa与a同向，1A。1=入1。1；

当入<0时，Xa与a反方向,IXa|=|XHaI.0•a=0

平面向量的坐标运算：设a=(x,y),贝ij：Aa=入(x,y)=(入x,Ay).

3、向量的几何运算和坐标运算

向量的几何运算是向量知识的基础，本类题是向量加减法、数乘的运算定义和运算

法则的基本练习，以向量运算图或向量运算式给出，并通过图解或式解来完成，设

问形式有求解、作图、化简、证明等，解题方法比较直接。

向量的坐标运算包括直接利用坐标法运算法则计算向量的和、差、数乘积。

4、两个向量平行的充要条件

a〃boa=\b；设a=(xi,yi),6=(x2,y2)，则。〃6ox"2—X2yi=0.

㈡平面向量的数量积

1、平面向量的数量积

几何表示定义：a•g=UlRlcosO(a¥6,b#6,0。WO<180°)6•

坐标表示a•h=X|X2+yiy2

—*—»—•—*—♦—»—♦―•—•—►——♦—►f

运算律a•b=h•a(入〃)・/?=〃•(入b)；(a+b)9c=a•h+/?•c

2、平血向量数量积的重要性质

(l)lal=J^a=JkF(2)COS6=-?--L(3)|a•H^lall&l

几何表示

\a\\b\

(1)1a1=Jx；+y；(2)cos0=/9+)^

'商+£后+及=

坐标表示

⑶反凶+y2忘Jx；+y：-Jx；+y\

3、两个向量垂直的充要条件

均为非零向量)设则

aVba•h=0(a,Ba=(xi,yD，h=(x2,y2),a_L

boX]X2+yiy2=0.

4、常用的模的等式和不等式

—»—*—*—►/_*—>—♦——♦—♦—•—*—•—*—»—♦

\a^=a•a^\a\=yja-a；\a•。WlaI・1匕I；laI2—IZ?F=(a+b)(〃一/?)

二目，1=J/+F干2滴-iBicose(。为Z、B夹角).立i-Riwi)±3忘

\aMbI.

特别是IZ『=Z2及其变式应用最为广泛.

㈢线段的定比分点及平移

1、线段的定比分点及平移的基础知识

⑴线段的定比分点

司+AX

x=2

线段的定比分点坐标公式:1+2

[Pi(xi,yi),P2(x2,y2),P(x,y),P、P八PP2]

X+仪

y=

1+2

X1+x

x=2

2，

中点坐标公式：，三角形重心坐标公式：设AABC的三个项点为

%+〉2

y=

2

A(xi,y。，B(X2,y2)，C(X3,y3),则重心G(x,y)的坐标为：x=土土

兄+%+%

丫一3

⑵图形变换公式

x'=x+h,

平移公式：若点Po(x,y)按向量a=(h,k)平移至P(x',y'),则

y'=y+k.

2、平移公式的三类运用

⑴已知平移前后的解析式，求平移向量；⑵已知平移向量及解析式，求平移后的解

析式；

⑶已知平移向量及平