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在学习解析几何的过程中,如何才能确凿把握题意,对同学们来说是一个很困难的问题,有时白认为做得很好的题,却被判扣分.怎样战胜这种现象呢?
一、重概念,以防漏解
例1求过点P(1,2),且在坐标轴上的截距相等的直线方程.
故满足条件的方程为z+y-3=0.
反思遇到这样的问题,究其原因,还是对不同形式的直线方程的理解出现了问题.其实,它们都有着各自成立的条件.之所以会错,是由于我们只重视公式的引用,而忽视了条件.点斜式、斜截式都要求直线的斜率存在,两点式要求这两点的横坐标不相等,截距式要求截距不为0.
此题只要求直线在坐标轴上的截距相等,并没有说截距不可以为0,因此,此题直接运用直线方程的截距式来解题,就会出现漏解的问题.
正解(1)当直线在坐标轴上的截距都为0时,满足条件的直线方程为y=2x;
(2)当直线在坐标轴上的截距不为0时,
满足条件的方程为z+y-3=0.
综上可得,满足条件的直线方程为y=2x或x+y-3=0.
二、重本质,巧转化
例2求证:无论k取何实数,直线(k+1)k-(k-1)y-k=0必过定点,并求出此定点.
分析定点是指随着k的取值,我们可以得到无数条直线,这些直线都相交于一个不变的点,这个点便是定点.有些同学在理解定点时是有困惑的.实际上,从确定直线的方式上,我们可以知道,一个点是没有方法确定一条直线的,经过一个点,有无数条直线,因此就对应着无数个直线方程,这些方程有一个共同的特点,就是有一个点的坐标都满足这些方程,因此这个点就是定点.
思路一,如何说明直线(k+l)x-(k1)y-2k=O过定点,这里不妨可以取两个k值,求出所确定的直线方程的交点坐标,再验证这个点的坐标满足(k+l)x-(k-1)y-2k=0,这样就说明这个点不仅在所取的直线上,也在任意k的直线上,同时也求出了这个定点坐标.
思路二,如何一般性地证明这个问题.
证明直线方程可转化为k(x-y2)+(x+y)=0,
由于对任意k均成立,故得
所以该直线经过定点,定点坐标为(1,-1).
三、先特别,再一般
例3假使AC<O,且BC<O,那么直线Ax-By-C=O不通过第_____象限.
分析粗看题,全是字母,很难人手,不如先根据特征,取几个特别值,看看直线不经过哪个象限,再分析一般性思路.譬如A=l,C=-1,B=2,此时,直线方程为x、2y+l=0,直线不经过第四象限.从取值上可以看出,A,B同号,且与C异号,B≠0.
四、巧构思,数形结合
分析面对这样的函数求最小值时,一些同学可能感到没有什么思路,由于用函数知识很难找到适合的解题方法.我们很难将这题和几何问题相联系起来,不能赋予该函数几何意义.考虑到根号下面为二次式,可尝试将其与两点间距离公式靠近.
反思解析几何的核心就是两个方面,一个方面是解析思维,另一个方面就是几何思维,从表面看,解析几何是从解析方面来对待几何问
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