丛文龙教师版函数之单调性

丛文龙//////////////////////////单调性1.（2009全国卷Ⅱ理）设，则（A） A. B. C. D.10．（05上海卷）若函数f(x)=,则该函数在(-∞,+∞)上是(A)A．单调递减无最小值B单调递减有最小值C单调递增无最大值D单调递增有最大值2.（2009福建卷理）下列函数中，满足“对任意，（0，），当<时，都有>的是（A）A．=B.=C.=D3.(2009陕西卷理)定义在R上的偶函数满足：对任意的，有.则当时,有（C）(A)(B)(C)(C)(D)4．(2009年高考陕西卷改编)定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有eq\f(f(x2)－f(x1),x2－x1)<0，则下列结论正确的是__①______．①f(3)<f(－2)<f(1)②f(1)<f(－2)<f(3)③f(－2)<f(1)<f(3)④f(3)<f(1)<f(－2)5．(2010年陕西)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax(x<0)，,(a－3)x＋4a(x≥0)))满足对任意x1≠x2，都有eq\f(f(x1)－f(x2),x1－x2)<0成立，则a的取值范围是______．解析：由题意知，f(x)为减函数，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,a－3<0，,a0≥(a－3)×0＋4a，))解得0<a≤eq\f(1,4).8．已知奇函数的定义域为，且对任意正实数，恒有，则一定有（）A． B． C． D．82、(福建省福州三中高三年级第二次月考)函数的递增区间是（A） A． B． C． D．3.(07福建)已知函数为R上的减函数，则满足的实数的取值范围是（C）A.B.C.D.14、(北京五中12月考)已知在区间上函数是减函数，且当，则(C)A．B．C．D．湖南卷文7．若f(x)=-x2+2ax与在区间[1,2]上都是减函数，则a的值范围是（D） A． B． C．（0，1） D．4．已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（A）A．B．C．D．3．函数在区间上递减，则实数a的取值范围是(A)A．[－3，0] B． C． D．[－2，0]17.（2009丹阳高级中学一模）若函数在上是增函数，则的取值范围是__6.（2007届岳阳市一中高三数学）若对于任意a[-1,1],函数f(x)=x+(a－4)x+4－2a的值恒大于零,则x的取值范围是答案（96、(黑龙江省双鸭山一中2008-2009学年上学期期中考试)函数在恒正，则实数的范围是（C）A.B.C.D.4.（2009天津卷理）已知函数若则实数的取值范围(C)ABCD15．已知函数上单调递减，那么实数a的取值范围是（C） A．（0，1） B． C． D．5.已知f(x)=是（-∞,+∞）上的减函数，那么a的取值范围是（C）A.（0，1）B.（0，）C.［，）D.［，1）5.（安徽省合肥市2009届高三上学期第一次）函数在上单调，则的取值范围是(A)A． B．C．D．5.（2009江苏卷）函数的单调减区间为.当，即时，方程有两个不同的实根,,.+0_0+单调递增极大单调递减极小单调递增此时在上单调递增,在是上单调递减,在上单调递增.8.（全国一9）设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（D）A. B．C. D．11.若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有（D）A．B．C．D．13、偶函数在）上是减函数，若，则实数的取值范围是_____．16、已知函数是定义在R上的偶函数，当＜0时，是单调递增的，则不等式＞的解集是_________________________.18、(本小题满分12分)若f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数，且对一切x＞0满足=f(x)-f(y),且f(6)=1,解不等式f(x+3)-f()＜2.18.令x=y=1可得f（1）=0；反复用对应法则f（x+3）-f（）=f（x2+3x）.而2=2f（6），且x＞0.于是有f（x2+3x）-f（6）＜f（6）；即f（）＜f（6），可得0＜＜6，解之,0＜x＜11．(2010年广西河池模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f(eq\f(x1,x2))＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)＝－1，解不等式f(|x|)<－2.解：(1)令x1＝x2>0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则eq\f(x1,x2)>1，由于当x>1时，f(x)<0，所以f(eq\f(x1,x2))<0，即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)由f(eq\f(x1,x2))＝f(x1)－f(x2)得f(eq\f(9,3))＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2.由于函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数，由f(|x|)<f(9)，得|x|>9，∴x>9或x<－9.因此不等式的解集为{x|x>9或x<－9}．1．已知函数的定义域是，且满足,,如果对于,都有,（1）求；（2）解不等式。解：（1）令，则（2），则。21．(14分)定义在R上的函数f(x)对任意实数a,b,均有f(ab)=f(a)+f(b)成立，且当x>1时,f(x)<0，(1)求f(1)(2)求证：f(x)为减函数。(3)当f(4)=-2时，解不等式21，（1）由条件得f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0(2)法一：设k为一个大于1的常数，x∈R+，则f(kx)=f(x)+f(k)因为k>1，所以f(k)<0，且kx>x所以kx>x,f(kx)<f(x)对x∈R+恒成立，所以f(x)为R+上的单调减函数法二：设令有题知，f(k)<0所以f(x)在（0，+）上为减函数法三设所以f(x)在（0，+）上为减函数4.（2009·广西河池模拟）已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f(=f(x1)-f(x2)，且当x＞1时，f(x)＜0.（1）求f(1)的值；（2）判断f(x）的单调性；（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2.解（1）令x1=x2＞0,代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.（2）任取x1,x2∈(0,+∞)，且x1＞x2,则＞1,由于当x＞1时，f(x)＜0,所以f＜0,即f(x1)-f(x2)＜0,因此f(x1)＜f(x2),所以函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数.（3）由f()=f(x1)-f(x2)得f(=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2.由于函数f(x)在区间（0,+∞）上是单调递减函数，由f(|x|)＜f(9),得|x|＞9,∴x＞9或x＜-9.因此不等式的解集为{x|x＞9或x＜-9}.例4(12分)函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x>0时，f(x)>1.（1）求证：f(x)是R上的增函数；（2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.解（1）设x1,x2∈R，且x1<x2,则x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1.2分f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1>0.5分∴f（x2）>f(x1).即f(x)是R上的增函数.6分（2）∵f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，∴f（2）=3，8分∴原不等式可化为f(3m2-m-2)<f(2),∵f(x)是R上的增函数，∴3m2-m-2<2,10分解得-1<m<,故解集为（-1,）.12分例6.设f（x）定义于实数集上，当时，，且对于任意实数x、y，有，求证：在R上为增函数。证明：在中取，得若，令，则，与矛盾所以，即有当时，；当时，而所以又当时，所以对任意，恒有设，则所以所以在R上为增函数。评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。19、（14分）若非零函数对任意实数均有，且当时，；（1）求证：（2）求证：为减函数（3）当时，解不等式10.函数f(x)对任意的实数m、n有f(m+n)=f(m)+f(n),且当x>0时有f(x)>0.（1）求证：f(x)在（-∞,+∞)上为增函数；（2）若f(1)=1,解不等式f［log2(x2-x-2)］＜2.（1）证明设x2＞x1,则x2-x1＞0.∵f(x2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2-x1)＞0,∴f(x2)＞f(x1),f(x)在（-∞,+∞)上为增函数.（2）解∵f(1)=1,∴2=1+1=f(1)+f(1)=f(2).又f［log2(x2-x-2)］＜2,∴f［log2(x2-x-2)］＜f(2).∴log2(x2-x-2)＜2,于是∴即-2＜x＜-1或2＜x＜3.∴原不等式的解集为{x|-2＜x＜-1或2＜x＜3}.17．（本小题满分12分）设函数的定义域是R，对于任意实数，恒有，且当时，．（1）求证：，且当时，有；（2）判断在R上的单调性；（3）（理科生做）设集合，集合，若，求的取值范围．17、（1）证明：，令，则，且由时，，所以；设，，．（2）解：，则时，，，在R上单调递减．（3）解：，由单调性知，又例1已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>0，f(－1)＝－2求f(x)在区间[－2,1]上的值域.分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（注意到f（x2）＝f[（x2－x1）＋x1]＝f（x2－x1）＋f（x1））；再根据区间求其值域.例2已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>2，f(3)＝5，求不等式f（a2－2a－2）<3的解.分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（仿例1）；再求出f（1）＝3；最后脱去函数符号.例3已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当0≤x＜1时，f（x）∈[0，1].（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在[0，＋∞]上的单调性，并给出证明；（3）若a≥0且f（a＋1）≤，求a的取值范围.分析：（1）令y＝－1；（2）利用f（x1）＝f（·x2）＝f（）f（x2）；（3）0≤a≤2.例4设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在x1≠x2，使得f（x1）≠f（x2）；对任何x和y，f（x＋y）＝f（x）f（y）成立.求：（1）f（0）；（2）对任意值x，判断f（x）值的符号.分析：（1）令x=y＝0；（2）令y＝x≠0.例5是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）>0,x∈N；②f（a＋b）＝f（a）f（b），a、b∈N；③f（2）＝4.同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，说明理由.分析：先猜出f（x）＝2x；再用数学归纳法证明.例6设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足f（x·y）＝f（x）＋f（y），f（3）＝1，求：（1）f（1）；（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围.分析：（1）利用3＝1×3；（2）利用函数的单调性和已知关系式.例9已知函数f（x）（x≠0）满足f（xy）＝f（x）＋f（y），（1）求证：f（1）＝f（－1）＝0；（2）求证：f（x）为偶函数；（3）若f（x）在（0，＋∞）上是增函数，解不等式f（x）＋f（x－）≤0.分析：函数模型为：f（x）＝loga|x|（a＞0）（1）先令x＝y＝1，再令x＝y＝－1；（2）令y＝－1；（3）由f（x）为偶函数，则f（x）＝f（|x|）.例10已知函数f（x）对一切实数x、y满足f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）·f（y），且当x＜0时，f（x）＞1，求证：（1）当x＞0时，0＜f（x）＜1；（2）f（x）在x∈R上是减函数.分析：（1）先令x＝y＝0得f（0）＝1，再令y＝