三角函数性质

关于三角函数性质第一页，共七十四页，编辑于2023年，星期六【知识梳理】1.三个基本三角函数的图象和性质

函数y=sinxy=cosxy=tanx图象定义域RR{x|x≠kπ+,k∈Z}第二页，共七十四页，编辑于2023年，星期六函数y=sinxy=cosxy=tanx值域[-1,1][-1,1]R函数的最值最大值1,当且仅当____________最小值-1,当且仅当____________最大值1,当且仅当______________最小值-1,当且仅当_______________无最大值和最小值x=2kπ,k∈Zx=2kπ-π,k∈Z第三页，共七十四页，编辑于2023年，星期六函数y=sinxy=cosxy=tanx单调性增区间__________________减区间__________________增区间___________________________减区间_________________________增区间________________

[k·2π-π,k·2π](k∈Z)[k·2π,k·2π+π](k∈Z)第四页，共七十四页，编辑于2023年，星期六函数y=sinxy=cosxy=tanx奇偶性奇函数偶函数奇函数周期性周期为2kπ,k≠0,k∈Z,最小正周期为____周期为2kπ,k≠0,k∈Z,最小正周期为____周期为kπ,k≠0,k∈Z,最小正周期为___2π2ππ第五页，共七十四页，编辑于2023年，星期六函数y=sinxy=cosxy=tanx对称性对称中心_________________________________________对称轴______________________无对称轴零点kπ,k∈Zkπ+,k∈Zkπ,k∈Z(kπ,0),k∈Zx=kπ,k∈Zk∈Z第六页，共七十四页，编辑于2023年，星期六2.周期函数(1)周期函数:对于函数f(x),如果存在一个__________,使得当x取_______内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,__________叫做这个函数的周期.非零常数T定义域非零常数T第七页，共七十四页，编辑于2023年，星期六(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个___________,那么这个_________就叫做f(x)的最小正周期.最小的正数最小正数第八页，共七十四页，编辑于2023年，星期六【特别提醒】1.函数的对称性和周期之间的几个关系(1)正弦曲线和余弦曲线相邻的两个对称轴之间距离的2倍是一个周期.(2)正弦曲线和余弦曲线相邻的两个对称中心之间距离的2倍是一个周期.第九页，共七十四页，编辑于2023年，星期六(3)正弦曲线和余弦曲线相邻的一个对称轴和一个对称中心之间距离的4倍是一个周期.(4)正切曲线相邻的两个对称中心之间距离的2倍是一个周期.第十页，共七十四页，编辑于2023年，星期六2.正切函数的单调性

y=tanx不能认为其在定义域上为增函数,应在每个区间(k∈Z)内为增函数.第十一页，共七十四页，编辑于2023年，星期六【小题快练】链接教材练一练1.(必修4P40练习T3(2)改编)函数f(x)=4-的最小值是

,取得最小值时,x的取值集合为

.第十二页，共七十四页，编辑于2023年，星期六【解析】f(x)min=4-2=2,此时,=2kπ(k∈Z),x=6kπ(k∈Z),所以x的取值集合为{x|x=6kπ,k∈Z}答案:2

{x|x=6kπ,k∈Z}第十三页，共七十四页，编辑于2023年，星期六2.(必修4P47习题1.4B组T2改编)函数y=的单调递减区间为

.第十四页，共七十四页，编辑于2023年，星期六【解析】因为y=tanx的单调递增区间为(k∈Z),y=-tanx的单调递减区间为(k∈Z),所以(k∈Z),解得

(k∈Z),所以的单调递减区间为(k∈Z).答案:(k∈Z)第十五页，共七十四页，编辑于2023年，星期六感悟考题试一试3.(2014·陕西高考)函数f(x)=的最小正周期是(

)A.B.πC.2πD.4π【解析】选B.由题意得:T==π.第十六页，共七十四页，编辑于2023年，星期六4.(2016·烟台模拟)函数y=sin(-x)的图象(

)A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于直线x=对称第十七页，共七十四页，编辑于2023年，星期六【解析】选B.因为y=sin(-x)=cosx,又因为cos(-x)=cosx,为偶函数,所以根据余弦函数的图象和性质可知其图象关于y轴对称.第十八页，共七十四页，编辑于2023年，星期六5.(2016·菏泽模拟)函数y=sinx-cosx+sinxcosx,x∈[0,π]的最小值是

.第十九页，共七十四页，编辑于2023年，星期六【解析】设sinx-cosx=t,因为x∈[0,π],所以所以t∈[-1,],sinxcosx=所以当t=-1时,ymin=-1.答案:-1第二十页，共七十四页，编辑于2023年，星期六考向一三角函数的定义域及简单的三角方程或不等式【典例1】(1)(2016·青岛模拟)定义在区间(0,)上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P,过点P作PP1⊥x轴于点P1,直线PP1与y=sinx的图象交于点P2,则线段P1P2的长为

.第二十一页，共七十四页，编辑于2023年，星期六(2)满足cosx≥,且x∈[0,2π]的x的集合为

.(3)函数f(x)=+log2(2sinx-1)的定义域是

.第二十二页，共七十四页，编辑于2023年，星期六【解题导引】(1)根据图象的意义及同角关系,列出关于sinx的方程,求解.(2)根据余弦函数的图象可得不等式的解集为x∈,k∈Z,结合函数的定义域即可得到答案.(3)根据表达式有意义,列出不等式组求解.第二十三页，共七十四页，编辑于2023年，星期六【规范解答】(1)由题意得线段P1P2的长即为sinx的值,且其中的x满足6cosx=5tanx,即6cosx=5,所以6cos2x=5sinx,即6sin2x+5sinx-6=0,解得sinx=,或sinx=-(舍).所以线段P1P2的长为.答案:第二十四页，共七十四页，编辑于2023年，星期六(2)因为cosx≥,所以又因为x∈[0,2π],所以x的集合为答案:

第二十五页，共七十四页，编辑于2023年，星期六(3)由题意,得由①得-8≤x≤8,由②得sinx>,由正弦曲线得所以不等式组的解集为答案:

第二十六页，共七十四页，编辑于2023年，星期六【母题变式】1.若本例题(3)中函数改为f(x)=,求其定义域.【解析】因为函数f(x)=,所以cosx≠1,所以x≠2kπ,k∈Z,所以函数的定义域为{x|x≠2kπ,k∈Z}.

第二十七页，共七十四页，编辑于2023年，星期六2.在本例题(3)中函数改为求其定义域.【解析】由由余弦曲线得所以函数的定义域为第二十八页，共七十四页，编辑于2023年，星期六【规律方法】1.三角函数方程、不等式的求解策略(1)由同角关系、诱导公式转化为关于sinx或cosx的方程、不等式.(2)用换元法求出sinx或cosx的值或范围.第二十九页，共七十四页，编辑于2023年，星期六(3)根据正弦曲线、余弦曲线求出相对应的x的值或范围.(4)解不等式时可以先求出区间长度为一个周期上的范围,再加上周期.第三十页，共七十四页，编辑于2023年，星期六2.三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组),常借助三角函数线或三角函数图象来求解.第三十一页，共七十四页，编辑于2023年，星期六易错提醒:(1)对表达式进行化简变形时,尽量等价变形,注意不要产生增解,也不要丢掉方程的解.(2)注意sinx或cosx的值域是[-1,1],换元后新变量的范围为[-1,1].(3)解不等式时要注意周期,不可以忽略.第三十二页，共七十四页，编辑于2023年，星期六【变式训练】(2016·济南模拟)设条件p:

条件q:cos<0,则p是q的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件第三十三页，共七十四页，编辑于2023年，星期六【解析】选C.由⇔⇔所以p是q的充分必要条件.第三十四页，共七十四页，编辑于2023年，星期六【加固训练】

1.(2016·长春模拟)已知集合E={θ|cosθ<sinθ,0≤θ≤2π},F={θ|tanθ<sinθ},那么E∩F为区间(

)第三十五页，共七十四页，编辑于2023年，星期六【解析】选A.由sinθ,cosθ,tanθ的图象,得集合

第三十六页，共七十四页，编辑于2023年，星期六2.若sin2x>cos2x,则x的取值范围是(

)第三十七页，共七十四页，编辑于2023年，星期六【解析】选D.由题意可知cos2x<0,

所以

所以

第三十八页，共七十四页，编辑于2023年，星期六3.在△ABC中,则A的大小为

.【解析】由已知得A为锐角.

两边平方,2sin2A=3cosA,

设t=cosA,则2t2+3t-2=0,

解得t=或t=-2(舍),所以cosA=,A=60°.

答案:60°第三十九页，共七十四页，编辑于2023年，星期六4.函数y=+lgcosx的定义域为

.【解析】由

得

所以函数的定义域为答案:

第四十页，共七十四页，编辑于2023年，星期六考向二三角函数的值域和最值【典例2】(1)函数y=-2sinx-1,x∈的值域是(

)A.[-3,1]B.[-2,1]C.(-3,1]D.(-2,1]第四十一页，共七十四页，编辑于2023年，星期六(2)(2016·聊城模拟)函数y=cos2x-2sinx的最大值与最小值分别为(

)A.3,-1B.3,-2C.2,-1D.2,-2【解题导引】(1)弄清角x的取值范围,结合正弦曲线求解.(2)换元转化为求二次函数的最值.第四十二页，共七十四页，编辑于2023年，星期六【规范解答】(1)选D.由正弦曲线知y=sinx在上,-1≤sinx<,所以函数y=-2sinx-1,x∈的值域是(-2,1].第四十三页，共七十四页，编辑于2023年，星期六(2)选D.y=cos2x-2sinx=1-sin2x-2sinx=-sin2x-2sinx+1,令t=sinx,则t∈[-1,1],y=-t2-2t+1=-(t+1)2+2,所以ymax=2,ymin=-2.第四十四页，共七十四页，编辑于2023年，星期六【规律方法】三角函数最值或值域的三种求法(1)直接法:利用sinx,cosx的值域.(2)化一法:化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,确定ωx+φ的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域.(3)换元法:把sinx或cosx看作一个整体,转化为二次函数,求在给定区间上的值域(最值)问题.第四十五页，共七十四页，编辑于2023年，星期六【变式训练】函数y=2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(

)A.2-B.0C.-1D.-1-第四十六页，共七十四页，编辑于2023年，星期六【解析】选A.因为0≤x≤9,所以所以所以所以ymax+ymin=第四十七页，共七十四页，编辑于2023年，星期六【加固训练】

1.(2016·南昌模拟)函数y=sin2x+sinx-1的值域为(

)第四十八页，共七十四页，编辑于2023年，星期六【解析】选C.换元,设t=sinx,则y=t2+t-1(-1≤t≤1),所以值域为第四十九页，共七十四页，编辑于2023年，星期六2.(2016·青岛模拟)函数y=的值域为

.【解析】由y=,得cosx=

因为-1≤cosx≤1,所以-1≤≤1,

解得≤y≤6.因此,原函数的值域为

答案:第五十页，共七十四页，编辑于2023年，星期六【一题多解】本题还可如下求解:

因为-1≤cosx≤1,所以1≤2-cosx≤3.

即原函数的值域为

答案:第五十一页，共七十四页，编辑于2023年，星期六考向三三角函数的性质【考情快递】

命题方向命题视角三角函数的奇偶性、对称性和周期性问题主要考查根据奇偶性、周期性的概念判断函数奇偶性,求函数的周期或已知函数的奇偶性求参数的值,属容易题三角函数的单调性问题主要考查根据单调性求单调区间,或知道单调区间求参数范围等问题,属中档题第五十二页，共七十四页，编辑于2023年，星期六【考题例析】命题方向1:三角函数的奇偶性、对称性和周期性问题【典例3】(1)(2016·淄博模拟)若函数y=sin(φ∈[0,2π])是偶函数,则φ=

(

)第五十三页，共七十四页，编辑于2023年，星期六(2)(2016·潍坊模拟)下列函数中,最小正周期为π,且图象关于直线x=对称的是(

)第五十四页，共七十四页，编辑于2023年，星期六【解题导引】(1)利用偶函数的定义求解.(2)将x=代入各个关系式,看看能否取到最值即可.第五十五页，共七十四页，编辑于2023年，星期六【规范解答】(1)选C.观察选项,当φ=π时,等式恒成立.(2)选B.因为y=f(x)的最小正周期为π,可排除D;其图象关于直线x=对称,所以A中,故A不满足;第五十六页，共七十四页，编辑于2023年，星期六对于B,满足题意;对于C,故C不满足.第五十七页，共七十四页，编辑于2023年，星期六命题方向2:三角函数的单调性问题【典例4】(1)(2016·济南模拟)若函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间上单调递增,在区间上单调递减,则ω等于(

)第五十八页，共七十四页，编辑于2023年，星期六(2)(2016·银川模拟)函数f(x)=的单调减区间为

.第五十九页，共七十四页，编辑于2023年，星期六【解题导引】(1)根据正弦函数的单调性解不等式求解.(2)先用诱导公式化简函数表达式,再根据正弦函数的减区间解不等式求解.第六十页，共七十四页，编辑于2023年，星期六【规范解答】(1)选B.因为f(x)=sinωx(ω>0)过原点,所以当y=sinωx是增函数;当y=sinωx是减函数.由f(x)=sinωx(ω>0)在上单调递增,在上单调递减知,第六十一页，共七十四页，编辑于2023年，星期六(2)由已知函数为欲求函数的单调减区间,只需求的单调增区间.由得故所给函数的单调减区间为答案:

第六十二页，共七十四页，编辑于2023年，星期六【技法感悟】1.三角函数的奇偶性、对称性和周期问题的解题思路(1)奇偶性的判断方法:由正、余弦函数的奇偶性可判断出y=Asinωx和y=Acosωx分别为奇函数和偶函数.第六十三页，共七十四页，编辑于2023年，星期六(2)周期的计算方法:利用函数y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)(ω>0)的周期为,函数y=Atan(ωx+φ)(ω>0)的周期为求解.(3)解决对称性问题的关键:熟练掌握三角函数的对称轴、对称中心.第六十四页，共七十四页，编辑于2023年，星期六2.三角函数的单调性问题的解题方法(1)求三角函数单调区间的两种方法①代换法:就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t),利用基