2016届湖南省长沙市长郡高考模拟卷（一）数学（文）试题

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A．B．C．D．2.如图，在复平面内，复数和对应的点分别是和，则（）A．B．C．D．3.在等差数列中，，前7项和，则其公差是（）A．B．C．D．4.若满足约束条件，则的最大值为（）A．2B．C．3D．15.已知，，向量与垂直，则实数的值为（）A．B．C．D．6.执行如图所示的程序框图，输出的结果为98，则判断框内可填入的条件为（）A．B．C．D．7.函数的图象可能是（）8.如图所示，三棱锥中，平面，为正三角形，，是的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（）A．B．C．D．9.已知函数，正实数满足，且，若在区间上的最大值为2，则的值分别为（）A．B．C．D．10.已知一个三棱锥的三视图如图所示，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）A．B．C．D．11.已知椭圆：，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为5，则的值是（）A．1B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某种产品的广告费支出与销售额之间有如下对应数据（单位：百万元）.根据上表提供的数据，求出关于的线性回归方程为，则表中的值为.14.过原点的直线与双曲线交于两点，是双曲线上异于，的一点，若直线与直线的斜率都存在且乘积为，则双曲线的离心率为.15.已知函数，正项等比数列满足，则.16.中，角所对的边分别为，下列命题正确的是.①若最小内角为，则；②若，则；③存在某钝角，有；④若，则的最小值小于；三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）在中，若，边，求边的长及的值.18.（本小题满分12分）某高三年级学生500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成5组：，，，，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（1）从样本中分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰好为一男一女的概率；（2）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”？19.（本小题满分12分）如图甲，圆的直径，圆上两点在直径的两侧，使，，沿直径折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），为的中点，根据图乙解答下列各题：（1）求点到平面的距离；（2）如图：若的平分线交弧于一点，试判断是否与平面平行？并说明理由.20.（本小题满分12分）已知椭圆过点，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，直线分别交直线于两点，线段的中点为.记直线的斜率为，求证：为定值.21.（本小题满分12分）已知函数.（1）当时，讨论的单调区间；（2）设，且有两个极值点为，其中，求的最小值.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，是圆的一条切线，切点为，直线都是圆的割线，已知.（1）若，求的值；（2）求证：.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为，曲线的参数方程为（为参数）.（1）写出点的直角坐标及曲线的直角坐标方程；（2）若为曲线上的动点，求中点到直线的距离的最小值.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式；（2）若，求证：.参考答案一、选择题CDCABAABBDDC1.C2.D【解析】由图形可得：，，再利用复数的运算法则即可得出.解：由图形可得：，，∴，故选：D3．C【解析】设等差数列的公差为，∵，前7项和，∴，，解得.故选C.4．A【解析】对于直线型的线性约束条件，代数式的最值几乎都在这些直线的某个交点处取得（个别因为代数式在交点处无意义而不能取最值），所以先求约束条件中各直线的交点，可求得分别为，在这三点处的值分别为0，2，，所以最大值为2，本题中因代数式的值不能为零，所以如果所求交点横坐标为零，要将此点舍去，这时候就得运用图象法来求最值，本题的正确选项为A.5．B6．A【解析】模拟执行程序框图，可得此时，由题意，满足条件，退出循环，输出的值为98，则判断框内可填入的条件为：故选A.7．A8．B【解析】取的中点，连接，则，∴或其补角就是异面直线和所成角∵为正三角形，∴.设，平面，∴，∴.9．B【解析】∵函数，正实数满足，且，∴，，且，∴.由于在区间上的最大值为2，即在区间上的最大值为2，∴，∴，∴，故选B.则为三棱锥外接球的球心，为外接球的半径.∵，.∴三棱锥外接球的体积.故选D11．D【解析】如图所示，由椭圆定义，有，所以当线段长度达最小值时，有最大值，当垂直于轴时，，所以的最大值为，∴，即，选D.12.C【解析】由题意得函数的图象关于点对称，即函数为奇函数，因此由得，，.因为，所以可行域为一个三角形及其内部，其中，而，所以过点时取最小值0，过点时取最大值12，选C.二、填空题13.50【解析】由题意，，.∵关于的线性回归方程为：，∴，∴，∴，∴.故答案为：50.14．【解析】由双曲线的对称性知，可设，则.由，可得：，即，即，又因为均在双曲线上，所以，，所以，所以双曲线的离心率为.15．【解析】∵，∴.∵数列是等比数列，∴，即，设，①又，②①+②得：，∴.16．①④【解析】对①，因为最小内角为，所以，，故正确；对②，构造函数，求导得：，当时，，即，则，所以，即在上单减，由②，得，即，所以，故②不正确；对③，因为，则在钝角中，不妨设为钝角，有，故，③不正确；对④，由，即，而不共线，则，解得，则是最小的边，故是最小的角，根据余弦定理，故④正确，故①④正确.三、解答题17.【解析】（1），∴，所以最小正周期为.（2），，∴，∴.中，由余弦定理得，，即，∴.由正弦定理，可得.18．【解析】（1）由已知得，抽取的100名学生中，男生60名，女生40名.分数小于110分的学生中，男生有（人），记为；女生有（人），记为，从中随机抽取2名学生，所有的可能结果共有10种，它们是：，，，，其中，两名学生恰好为一男一女的可能结果共有6种，它们是：，故所求的概率.（2）由频率分布直方图可知，在抽取的100名学生中，男生（人），女生（人）据此可得列联表如下：所以得，因为.所以没有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”.19．【解析】（1）点到面的距离为.（2）面，理由如下：连结，则中，分别为的中点，∴，又∵面，面，∴面，∵是的平分线，且，令交于，则是的中点，连结，则，又∵面，面，∴面，且，面，∴面面.又面，∴面.20．【解析】（1）由题设：，解之得：，所以椭圆的方程为，（2）设直线的方程为，代入椭圆方程得：，设，则由韦达定理得：，，直线的方程分别为：，，令得：，，所以，.21．【解析】（1）的定义域，，令，得，①当时，，此时，恒成立，所以，在定义域上单调递增；②当时，，解的两根为，，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；综上得，当时，的递增区间为，无递减区间；当时，的递增区间为，，递减区间为；（2），定义域为，，令，得，其两根为，且，所以，，，∴.∴.设，，则.∵，当时，恒有，∴在上单调递减；∴，∴.22．【解析】由题意可得：四点共圆，∴，，∴∽，∴，又∵，∴.（2）因为为切线，为割线，，又因为，所以.所以，又因为，所以∽