适用2023年全国高考文数模拟试卷(全国甲卷)

2023（全国甲卷）数学考试考试时间：**2023（全国甲卷）数学考试考试时间：**分钟满分：**分姓名班级考号 题号一二三四总分评分A．2B．4(3+√2)3C．6D．203𝜋...

55分）函)=𝑥+𝐴>0𝜔>0|<2的部分图象如图所示，则函)的图象可以𝑦=的图象（ ）第Ⅰ卷的注释

第Ⅰ

𝜋

5𝜋阅卷人

1260

．向左平移3个单位长度得到 B．向左平移6个单位长度得到C．向右平5𝜋个单位长度得到 个单位长度得到得分 3 6𝜋 𝜋 √315分）已知集𝐴=|−4<𝑥<𝐵=𝑥2−𝑥−6≤}，则𝐴∪𝐵=（

65分）2，2𝑥𝑥

2”发生的概率为（ ）A．{𝑥|−2≤𝑥<2} B．{𝑥|−4<𝑥≤3}6323C．{𝑥|−2<𝑥<2} D．{𝑥|−4<𝑥<3}6323

A．1

B．1

C．2

D．175分）函)=𝑥2⋅|的部分图象大致为（ ）A．B．25分）下表是2017年至2022年硕士研究生的报名人数与录取人数（单位：万人A．B．年份201720182019202020212022报名人数201238290341377457录取人数72768199106112根据该表格，下列叙述错误的是（A．录取人数的极差为40）B．报名人数的中位数是315.5C．报名人数呈逐年增长趋势D．录取比例呈逐年增长趋势35分）已知复𝑧= 1𝑖为虚数单位，|为（ ）1+𝑖22

2C．√2 2…○…………线…………○…………订…………○…………装…………○…………外…………○…○…………线………______：号考_____：级班_____：名姓_____：校学…○…………订…………○…………装…………○…………内…………○………45分）某几何体的三视图（单位𝑚）如图所示，则该几何体的体积（单位𝑚3）是（ ）1/11… …○○……线线……○※○…※题……○○……线线……○※○…※题……※……※答……订※※内…订…※※……线……※※……订※…○※○…装※……※在……※……※要…装…※※不装……※※……请……※※…○○……内外……5分已知直线l𝑥−𝑦−1=0与圆𝑥−2+2=1相交于，B两点，则|𝐴𝐵|= .C．𝑥2 𝑦2 35分𝐶：𝑎2−

2=1(𝑎>0，𝑏>0)的顶点到一条渐近线的距离为实轴长的√，则𝑏双曲线C的离心率为 ．5分△𝐶𝐶=𝐷𝐶𝐷=为 .

4⃗⋅⃗的最小值D． 第Ⅰ阅卷人得分

第Ⅰ卷主观题三、解答题(共5题；共60分)85分）若函)在𝑅上可导，)=𝑥2+𝑓′𝑥+𝑚∈)，则（ ）A．𝑓(0)<𝑓(6) B．𝑓(0)=𝑓(6)C．𝑓(0)>𝑓(6) D．以上答案都不对95分）𝛼是一个平面𝑚𝑛是两条直线，则正确的命题为（ ）A．如果𝑚//𝛼，𝑛//𝛼，那么𝑚//𝑛B．如果𝑚⊥𝛼，𝑛⊥𝑚，那么𝑛//𝛼C．如果𝑚//𝛼，𝑚⊥𝑛，那么𝑛⊥𝛼D．如果𝑚⊥𝛼，𝑛⊂𝛼，那么𝑚⊥𝑛5分已知正四棱锥的侧棱长为3，其顶点均在同一个球面上，若球的体积𝜋，则该正四锥的体积为（ ）

2分某校高二年级学生参加数学竞赛，随机抽取了100[50，60)、[60，70)、[70，80)[80，90)、[90，100]．1（6分）求这100名学生成绩的平均值；9 27 27 81A．2 B．4 C．2 D．45分已知抛物2=𝑥的焦点𝐹，𝐹的直线交抛物线𝐴，𝐵两点，|+|的最小值为（ ）A．6 B．9 C．12 D．15𝑒 3

2（6分），内的学生中共抽取7人，查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中随机选取221人[50，60)内的概率．2分𝑎𝑛是公差不为01=1，42．5分𝑎=√，𝑏=2𝑐=1−，则（ ）2 √ 1（6分）𝑛；阅卷人A．𝑏<𝑐<𝑎 B．𝑐<𝑏<𝑎 C．𝑎<𝑏<𝑐 D．𝑐<𝑎<𝑏阅卷人二、填空题(共4题；共20分)

2（6分）𝑏 = 1 ，求数𝑏的前2022项和．𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑎 得分○○2/11……2分如图，在正三棱柱𝐶−111中，D为B的中点，𝐵=得分○○2/11……… …… …… …… …值．○ ○… …… …… …… …线 线… …… …… …… … （1（6分）求证：平面1𝐷⊥平面11；○ _ ○_… _ …

（2（6分）求点A到平面

𝐶𝐷的距离．_… _ ……：…号 …… 考 …订 _ 订… _ …

2分已知函数)=𝑥3+𝑥2+𝑎∈)．（1（6分）讨论)的单调性；（2（6分）当𝑎<0时，求)在区间0，]上的最小值．2分𝐶：𝑥2+2=1（𝑎>𝑏>0）的左𝐹

，𝐹

𝑃(−1𝐶_… _ …_

上，且

⃗⋅⃗0.

𝑎2

𝑏2

1 2 2… ： …

𝑃𝐹1 12……班级 （1（6分）求椭𝐶的标准方程；……班○ _ ○

=∠𝑁𝑃𝐹… _ …_… _ …… _ …… …

（2（6分）0，−𝑙𝐶于𝑀𝑁1存在，求直线𝑙的方程，若不存在，请说明理由.阅卷人

1？若名装 姓 装 得分

四、选考题，请考生在第22、23题中任选一题作答(共2题；共20分)… _ …… _

𝑥=−1𝑡_ …… _ …

0分在平面直角坐标𝑦中，已知直线：{ 23√3

t为参数．以坐标原点O为极_… ： …

𝑦=2+2𝑡𝜋校学 ○… …… …… …… …外 内… …… …

点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为𝜌=2sin(𝜃+3)（1（5分）求曲线C的直角坐标方程；（2（5分）设点M，，直线l与曲线C的交点为|+|的值．0分)=𝑥−|−𝑥−．（1（5分）)≥𝑥−1的解集；… …1 3… … （2（5分）𝑦=)+𝑥−|的最小值为，正实数ab𝑎+𝑏=𝑚𝑎+𝑏的最小○ ○… … 3/11… …… ……… …B【知识点】并集及其运算

答案解析部分

【解析】【解答】根据三视图可知，原几何体为横放的直四棱柱，如图所示：【解析】【解答】∵𝐴={𝑥|−4<𝑥<2}，𝐵={𝑥|−2≤𝑥≤3}，∴𝐴∪𝐵={𝑥|−4<𝑥≤3}.故答案为：B.【分析】化简集合B，再根据并集的定义可得答案.D【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；随机抽样和样本估计总体的实际应用【解析】【解答】对于A，录取人数的极差为112−72=40，A正确，不符合题意；2对于B，报名人数从小到大排，依次为201，238，290，341，377，457，故中位数为290+341=2

所以𝑉=𝑆ℎ=1+2×2×2=6𝑐𝑚3．故答案为：C．2【分析】根据三视图还原几何体即可求出其体积．2D【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式315.5，B正确，不符合题意；对于C，分析数据可知，从2017年以来，报名人数呈逐年增长趋势，C正确，不符合题意；201对于D，分析数据可知，2017年的录取比例为72×100%=35.8%；2018年的录取比例为201

【解析】【解答】由图可知𝐴=√2，𝑇=𝜋，则𝜔=2，所以𝑓(𝑥)=√2sin(2𝑥+𝜑)．由2×7𝜋+𝜑=3𝜋+2𝑘𝜋(𝑘∈𝑍)，|𝜙|<𝜋，得𝜑=𝜋，所以𝑓(𝑥)=√2sin(2𝑥+𝜋)．23812 2 2 3 76×100%=31.9%，2017-2018年录取比例减小，D错误，符合题意；故答案为：23812 2 2 3 【分析】利用已知条件结合表格中的数据，再结合极差公式和中位数公式，再结合统计的方法，从而找出正确的选项。3C【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数求模

函数𝑦=√2sin2𝑥的图象向右平移5𝜋个单位长度，所得图象对应的函数解析式为𝑦=√2sin[2(𝑥−66 3 5𝜋)]=√2sin(2𝑥−5𝜋)=√2sin(2𝑥+𝜋)=𝑓(𝑥)，所以D符合题意．故答案为：66 3 【分析】根据题意结合周期的公式即可求出𝜔的值，再由特殊点法代入计算出𝜑，由此即可得出函数的解析式，再结合正弦函数的图象以及函数平移的性质即可得出答案。A【知识点】古典概型及其概率计算公式；余弦函数的单调性【解析【解答∵𝑧= 1

1−𝑖 =1−1𝑖，1+𝑖

(1+𝑖)(1−𝑖) 2 2

【解析】【解答】𝑦=cos𝑥在[−𝜋，0]单调递增；𝑦=cos𝑥在[0，𝜋]单调递减=√1 1 √2. 2 2=∴|𝑧|

(2)2+(−2)2=2

𝜋

𝜋 322故答案为：C22

又𝑐𝑜𝑠(6

，𝑐𝑜𝑠6 √，√3 𝑥∈[−𝜋 0]

−𝜋≤𝑥≤𝜋则由𝑐𝑜𝑠𝑥⩾2，

2，可得6 6【分析】利用复数的除法法则将复数𝑧表示为一般形式，再利用复数求模公式即可.

则在区间[−𝜋，𝜋]上随机取一个数𝑥，2 24C

√3 𝜋−(−𝜋) 1事件“𝑐𝑜𝑠𝑥⩾

”发生的概率6 6=…………○○……线线……○※○…※题……※……※答……订※※内…订…※※……线……※※……订※…○※○…装※……※在……※……※要…装…※※不装……※※……请……※※…○○……内外……○○……

4/11

2故答案为：A

𝜋−(−𝜋) 32 2𝜋𝜋]𝑐𝑜𝑠𝑥⩾√3x的取值范围，再利用几

故答案为：D．2 2 2何概型求对应的概率值.7B【知识点】函数的图象【解析】【解答】因为𝑓(𝑥)的定义域为{𝑥|𝑥≠0}，且𝑓(−𝑥)=(−𝑥)2⋅ln|−𝑥|=𝑥2⋅ln|𝑥|=𝑓(𝑥)，所以𝑓(𝑥)为偶函数，其图象关于𝑦轴对称，故排除D；2 又𝑓(1)=−ln2<0，所以排除A；又𝑓(2)=4ln2>0，所以排除C.2 故答案为：B．

【分析】由平行于同一平面的两直线的位置关系判断A；由线面垂直及面面垂直分析直线与平面的关系判断B；由线面平行、线线垂直分析直线与平面的位置关系判断C；由直线与平面垂直的定义判断D.B【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】【解答】设正四棱锥的底面边长为a，高为h.3因为球的体积为36𝜋，所以4𝜋𝑅3=36𝜋，解得：𝑅=3.3如图示：在正四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，侧棱𝑃𝐴=3.𝐴𝐶∩𝐵𝐷=𝐸，则𝑃𝐸⊥面ABCD.【分析】判断函数的定义域，判断函数的奇偶性和对称性，利用排除法进行判断即可得答案.C【知识点】导数的运算𝑓(𝑥𝑥22𝑓′(2)𝑥𝑚2𝑥)=4)=−4，

因为𝑅=3，侧棱𝑃𝐴=3，所以外接球的球心O在PE的延长线上.ℎ2+(√2 2 2

ℎ=3所以𝑓(𝑥)=𝑥2−8𝑥+𝑚=(𝑥−4)2+𝑚−16，函数开口向上，对称轴为𝑥=4，

由题意可得：

𝑃𝐸2+𝐸𝐵2=𝑃𝐵2，{ 2𝑎) =3 ，解得： 2.因为|0−4|>|4−6|，所以𝑓(0)>𝑓(6)；

{𝑂𝐸2+𝐸𝐴=𝑂𝐴2

(3−ℎ)2+(√2

{𝑎)=32 𝑎

3√62故答案为：C

2=1𝑎2⋅ℎ=1×(3√6)2×3=27.【分析】求出函数的导函数，令𝑥=2，即可求出𝑓′(2)=−4，从而得到𝑓(𝑥)的解析式，再根据二次函

故答案为：B

3 3 2 2 4……○…………线…………○…………订…………○…………装…………○…………外…………○…………____………○…………线…………○…_ …：号考_____：级班_____：名姓____：校学……订…………○…………装…………○…………内…………○………D【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系【解析】【解答】解：如果𝑚//𝛼，𝑛//𝛼，那么𝑚、𝑛平行、相交或异面，A不符合题意；如果𝑚⊥𝛼，𝑛⊥𝑚，那么𝑛//𝛼或𝑛⊂𝛼，B不符合题意；如果𝑚//𝛼，𝑚⊥𝑛，那么𝑛⊂𝛼或𝑛//𝛼或𝑛与𝛼相交，相交也不一定垂直，C不符合题意；如果𝑚⊥𝛼，𝑛⊂𝛼，那么𝑚⊥𝑛，D对．5/11

【分析】设正四棱锥的底面边长为a，高为h，由题意列方程组求出a和h，即可求出正四棱锥的体积.B【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【解答】由题意，𝐹(1，0)，设𝐴(𝑥1，𝑦1)，𝐵(𝑥2，𝑦2)，若直线𝐴𝐵的斜率存在，设为𝑘，则直线的方程为𝑦=𝑘(𝑥−1)，𝑦=𝑘(𝑥−1) 1联立 𝑦2=4𝑥 ，即𝑘2𝑥2−(2𝑘2+4)𝑥+𝑘2=0𝑦=𝑘(𝑥−1) 1又因为|𝐴𝐹|=𝑥1+1，|𝐵𝐹|=𝑥2+1，𝑥1>0，𝑥2>0，

【分析】利用已知条件结合构造法和求导的方法判断函数的单调性，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而比较出a，b，c的大小。则|𝐴𝐹|+4|𝐵𝐹|=

+1+

+1)=

+

+5=

1+4𝑥+5≥2√1

×

+5=9， 11 2 1

𝑥2

𝑥2

【答案】当且仅当𝑥1=4𝑥2=2时取等号.若直线𝐴𝐵的斜率不存在，则直线的方程为𝑥=1，则|𝐴𝐹|=|𝐵𝐹|=2，此时|𝐴𝐹|+4|𝐵𝐹|=10>9.

【知识点】数量积表示两个向量的夹角⃗，⃗

⃗|=1，⃗⋅⃗=1×1×1=1，【解析】

𝑏 |=|𝑏 2 2综上，|𝐴𝐹|+4|𝐵𝐹|的最小值为9。

⃗2

⃗ ⃗2

1 ，所以 ⃗ .故答案为：B.

=

−⃗⋅𝑏+

=1−2×2+1=

|𝑎−𝑏|=1【分析】由抛物线的标准方程求出焦点F的坐标，再利用分类讨论的方法设出直线方程，再设两交点坐标为𝐴(𝑥1，𝑦1)，𝐵(𝑥2，𝑦2)，联立二者方程结合韦达定理得出𝑥1𝑥2=1，再利用抛物线的定义得出|𝐴𝐹|=𝑥1+1，|𝐵𝐹|=𝑥2+1，𝑥1>0，𝑥2>0，再利用均值不等式求最值的方法和几何法求值域的方法，再结合比较法得出|𝐴𝐹|+4|𝐵𝐹|的最小值。D【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值

故答案为：1.【分析】结合已知条件由数量积的运算公式以及向量模的运算公式，整理化简计算出结果即可。【知识点】点到直线的距离公式；直线与圆相交的性质=2【解析【解答】已知圆心𝐶(2，0)，半径𝑟=1，圆心到直线的距离𝑑=|2−1| 1，=2√1+312𝑎=>0，𝑏=2

3

𝑎>0，由

𝑒=32 =3<1𝑎<𝑏，=32√𝑒

所以|𝐴𝐵|=2√𝑟2−𝑑2=2×√1−4故答案为：√3。

=√3。𝑥+1令ℎ(𝑥)=ln𝑥−2(𝑥−1，𝑥>1𝑥+1

，ℎ′(𝑥)=1− 4 𝑥 (𝑥+1)2

(𝑥−1)2>0𝑥(𝑥+1)2

【分析】利用已知条件结合圆的标准方程求出圆心坐标和半径长，再利用点到直线的距离公式得出𝑥+1𝑥+1则ℎ(𝑥)=ln𝑥−2(𝑥−1)，𝑥>1为增函数，又ℎ(1)=0，则ℎ(𝑥)>0恒成立，即𝑥>1时，ln𝑥>2(𝑥−1)恒成立，𝑥+1𝑥+1

圆心到直线的距离，再结合勾股定理结合弦长公式，进而得出A，B两点的距离。2【知识点】双曲线的简单性质则ln2>2(2−1)=2𝑐=2(1−ln2)<2

𝑎𝑏

𝑎𝑏 2+1 3 3

C𝑐𝑐=

×2𝑎，令𝑚(𝑥)=𝑒𝑥−𝑥−>0𝑚′(𝑥)=𝑒𝑥−1>恒成立，

所以𝑏2=𝑐2−𝑎2=3，所以𝑐2=4𝑎2，双曲线C的离心率𝑒=2．𝑐2 𝑐2 4则𝑚(𝑥)=𝑒𝑥−𝑥−>0𝑚(0)=𝑒0−0−1=0则𝑚(𝑥)>0恒成立，即𝑥>0时，𝑒𝑥>𝑥+1恒成立，

故答案为：2.则 1 1 3，𝑎=>3，𝑎=>3>2>2(1−ln2)=𝑐

【分析】根据题意由双曲线的简单性质，结合点到直线的距离公式，计算出c与a的关系，再由离心……… …… …… ………… …… …… …○ ○… …… …… …… …线 线… …… …… …… …○…………订…………○…………装…………○…………内…………○…………※※题※※答※※内※※线※※订※※装※※在※※要※※不※※请※※○…………订…………○…………装…………○…………外…………○…………综上所述，𝑐<𝑎<𝑏。故答案为：D

2 4 2 4 36/11

率公式由整体思想计算出结果即可。-2… …… …… …… …【知识点】余弦定理○ ○

故𝑃(𝑀)=12=4.… … … …

⃗⋅

=

⃗+

⃗)⋅

⃗+

⃗)=

⃗2+

⃗⋅

⃗+

⃗)+

⃗⋅

⃗𝐷

21 【知识点】众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率21 … … 的中点，𝐴𝐷=1

⃗⋅

=1−

⃗2

⃗.

⃗|=|=𝑥，𝐶=，𝐵=𝑐，

【解析】【分析】(1)利用频率分布直方图中所有矩形的面职之和为1可求得a的值，再将矩形直方图… …𝑥2+12−𝑐2

𝑥2+12−𝑏2 中每个矩形的底边的中点值乘以对应矩形的面积，相加可得出这100名学生成绩的平均值；线 线 则由余弦定理，cos∠𝐵𝐷𝐴=… … 2 2 2

2𝑥

，cos∠𝐶𝐷𝐴=

2𝑥

，因为∠𝐵𝐷𝐴+∠𝐶𝐷𝐴=180∘，故

(2)分析可知抽取的7人中，成绩在[50，60)内的有4人，成绩在[60，70)内的有3人，记成绩在+𝑥2+1−𝑐2 𝑥2+1−𝑏+… … 2𝑥 2𝑥

=0，即2𝑥2+2=𝑏2+𝑐2，又(2𝑥)2=𝑏2+𝑐2+𝑏𝑐≥3𝑏𝑐，故2𝑥2+2=

[50，60)内4位同学分别为𝑎、𝑏、𝑐、𝑑，成绩在[60，70)的3位同学分别为𝐴、𝐵、𝐶，列举出所有基… … 4𝑥2−𝑏𝑐2𝑥2=2+𝑏𝑐≤2+4𝑥2，此时𝑥2≤3，故

⃗⋅

=1−𝑥2≥−2，当且仅当𝑏=𝑐时取等… …○ _ ○

号.

3⃗⋅⃗的最小值为-2

本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率._… _ …

（1）

}的公差为d，因为𝑎1

，𝑎4

的等比中项为𝑎2

，所以𝑎1

𝑎4

=𝑎2．2_… _ ……：…号 …

因为𝑎1=2，所以2(2+3𝑑)=(2+𝑑)2．因为𝑑≠0，所以𝑑=2，所以数列{𝑎𝑛}是首项为2，公差为2的等差数列，故𝑎𝑛=2𝑛… 考 …

1 1 11 1订 _ 订

（2）解：因为𝑏𝑛=𝑎𝑛𝑎𝑛+1=4𝑛(𝑛+1)=4(𝑛−𝑛+1)，… _ …

1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1_… _ …_

故答案为：-2

所以𝑇=

𝑎1𝑎2

+𝑎2𝑎3

+⋯

𝑎2022𝑎2023

=4(1−

2+2−3

+⋯

2022−

2023)=

4(1

2023)=…… ： … 1.…级…班 【分析】…

⃗|=|=𝑥，𝐶=，𝐵=𝑐，依题意，

⃗⋅

=1−

⃗2

40463○ _ ○3… _ ……_…_ …

本不等式可得2𝑥2=2+𝑏𝑐≤2+

4𝑥2由此得出

⃗⋅的最小值.

【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；等比数列的性质【解析】【分析】(1)由已知条件结合等差数列和等比数列的通项公式，结合等比数列的项的性质整理… _ …

（1）∵5+2+5+𝑎+5+5=1，∴𝑎=0．

}为等差数列。… 名 …

∴这100名学生的成绩的平均值为

(2)由(1)的结论即可得出数列的通项公式，然后由裂项相消法即可得出数列前n项和。装 姓 装

（1）证明：在正三棱柱𝐴𝐵𝐶−

𝐵𝐶

中，𝐴𝐴

⊥平面ABC，又因为𝐶𝐷⊂平面… _ …_

45×0.05+55×0.20+65×0.15+75×0.30+85×0.25+95×0.05=71.5，

【答案】

111 1… _ …_… _ …_

因此，这100名学生成绩的平均值为71.5分.（2）解：设“抽取2人中恰好有1人成绩在[50，60)内”为事件𝑀．

ABC，所以𝐴𝐴1⊥𝐶𝐷．在正三角形ABC中，D为AB的中点，所以𝐴𝐵⊥𝐶𝐷，又因为𝐴𝐴1

∩𝐴𝐵=𝐴，𝐴𝐴1

，𝐴𝐵⊥平… ： …

面𝐴𝐵𝐵𝐴 ，○ 校 ○ 11…学 由题设可知，成绩[50，60)和[60，70)内的频率分别为0.20和0.15，……

所以𝐶𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐵1

，又因为𝐶𝐷⊂平面𝐴1

𝐶𝐷，所以平面𝐴1

𝐶𝐷⊥

𝐴1… …则抽取的7人中，成绩在[50

内的有4人，成绩在

内的有3人．

（2）解：由（1）可知，𝐶𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐵𝐴

，又因为𝐴1𝐷⊂平面𝐴𝐵𝐵𝐴

，所以𝐶𝐷⊥，60)… …… …

[60，70)

𝐴1𝐷1，

11 11记成绩在[50，60)内4位同学分别为𝑎、𝑏、𝑐、𝑑，成绩在[60，70)的3位同学分别为𝐴、𝐵、𝐶．外 内

在正三角形ABC中，𝐶𝐷=√3，在正三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，𝐴𝐴1⊥平面ABC，… … 72、𝑎𝑐、𝑎𝑑𝑎𝐴、𝑎𝐵𝑎𝐶、𝑏𝑐、… … 21

因为𝐴𝐷⊂平面ABC，所以𝐴𝐴1

⊥𝐴𝐷，所以𝐴1

𝐷=√10，因为

𝐴1−𝐴𝐶𝐷

=

𝐴−𝐴1𝐶𝐷，𝑏𝑑、𝑏𝐴𝑏𝐵、𝑏𝐶、𝑐𝑑𝑐𝐴、𝑐𝐵、𝑐𝐶𝑑𝐴、𝑑𝐵、𝑑𝐶𝐴𝐵、𝐴𝐶𝐵𝐶，共 种，

1𝑠 ⋅𝐴𝐴… … AACD的距离ℎ=

△𝐴𝐶𝐷 1=1×√3×3

3√10．31… … 𝑀、𝑎𝐵𝑎𝐶、𝑏𝐴、𝑏𝐵𝑏𝐶、𝑐𝐴、𝑐𝐵𝑐𝐶、31○ ○ 𝑑𝐴、𝑑𝐵𝑑𝐶12种，… … 7/11… …… ……

1𝑆△𝐴

𝐶𝐷 √3×√10 10【知识点】平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算（1）在正三棱柱𝐴𝐵𝐶−中，𝐴𝐴1⊥

（2）解：存在满足题意的直线𝑙.由题知直线𝑙的斜率存在，设𝑙的方程为𝑦=𝑘𝑥−1，𝑀(𝑥1

)，𝑁(𝑥1

………………○○……线线……○※○…※题……※……※答……订※※内…订…※※……线……※※……订※…○※○…装※……※在……※……※要…装…※※不装……※※……请……※※…出线线垂直，所以𝐴𝐴1

⊥𝐶𝐷ABC中，DAB的中点，所以𝐴𝐵⊥𝐶𝐷，再利用线

𝑦=𝑘𝑥−1线垂直证出线面垂直，所𝐴𝐵⊥平面𝐴𝐵𝐵𝐴 ，所以𝐶𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐵

，再利用线面垂直证出

联立𝑥2+𝑦2 ，整理(3+4𝑘2)𝑥2−8𝑘𝑥−8=0，11 1

4 3=1面面垂直，从而证出平面𝐴1𝐶𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐵1𝐴1。

𝑥+

= 8𝑘

𝑥𝑥 =− 8（2）由（1）可知，𝐶𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐵1

其中𝛥>0，1，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以𝐶𝐷⊥

2 3+4𝑘2，1

3+4𝑘2𝑦−3 𝑦−3𝐴𝐷

，在正三角形ABC中，𝐶𝐷=√3，在正三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴

𝐵

中，

⊥平面ABC，再利

=+𝑘𝑁𝑃0，即

1 2

2 2=0，11 111 1

𝑥1+1

𝑥2+1用线面垂直的定义证出线线垂直，所以𝐴𝐴1⊥𝐴𝐷，所以𝐴1𝐷=√10，再利用𝑉𝐴

−𝐴𝐶𝐷=

𝐶𝐷

化简得：2𝑘𝑥

+(𝑘−

+

)−5=0，1 1结合三棱锥的体积公式，进而得出点A到平面ACD的距离。（1）解：因为)=𝑥3+𝑥2+1，所以)=𝑥2+𝑥=𝑥+)．当𝑎=0时，𝑓′(𝑥)=6𝑥2≥0𝑓(𝑥)R上单调递增；

12 2 1 222即4𝑘2+12𝑘+5=0，解得𝑘=−1，或𝑘=−5.22当𝑘=−5时，直线𝑦=−5𝑥−1经过点𝑃，不满足题意，故舍去.2 21当𝑎>0时，令𝑓′(𝑥)=6𝑥(𝑥+𝑎)>0，解得𝑥>0或𝑥<−𝑎，则𝑓(𝑥)在(−∞−𝑎)，(0+∞)上单调递增，在)上单调递减；当𝑎<0𝑓′(𝑥)=6𝑥(𝑥+𝑎)>0，解得𝑥<0或𝑥>−𝑎，则𝑓(𝑥)在)，(−𝑎+∞)上单调递增，在(0−𝑎)上单调递减．（2）解：由（1）知，当𝑓′(𝑥)=0时，𝑥=0或𝑥=−𝑎．当0<−𝑎<2，即−2<𝑎<0时，

所以存在直线𝑙满足题意，其方程为𝑦=−2𝑥−1.【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题（1）0⊥标准方程求出a，b的值，再利用椭圆中a，b，c三者的关系式求出c圆定义知a的值，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式得出b的值，从而得出椭圆𝐶的标准方程。（2）存在满足题意的直线𝑙，由题知直线𝑙的斜率存在，设直线𝑙的斜截式方程为𝑦=𝑘𝑥−1，𝑓(𝑥)在[0−𝑎]上单调递减，在]上单调递增，

8𝑘

)，𝑁(𝑥1

8

)，再联立直线与椭圆方程结合判别式法和韦达定理得出𝛥>0，𝑥1

+𝑥2=○○……内外○○……内外……○○……

3+4𝑘

2，𝑥1𝑥2=

3+4𝑘

2

=∠𝑁𝑃𝐹1，得出𝑘𝑀𝑃+𝑘𝑁𝑃=0，再结合两点求斜率公式得出2 当−𝑎≥2，即𝑎≤−2时，𝑓(𝑥)在[0，2]上单调递减，此时𝑓(𝑥)在[0，2]上的最小值为𝑓(2)=17+12𝑎2

直线的斜率的值，当𝑘=−5时，直线𝑦=−5𝑥−1经过点𝑃，不满足题意，故舍去，从而得出存在满足题意的直线𝑙的方程。【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用

1 𝜌=2sin(𝜃+𝜋)，得 1

√3 .（1）求导可得𝑓′(𝑥)=6𝑥(𝑥+𝑎)-a，0f(x)的单调

）解：由

3 𝜌=2(2sin𝜃

2cos𝜃)性；（2）结合（1）中的单调性，讨论f(x)在[0，2]上的单调性，进而确定最小值．

两边同乘𝜌，即𝜌2=𝜌sin𝜃+√3𝜌cos𝜃.由𝑥=𝜌cos𝜃，𝑦=𝜌sin𝜃，得曲线𝐶的直角坐标方程为𝑥2+𝑦2−√3𝑥−𝑦=0（1）

⊥𝐹

，𝐹

(−1，0)，𝐹

(1，0)，𝑐=1，

𝑥=−1𝑡1 12 1 2

（2）解：将

2𝑦=2+

代入𝑥2+𝑦2−√3𝑥−𝑦=0，得𝑡2+2√3𝑡+2=0，𝑡……43由椭圆定义知2𝑎=|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|=4，即𝑎=2，又𝑏2=𝑎2−𝑐2=3，所以椭圆𝐶的标准方程为𝑥2+……438/11

𝑦2=1.

2设A，B对应的参数分别为𝑡1，𝑡2则𝑡1+𝑡2=−2√3，𝑡1𝑡2=2所以𝑡1<0，𝑡2<0.由参数𝑡的几何意义得|𝑀𝐴|+|𝑀𝐵|=|𝑡1+𝑡2|=2√3【知识点】参数的意义；参数方程化成普通方程【分析】(1)C的直角坐标方程；(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出|𝑀𝐴|+|𝑀𝐵|的值．（1）𝑥−|−𝑥−|≥𝑥−1，9 𝑥≤9 5当𝑥≤9

2时，不等式𝑓(𝑥)≥2𝑥−1化为

2−(2𝑥−9)+𝑥−5≥2𝑥−19<𝑥<5

，解得𝑥≤3；当2<𝑥<5时，不等𝑓(𝑥)≥2𝑥−1化为 2

，此不等式组无解；当𝑥≥5时，不等式𝑓(𝑥)≥2𝑥−1化为

2𝑥−9+𝑥−5≥2𝑥−1，此不等式组无解，𝑥≥5，此不等式组无解，2𝑥−9−𝑥+5≥2𝑥−13𝑓(𝑥)≥2𝑥−1(−∞5].3（2）解：∵𝑦=𝑓(𝑥)+3|𝑥−5|=|2𝑥−9|+|2𝑥−10|≥|(2𝑥−9)−(2𝑥−10)|=1，5 9当且仅当(2𝑥−9)(2𝑥−5)≤0，即2≤𝑥≤2时，等号成立，𝑎+𝑏∴函数的最小值为1，𝑚=1，∴1 𝑎+𝑏

=1(𝑎>0，𝑏>0)．1 3 3𝑎

3𝑏

3𝑎

3𝑏∴𝑎+3𝑏=(𝑎+3𝑏)(𝑎+𝑏)=𝑏+

𝑎+10≥2√

𝑏⋅

𝑎+10=16，………………○…………线…………○…………订…………○…………装…………○…………外…………○…………____………○…………线…………○…_ …：号考_____：级班_____：名姓____：校学……订…………○…………装…………○…………内…………○………当且仅当𝑎=𝑏=4时，等号成立，∴𝑎+3𝑏的最小值是16．【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；绝对值不等式；绝对值三角不等式(1)首先由绝对值的几何意义整理化简函数的解析式，再由不等式的解法求解出x取值范围，从而得出不等式的解集。(2)结合已知条件由绝对值三角不等式的解法，即可求出函数的最小值由已知条件即可求出m的取值。9/11分值分布客观题（占比）分值分布客观题（占比）75.0(46.9%)主观题（占比）85.0(53.1%)题量分布客观题（占比）主观题（占比）15(65.2%)8(34.8%)2

试题分析部分总分：160分

序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号1