《线段的垂直平分线》第1课时示范公开课PPT教学课件【八年级数学下册北师大版】

线段的垂直平分线第1课时北师大版八年级数学下册学习目标准备好了吗？一起去探索吧！线段的垂直平分线1.证明线段垂直平分线的性质定理，探索并证明线段垂直平分线的判定定理，进一步发展推理能力.2.能运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题.3.能用尺规做出已知线段的垂直平分线.4.经历探索、猜测、证明的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力.重点难点复习回顾线段的垂直平分线具有什么特征？

垂直且平分一条线段的直线是这条线段的垂直平分线.

如图，MN是线段AB的垂直平分线，交AB于点O，则MN⊥AB，且AO=OB.ABMNO等腰三角形顶角平分线有哪些性质？复习回顾

由等腰三角形三线合一的性质可得顶角平分线垂直底边，并且平分底边．

如图，在△ABC中，AB=AC

，∠BAC的平分线AD所在的直线即线段BC的垂直平分线．ABC∟D

我们曾经用上面折纸的办法得到：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.你能证明这一结论吗？试一试.合作探究BB′EFEFB(B′)

拿出准备好的纸，按照下图的样子进行对折，并比较对折之后的折痕EB和EB′，FB和FB′的关系.可以发现折痕EB=EB′，

FB=FB′.合作探究

已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是点C，且AC=BC，P是MN上的任意一点.

求证：PA=PB.

要证明PA=PB，只需证明△PCA≌△PCB.

注意：如果点P与点C重合，那么结论显然成立，因此证明过程中的点P与点C不重合.

要证明一个图形上每一点都具有某种性质，只需在图形上任取一点作代表.合作探究

已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是点C，且AC=BC，P是MN上的任意一点.

求证：PA=PB.证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90°.∵AC=BC，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）.∴PA=PB(全等三角形的对应边相等).归纳线段垂直平分线的性质定理

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.几何语言:

如图，直线MN⊥AB，垂足是点C，且AC=BC，P是MN上的点，则PA=PB.应用:

经常用来证明两条线段相等.

你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？如果是，请你证明它.

逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.真命题

运用转化的思想，先找到原命题的条件和结论，把命题写成“如果……那么……”的形式，然后再写出它的逆命题，最后再对命题的形式进行整理.想一想

已知：如图，

线段AB，PA=PB.

求证：点P在线段AB的垂直平分线上.

证明：∵过点P作直线MN⊥AB，垂足为点C，则PC是△PAB的高.

∵

PA=PB，∴△PAB是等腰三角形.∴PC是△PAB的中线(三线合一).∴AC=BC.∴直线MN是线段AB的垂直平分线.∴点P在线段AB的垂直平分线上.想一想ABPNCM归纳线段垂直平分线的判定定理：

到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

如图，线段AB，PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上(即PC⊥AB且AC=CB)．几何语言：ABPNCM应用:

经常用来证明点在直线上或直线经过某一点.典型例题AD

由已知AB=AC，OB=OC，结合线段垂直平分线的判定定理，可以分别证出点A和点O为线段BC垂直平分线上的点，从而证出结论.

例

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.

求证：直线AO垂直平分线段BC.典型例题AD

例

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.

求证：直线AO垂直平分线段BC.

证明：∵AB=AC，

∴点A在线段BC的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上).

同理，点O在线段BC的垂直平分线上.

∴直线AO是线段BC的垂直平分线(两点确定一条直线).你还有其他的证明方法吗？典型例题AD

方法2：可以用全等三角形证明:设AO交BC于点D，先依据基本事实SSS证明△ABO≌△ACO得到∠BAO=∠CAO，再证明△ABD≌△ACD，从而使问题得证.

例

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.

求证：直线AO垂直平分线段BC.D典型例题AD

例

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.

求证：直线AO垂直平分线段BC.

方法2：

证明：延长AO交BC于点D，

∵AB＝AC，AO＝AO，OB＝OC，

∴△ABO≌△ACO(SSS).∴∠BAO=∠CAO，

∵AB=AC，AD=AD，

∴△ABD≌△ACD(SAS).

∴BD＝CD，∠ADB=∠ADC=90°.

即直线AO垂直平分线段BC.D

对比一下哪种证明方法更好呢？AD

(1)用尺规做出线段AB的垂直平分线.

做一做已知:线段AB，如图.求作:线段AB的垂直平分线.作法:1.分别以点A和B为圆心，以大于线段AB长度的一半为半径作弧，两弧交于点C和D.CD2.作直线CD.则直线CD就是线段AB的垂直平分线.AB与线段AB的交点就是AB的中点,所以我们也用这种方法作线段的

(2)请你就尺规作线段AB的垂直平分线方法的正确性给出证明，并与同伴进行交流.

做一做

证明：

∵AC=BC

∴点C

在线段AB的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上).

同理，点D在线段AB的垂直平分线上.

∴直线CD是线段AB的垂直平分线(两点确定一条直线).CD注：CD与线段AB的交点就是AB的中点，所以我们也用这种方法作线段的中点.AB随堂练习1.如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一点，如果EC=7cm，那么ED=

cm；如果∠ECD=60°，那么∠EDC=

°.760EDABC2.如图，AC＝AD，BC＝BD，则有(

)A．AB垂直平分CD

B．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．以上都不正确随堂练习ACBDA3.如图，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分线DE分别交AB，AC于点E，D.(1)若△BCD的周长为8，求BC的长；(2)若BC＝4，求△BCD的周长．随堂练习

解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD.∴BD＋CD＝AD＋CD＝AC＝5.(1)∵△BCD的周长为8，∴BC＝△BCD的周长－(BD＋CD)＝8－5＝3.(2)∵BC＝4，∴△BCD的周长＝BC＋BD＋CD＝5＋4＝9.EDACB线段垂直平分线的判定定理：线段的垂直平分线线段垂直平分线的性质定理：

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.几何语言:

如图，直线MN⊥AB，垂足是点