几何与代数历年真题

01-02学年第二学期

几何与代数期终考试试卷

一（30%）填空题:

1.设。=(1,2),力=(1,—1),则。夕,；a，/3==；（a。00

120、234、

2.设矩阵A031，B056,则行列式|AB[=

130>007,

3.若向量组%线性无关，则当参数上____时，%一二2，%。2一。3，二3一，也线性无关;

’1111、

0111

4.矩阵A的伴随矩阵A*=

0011

,00017

5.设矩阵A及A+E均可逆，则G=E—（A+E）T,且

6.与向量Q=（1,0,1）,a=（1』,1）均正交的单位向量为

7.四点7(1,1,1),5(1,1,x),C(2,l,l),0(2,y,3)共面的充要条件为

8.设实二次型/（七,工2，工3）=X；+叱+工；+2々工3，则当左满足条件.・时，/（西,々,工3）=1是椭

球面；当&满足条件时，/（斗,々,七）=1是柱面。

Z=「一3绕z-轴旋转所产生的旋转曲面,叼为以巧与平面%：X+y+Z=1的

（8%）记再为由曲线

x=0

交线为准线，母线平行于Z-轴的柱面。试给出曲面可及陶方程，并画出多被巧所截有界部分在

x-y平面上的投影区域的草图（应标明区域边界与坐标轴的交点）。

x+2y-z2且与x-y平面垂直的平面方程.

（8%）求经过直线《

-x+y-2z

四（12%）求矩阵方程M4=2X+B的解,其中,

311、

"-101

A010,B

.32-1

003

7

五（12%）设线性方程组

X]+x2+x3+x4=0

=2

玉+3X2+5X3+5X4

-X?+P%一=q

3占+2X2+(p+3)z=-i

1.问：当参数p,q满足什么条件时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？

2.当方程组有无穷多解时，求出其通解。

‘1111、

六（12%）设矩阵A=3-120,已知秩（A）=2。

J-3k-2,

1.求参数上的值；

2.求一4x2矩阵战得日就8=0,（B）=2;

3.问：是否存在秩大于2的矩阵〃使得AM=。？为什么？

七（12%）设实对称矩阵

gonp、

A=0k0与曲域I/

Joo）Ib

1.求参数上』的值：

2.求一正交阵。，使得0AQ=B.

八（6%）已知”阶方阵A相似于对角阵，并且，A的特征向量均是矩阵8的特征向量。证明：AB=BA。

02-03学年第二学期

几何与代数期终考试试卷

一.填空题、单选题(每小题3分，共36分)

’23OY1

2.11o

02,

3.若A是正交矩阵，则行列式卜

4.空间四点41,1,1),B(2,3,4),C(1,2,Q,£>(—1,4,9)共面的充要条件是Z=

5.点P(2,-1,1)到直线/：王」=>1=工的距离为；

2-21

6.若4阶方阵A的秩为2,则伴随矩阵A*的秩为_；

(\~2\

7.若可逆矩阵P使=B=,则方阵A的特征多项式为；

I。3)一

8.若3阶方阵A使/—A,2/-A,A+3/都不可逆，则A与对角阵相似(其中，/是3阶单位阵);

‘011、

9.若A=x1y与对角阵相合，贝ij(x,y)=

J-20,

10.设A=(4,4,4，AJ,其中列向量4,4,4线性无关，A3=2A,-A2+A4,则齐次线性方程组

Ax=Q的一个基础解系是一；

11.设A,8都是3阶方阵，AB=O,“A)—«5)=2,则+()

(A)5；(B)4；(03；(D)2

12.设n阶矩阵4满足A?=2A,则以下结论中未必成立的是()

(A)A-/可逆，且(A—/)T=A-/；

(B)A=。或A=2/；

(C)若2不是4的特征值，则A=。；

(D)间=0或4=2/。

--计算题（每小题8分，共24分）

2015

1

1

3012

14.求直线/X:—2厂=V、—1一=7工+1厂在平面乃：x+y—2z+l=0上的垂宜投影直线方程.

「1021、

15.设X4=A8+X,其中A=020,8=0,求乂9:

、T。1Ib

三.计算题、解答题（三小题共32分）

16.设向量组

丫=〃4,。2，4）是%，。2，。3生成的空间.已知维"）=2,/?eV.

（1）求；

（2）求V的一个基，并求/?在此基下的坐标；

（3）求V的一个标准正交基.

17.用正交变换化简二次曲面方程

X；+x；-4X,X2-2xtx3-2X2X3-1

求出正交变换和标准形）并指出曲面类型.

18.设。为由yoz平面中的直线z=0,直线z=y,（yN0）及抛物线y+z?=2围成的平面区域.将。

绕y轴旋转一周得旋转体Q.（1）画出平面区域。的图形；（2）分别写出围成。的两块曲面$2

的方程；（3）求5，邑的交线/在zox平面上的投影曲线。的方程；（4）画出S3S2和/，。的图

形.

四.证明题、解答题（每小题4分，共8分）

19.设"是线性方程组4x=b的一个解，b¥0,配$是导出组"=0的基础解系.证明：

+〃,$+〃线性无关.

20.设a是3维非零实列向量，=5LA=aaT.(1)求4的秩；(2)求A的全部特征值;

(3)问A是否与对角阵相似？(4)求卜―43卜

03-04学年第二学期

几何与代数期终考试试卷

—.(24%)填空题

1.若向量8=7+4]一工，^=hi+J+k,/=Z共面，则参数满足.

2.过点P(l,2,l)且包含X轴的平面方程为.

3.已知矩阵A满足A?+2A—3/=。，则A的逆矩阵A"=.

4•设矩阵3(,TB=[o5：]，则行列式|设丁[=--------

J3oj1007,

5.设向量组a=2c=\2\a=k9贝汁当人一时，/，%，%线性相关.

6.向量空间/?2中向量〃=(2,3)在/?2的基&=(1,1),夕=(0,1)下的坐标为L

7.满足下述三个条件的一个向量组为,这三个条件是：①匕是线性无关的；②其中的每个向量

均与向量a=(l21)正交；③凡与。正交的向量均可由它们线性表示.

8.已知2x2矩阵A=卜口，若对任意2维列向量〃有〃'Az;=0,则a/,c,d满足条件_____.

[bd)

'0-20、

(12%)假设矩阵A,8满足A—8=A8,其中A=1-20.求8.

、T20,

三.(15%)设向量臼=(a210)r,

«2=(-215丫，&3=(一124)丁，夕=(1bc)T.问：当参数a,。,C满足什么条件时

1.，能用火,。2，。3唯一线性表示？

2.〃不能用%,%，。3线性表示？

3.，能用线性表示，但表示法不唯一？求这时£用%,。2，%线性表示的一般表达式・

四.(8%)设实二次型

/(x,y,z)-x2+y2+z2+2axy+layz

问：实数。满足什么条件时，方程/(x,y,z)=l表示直角坐标系中的椭球面？

五.(12%)设3阶方阵A的特征值为2,-2,1,矩阵B=aA3—4aA+/。

1.求参数。的值，使得矩阵8不可逆：

2.问：矩阵5是否相似于对角阵？请说明你的理由.

六.(12%)已知二次曲面5的方程为：

Z=3/+y2,S2的方程为：Z=l-x2o

1.问：S1,S2分别是哪种类型的二次曲面？

2.求M与$2的交线在xOy平面上的投影曲线方程；

3.画出由加及§2所围成的立体的草图.

(11}(-11)

七.(10%)假设3x3实对称矩阵A的秩为2,并且AB=C,其中B=00，c=00。求A

CJUL

的所有特征值及相应的特征向量；并求矩阵A及4溺9.

八.(7%)证明题：

1.设7,…,7是齐次线性方程组Ax=6的线性无关的解向量，，不是其解向量。证明：

尸，/+7，£+%，…也线性无关.

2.设A是〃阶正定矩阵，证明：+

04-05学年第二学期

几何与代数期终考试试卷

一、(24%)填空题

1.以A(l,l,2),5(-2,-1,1),C(—1,1,—1)为顶点的三角形的面积为

2.设3阶矩阵A=(',4,。3)，6=(a2+&3，囚一2a3，，)。若A的行列式|A|=3,则8的行列式

年---------；

3.若向量a=(1,0,1),>0=(2,1,-1),7=(-1,1«)共面，则参数人=

(1

4.若A为〃阶方阵，则方阵3=,的逆矩阵51=

21)

5.已知向量/”是矩阵1r

o1的特征向量，则参数。=,相应的特征值等于—

22,

3、

6.假设矩阵4=(1叫，则在实矩阵B=I中，

(00J(10,

与A相抵的有；与A相似的有:与4相合的有

12x1

X\XX

(8%)计算行列式

XX\X

XXX\

三、(10%)假设

’200、

(\2—1、

A=110B=12-10；

J02,

求矩阵方程3X=B+X4的解.

四、(14%)假设矩阵

1.已知齐次线性方程组Ax=。的基础解系中有两个线性无关的解向量.试确定这时参数X的值，并求

这时Ax=6的一个基础解系.

2.若在非齐次线性方程组Ar=6的解集中，存在两个线性无关的解向量，但不存在更多的线性无关的

解向量，试确定这时参数2及。的值，并求Ax=匕的通解.

五、（10%）已知直线/过点与平面乃：x+y—z=l平行，且与直线九-=^-=—相

交。求直线/的方向向量，并写出直线/的方程.

六、（10%）假设二次曲面多的方程为：龙2+4>2=27；平面万2的方程为：x=z-l.

1.巧与巧的交线向孙平面作投影所得的投影曲线I的方程为—

2.该投影曲线绕％轴旋转所得的旋转曲面左的方程为；

3.在坐标系中画出投影曲线/的草图（请给坐标轴标上名称）；

4.在坐标系中画出可与巧所围成的立体的草图（请给坐标轴标上名称）.

七、（14%）设二次型

/(xpx2,x3)———x；+2x；—Xj+2kx、Xj

I.试就参数%不同的取值范围，讨论二次曲面/（%,々,X3）=1的类型；

2.假设人>0.若经正交变换X=Qy,/（和々,鼻）可以化成标准形2y；+2），；—4y；,求参数人及一

个合适的正交矩阵Q.

八、（10%）证明题

1.假设一维向量=aa{+ha2，P2=cax+da2。若仇,0?线性无关，证明:%,%线性无关，并且，

ab

行列式。0。

cd

2.假设A,8都是〃阶实对称矩阵，并且，A的特征值均大于。，8的特征值均大于〃，证明：A+6

的特征值均大于〃+0。

05-06学年第二学期

几何与代数期终考试试卷

一.（24%）填空题

1.直角坐标系中向量a=（1,1,2）与/=（1,0,1）的向量积为；

2.过点P（l,0,l）且与直线|=三」=y垂直的平面的方程为；

3-设。0则尸0叱=（）

4.若3x3矩阵A的秩为2,a„a2,a3是线性方程组Ax^b的解向量，并且

4=（2,3,4），,%+%=（2,4,6），,则线性方程组Ax=b的通解是；

5.设a是“5>1）维列向量，则”阶方阵A=a/的行列式⑶的值为；

6.设A是3x3矩阵，若矩阵/+42/—42/—34均不可逆，则行列式|A卜；

7.若3是〃x〃矩阵A的特征值,恒|=2,4*是4的伴随矩阵，则矩阵A*的一特征值为；

8.若/+2y2+?+2kxz=1表示一单叶双曲面，则左满足条件o

,求求「IBi以及矩阵X,使卜小X=C式

@0-1J11-b

中的。均指相应的零矩阵。

.三（10%）设向量组%线性无关，问：参数/，机满足什么条件时，向量组a}+la2,a2+may,

a,+%也线性无关？

四（14%）已知空间直角坐标系中三平面的方程分别为：

/:x+y+2z=1,

7r2:x+Ay+z-2,

%：/lx+y+z=l+2

1.问：当2取何值时这三个平面交于一点？交于一直线？没有公共交点？

2.当它们交于一直线时、求直线的方程。

'-100、

五（12%）已知3x3矩阵4=—a2a+3有一个二重特征值。

、一。一30。+2,

1.试求参数a的值，并讨论矩阵A是否相似于对角阵。

2.如果A相似于对角阵，求可逆矩阵尸，使得=A是对角阵。

(An\

六(10%)假设A,8是实对称矩阵。证明：分块矩阵”=是正定矩阵的充分必要条件

I。BJ

是A,8都是正定矩阵。

七(8%)由与平面z=-l及点朋(0,0,1)等距离运动的动点尸(x,y,z)所生成的曲面记为多，将yOz平面

上曲线4)以Z轴为旋转轴所生成的旋转曲面记为万2。则：

x=0

1.%的方程是：:町的方程是：；

2.%与12的交线在xOy平面上的投影曲线方程是：；

3.在坐标系中画出由这两个曲面所围成的有限立体的简图.

八(10%)证明题：

1.若2x2实矩阵4的行列式|A|<0,证明：A必定相似于对角阵.

2.假设〃x〃实对称矩阵A的特征值为4,4,…,4，。是A的属于特征值4单位特征向量，矩阵

B=A-\aar.证明：8的特征值为0,为…，4”.

06-07第二学期

几何代数期终考试试卷

（30%）填空题（/表示单位矩阵）

1.向量£=（1,0,-1）,夕=（一1,1,0），7=（1,1,女）共面时参数k的值为,此时，与这三个向量

都正交的一个单位向量是.

2.向量组

的秩等于—，这个向量组的一-极大线性无关组是

3.,则参数t的值为—:

4.二次型/（苍乂z）=/+2z2+2盯的正、负惯性指数分别为一，下列图形中，能表示二次曲面

/（X,y,Z）=l的图形的标号为

(A)B)

(C)(D)

7=

5.由曲线＜绕Z-轴旋转所产生的旋转曲面方程为

y=（）

11

6.若向量组内与向量组片等价，则参数4,。必定满足条件

a2血:

13、c00、

7.