量子力学试题VIP

量子力学试题(一)及答案一.(20分)质量为m的粒子，在一维无限深势阱中213223nn(2)求t>0时的波函数v(x,t)及能量的可测值与相应的取值几率"22Enn3,…manaa(1)首先，将v(x,0)归一化。由=131132133WE6;能量取其它值的几率皆为零。W(E)=4;(2)因为哈密顿算符不显含时间，故t>0时的波函数为| ()i| ()i|v(x,t)=6Q(x)exp(|_iEt)|+4Q(x)exp(|_iEt)|+131(i1)132(i2)3Q(x)exp(|_iEt)|133(i3)二.(20分)质量为m的粒子在一维势阱中运动(V>0)，若已知该粒子在此势阱中有一个能量E=_V0的状态，试确定02此势阱的宽度a。V解：对于E=_0<0的情况，三个区域中的波函数分别为V2iia=iv(a)=v(a)23kka1当E=_V时，由于20(0(0i0ivnvpvq (4)mVvnvpvq (4)mV故4(4)若算符Aˆ的矩阵元为A=vAˆv，证明mnmn(1)对于任意一个态矢v，有Hˆvvv_vvHˆv=mn故故mn(3)算符的迹为kkxxvvkmvvnkvvnkk (4)算符而AQAQxQQQAˆQ=pqpqpkkq2i于均匀外磁场B=Bk中，设t=0时，粒子处于s=的状态，0x2(1)求出t>0时的波函数；(2)求出t>0时与的可测值及相应的取值几率。xz0z2zz的本征解为1E=-O,21Q=-2z2v(0)=+xx+=1[++-]x2-=1[+--]x2v(t)=1++1-2(i1)2(i2) zz变，换句话说，只要计算t=0时s的取值几率就知道了t>0时s的取值几率。zzz而s的取值几率为x (x2)x (x2)2与原子核的库仑相互作用为r当核电荷变为(Z+1)e时，相互作用能增加Wˆ=-e2，试用微扰论计算它对能量r0nlmi2i式中，a=为玻尔半径。r1E(1)=nlmWnlm=e2nlnlnr1T=V2E=T+V=V=nlnln22r12EZe2EenlEenlnrZn2a0EEnn000EZeZeZee2nnanan2a2n2a00000量子力学试题(二)及答案?(,0)=Cv1()+v2()+v3()pe1E=-En2i2n2nlmnllmC=(|1+1+1)|-=3 (232)2?(,t)=3v()exp(|-iEt)|+1v()exp(|-iEt)|+3v()exp(|-iEt)|81(i1)22(i2)83(i3)式中，V>0。导出能量本征值满足的超越方程，进而求出使得体系至少存在0一个束缚态的V值。0k;mk;a=在v(a)=v(a)v(a)=v(a)23得到Asin(ka+n爪)=Bexp(_aa)Akcos(ka+n爪)=_Baexp(_aa)ktanka=_kankakaka0k=00ka>ka00sin(ka)几a几ka=2AV0i0符为2m2(dx)2m2dp22m2(dx)2m2dp2由于动量的本征函数为6(p-p')，故哈密顿算符的矩阵元为1四、(20分)设两个自旋为非全同粒子构成的体系，哈密顿量2解：体系的哈密顿算符为12212是对角矩阵，即 ||||1[+-+-+]2444 ||||1[+-+-+]2444CH=i24010000100)00-0-3)|E=E1E=E2Ci2，4Ci2，4=1-1=--23=00=1[+---+]2v(0)=-+v(0)=-+=2(i)]-exp|(-iE4)|(i)]1[+-+-+]exp(|-iCit)|-1[+---+]exp(|3iCit)|2(4)2(4)z粒子1处于轴负方向的几率为W(|s=-i,t)|=--v(t)2+-+v(t)2= (1z2)z而粒子2处于轴负方向的几率为==2+_v(t)2= (2z2)W(|s=_i2+_v(t)2= (2z2)n(1)利用费曼－海尔曼定理求出严格的能量本征值。n又知在任何束缚态n下，均有ndxn=1n[x,Hˆ]n=1nxHˆ_Hˆxn=0dtiiiinn=_a的微分方程E入E=_=_ii0n最后，得到Hˆ的本征值为E=E0-nn已知Hˆ满足的本征方程为00n由ii0山ii0山iinmmnk入pE(1)=Wpkkkxxiixknnk=E(knnk=kE0-E0knkkniiknnkE0-EnkkniiknnkE0-E0kn=-(E0-=-2nknk2kkknnkiiknknnkiinknkkkknnkiiknknnkiinknknnnii函数k，有(xp)=1iikk2x(E2x(E22=2山kk量子力学试题(三)及答案其中，Q(x)为该氢原子的第n个能量本征态。求能量及自旋z分量的取值概率nt知氢原子的本征值为n22n2(2)(2)(3)(3)7273|(4)_4Q(x)|717273|(4)_4Q(x)|71)E,E,E，相应的取值几率为172737 自旋z分量的可能取值为,-，相应的取值几率为22727(2)14727(2)14 二.(20分)质量为m的粒子在如下一维势阱中运动(V>0)0x>a若已知该粒子在此势阱中有一个能量若已知该粒子在此势阱中有一个能量E=-0的状态，试确定此势阱的宽度a。2解对于-V<E<0的情况，三个区域中的波函数分别为0|lv3(x)=Bexp(-ax)kv(a)=v(a)23(1) (4)mV (4)mVtan(ka)=-ka当E=-1V时，由于20(6)故00(5)mV0a=n"-"4(7)a=|n-a=|n-|(8)证明对x分量有yzzyxxnnvp=vnnpnnnvp=vp=pnv*=n-w-w-wkkkxmnmkxknkkk(x)=dxv*(x)xv(x)=xmnmxn-w-wmxn-w-wdxv*(x)xdx'6(x'-x)v(x'-w-wmx'ndxv*(dxv*(x)xdx'xv*(x')v(x)v(x')=mkkx'nxdxv*(x)xv(x)dxv'*(x')v(x')=mkkx'nxk()-wmkxknkzxyzzxyzz有(100)=|000|()100zzv(|0)|zz z xyx2+-=1(-)y2i+-而土xyxyxy xxxx1,01,-1=1,11,0=-iyy21,-11,0=1,01,1=iyy2xy-i0i(00)-i0i(00)10)-i|i (|i (0xy2|22 3ii203ii20i3(16)2|(i)|i22相应的久期方程为|i -i0i(c)1c|-i0i(c)1c|||(8)2 (c)-(8)2 (c)ii-0-2ii(9)ii(9)-ii22(10)(10)123，得到相应的本征矢为(-i)(-i)v2|;L满足的本征方程为x1(1)(i)v2(1)(i)v2=|0|;v3=|2|(12)(13)02=02