函数的表示法(要用)

函数的表示法(要用)第一页，共62页。1.2

函数及其表示1.2.2函数的表示法第二页，共62页。复习回顾函数的表示法，常用的有三种：解析法、列表法、图象法。解析法：把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析式。解析式只表示一种对应关系，与所取的字母无关。

例如：y=2x–

1与u=2t-1表示同一个函数。函数解析式一定是方程；方程不一定是函数解析式。一次函数：y=kx+b

（k≠0）二次函数：y=ax2+bx+c

（a≠0）可看成关于x、y的方程。例如：x2+y2=1第三页，共62页。复习回顾(1)炮弹发射（解析法）h=130t-5t2

（0≤t≤26）(2)南极臭氧层空洞（图象法）(3)恩格尔系数(列表法)时间19911992199319941995199619971998199920002001恩格尔系数(%)53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.237.9第四页，共62页。函数的表示法1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.解析式优点：函数关系清楚,容易从自变量的值求出其对应的函数值.便于用解析式来研究函数的性质.第五页，共62页。函数的表示法2、图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.优点：能直观地表示出函数的变化情况。注意：图象法是今后利用数形结合思想解题的基础。第六页，共62页。图象法：思考：初中画函数图象主要用什么方法？利用此法画图的主要步骤如何？初中画函数图象的主要方法是描点法。按描点法画函数图象的主要步骤有：（1）确定自变量x

的取值范围，对函数图象的整体性质有个把握；（2）列表：选取一些典型的点，将x与y的对应值用表列出；（3）描点：将表中点在直角坐标系中描出；（4）连线：用平滑直线或曲线依次连接各点。例如：一次函数图象：一条直线——两点确定一条直线——找两个典型的点——通常找与坐标轴的交点。二次函数图象：抛物线——开口方向，对称轴，顶点，与坐标轴交点。第七页，共62页。判断一个图形是否是函数图象：判断下列图象，哪些可以表示函数图象？xyOxyOxOxOyyABCD

平行于y轴（也即垂直于x轴）的直线，与函数图象至多有一个交点。-11第八页，共62页。函数的表示法3.列表法:

列出表格来表示两个变量之间的对应关系.优点：不必通过运算就知道当自变量取某些值时函数的对应值.时间(年)19911992199319941995199619971998199920002001恩格尔系数(%)53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.237.9“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况缺点：经常不可能把所有的对应值列入数表中，而只能达到实际上够用的程度。第九页，共62页。函数的表示法解:(1)用解析法可将函数y=f(x)表示为y=5x,(2)用列表法可将函数表示为笔记本数x12345

钱数y510152025例1、某种笔记本的单价是5元,买x(x∈{1,2,3,4,5})

个笔记本需要y元.试用函数的三种表示法表示函数y=f(x).第十页，共62页。函数的表示法xyo51015202512345(3)用图象法可将函数表示为下图第十一页，共62页。(1)用解析法表示函数是否一定要写出自变量的取值范围？(2)用描点法画函数图象的一般步骤是什么？本题中的图象为什么不是一条直线？

函数的定义域是函数存在的前提,在写函数解析式的时候,一定要写出函数的定义域.

列表、描点、连线(视其定义域决定是否连线).

函数的图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等.想一想第十二页，共62页。函数的表示法例2.下表是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表.第一次第二次第三次第三次第五次第六次王伟988791928895张城907688758680赵磊686573727582班级平均分88.278.385.480.375.782.6

表格能否直观地分析出三位同学成绩高低?如何才能更好的比较三个人的成绩高低?请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析。第十三页，共62页。函数的表示法解：将“成绩”与“测试时间”之间的关系用函数图象表示出来。可以看出：王伟同学学习情况稳定且成绩优秀；张城同学的成绩在班级平均水平上下波动,且波动幅度较大;赵磊同学的成绩低于班级平均水平,但成绩在稳步提高.123456060708090100......▲▲▲▲▲▲■■■■■♦♦♦♦♦♦xy王伟■张城班平均分赵磊第十四页，共62页。函数的表示法练习.向高为H的水瓶中注水,注满为止,如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示,那么水瓶的形状是()B第十五页，共62页。分段函数解:由绝对值的意义,知例3.画出函数的图象.图像如下xyoxyo1函数图像变换专题y=|x-1|第十六页，共62页。

比较例3的做图方法与例1、例2有何不同？

例1、例2采用的是描点法;

例3可借助于已知函数画图象.

描点法一般适用于那些复杂的函数,而对于一些结构比较简单的函数,则通常借助于一些基本函数的图象来变换.想一想第十七页，共62页。分段函数例4．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：

(1)5公里以内(含5公里),票价2元；

(2)5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足5公里按5公里计算)．如果某条线路的总里程为20公里,请根据题意,写出票价y与里程x之间的函数解析式,并画出函数的图象．

解:设票价为y元,里程为x公里,由题意可知,自变量的取值范围是(0,20］,由票价制定规则,可得到以下函数解析式：第十八页，共62页。分段函数解:函数解析式为y5x10152012345O

有些函数在它的定义域中，对于自变量的不同取值范围，对应关系不同，这种函数通常称为分段函数．2，3，4，5,y0<x≤5=ìïïíïïî5<x≤1010<x≤1515<x≤20第十九页，共62页。分段函数里程x(km)票价y(元)2345问：此函数能用列表法表示吗？此分段函数的定义域为此分段函数的值域为③每段上的函数解析式是怎样求出的？①自变量的范围是怎样得到的？②自变量的范围为什么分成了四个区间？区间端点是怎样确定的？第二十页，共62页。作函数图象：作出下列函数的图象，并求函数的值域：①y

=|1-x|

②y

=

x2+1

（x≥0）

-2x

（x＜0）③y

=x-n

（n∈Z，且-2≤n≤1，x∈[n,n+1)）第二十一页，共62页。作函数图象：①y

=|1-x|

①解：y

=|1-x|=函数的值域是[0,+∞）

x-1（x≥1）

1-x

（x＜1）|x-1|=xyO43211234第二十二页，共62页。作函数图象：①解：函数的值域是（0,+∞）

xyO43211234②y

=

x2+1

（x≥0）

-2x

（x＜0）-3-2-15分段函数的值域求法：分别把每段函数的值域求出，再取它们的并集。第二十三页，共62页。作函数图象：③解：函数的定义域是[-2,2）

xyO2112-2-1③y

=x-n

（n∈Z，且-2≤n≤1，x∈[n,n+1)函数的值域是[0,1）

y

=

x+2∵

n∈Z，且-2≤n≤1∴

n=-2，-1，0，1x+1xx-1

（n=-2，-2≤x＜-1）

（n=-1，-1≤x＜0）

（n=0，0≤x＜1）

（n=1，1≤x＜2）

第二十四页，共62页。分段函数注意：

1、有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应关系不同，这种函数通常称为分段函数。

分段函数的表达式虽然不止一个，但它不是几个函数，而是一个函数。

2、分段函数的定义域是各段“定义域”的并集，值域是各段“值域”的并集。

3、函数图象不一定是光滑曲线（直线），还可以是一些孤立的点、一些线段、一段曲线等。第二十五页，共62页。分段函数1.已知函数若f(x)=3,则x的值是……………().A.1B.

C.

D.

D

分段函数是一个函数,不要把它误认为是“几个函数”。【定义域】？【值域】？第二十六页，共62页。分段函数解：由题意知y=|x+5|+|x

－1|当x≤－5时，y=－(x+5)－(x

－1)=－2x－4当－5＜x

≤1时，y=(x+5)－(x

－1)=6当

x＞1时，y=(x+5)+(x－1)=2x+4xyo－5162.化简函数【定义域】？【值域】？第二十七页，共62页。分段函数3．（浙江13）已知f(x)=,则不等式

x+(x+2)·f(x+2)≤5的解集是__________.小结：采取分类的方法，利用已知分段函数，把 所求不等式化为分段的几个不等式，然后 取不等式解集的并集。第二十八页，共62页。分段函数4.（上海）函数，的值域是

。小结：采取分类的方法，利用已知分段函数，把各段的值域求出来，再取它们的并集；或把所求函数的值域转化成画函数图象，然后根据函数图象找到函数的值域。第二十九页，共62页。课堂小结1.理解函数的三种表示法及其各自的优点；3.分段函数的表示方法及其图象的画法.2.通过例1,2,3,掌握描点法和利用已知函数作图的方法、步骤，体会函数的图象(数形结合)在解决数学问题时的直观效果.第三十页，共62页。作业补充作业：

求函数y=|2x+1|+|x

－2|值域教材P24习题1.2A组T1,4,5；T7,9；

B组T4第三十一页，共62页。映射第三十二页，共62页。复习回顾：函数的概念：设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B

为从集合A到集合B的一个函数，记作

y=f（x），x∈A

其中，x

叫做自变量，x

的取值范围A

叫做函数的定义域，与x

的值相对应的y

的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x

A}叫做函数的值域。第三十三页，共62页。复习回顾：如果将函数定义中的两个集合从非空数集扩展到任意元素的集合，我们就可以得到映射的概念。

例如：①对任意实数a，数轴上都有唯一的一个点和它对应；②坐标平面内的任意一个点A，都有唯一的一个有序实数对（x，y）和它对应；③任何一个三角形，都有唯一一个确定的面积和它对应；④我们班的每一个学生都有唯一一个学号和他(她)对应。第三十四页，共62页。映射：

定义：设A，B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作

f:AB.第三十五页，共62页。映射：例1、从集合A到集合B

的映射：（1）设A

={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，集合A中的元素x

按照对应法则“乘2加1”和集合B中的元素2x

+1对应.（2）设A

=N*,B

={0，1},集合A中的元素x

按照对应法则“x

除以2得的余数”和集合B中的元素对应.（3）设A={x|x

是三角形}，B={y|y>0}，集合A中的元素x

按照对应关系“计算面积”和集合B

中的元素对应.第三十六页，共62页。象与原象：

定义：给定一个集合

A到集合

B的映射，且

a

A，b

B，如果元素

a

和元素

b

对应，那么，我们就把元素

b叫做元素a

的象，元素

a

叫做元素

b

的原象.123123456AB乘以2

例如，右图就表示一个集合A到集合B的映射，对应法则是“乘以2”，集合B中的4是集合A中的2的象，集合A中的2是集合B中的4的原象.第三十七页，共62页。概念的理解：①集合A、B，可以是数集，也可以是点集或其他集合。②存在性和唯一性：集合A中的元素一定有象，且唯一。集合B中的元素未必有原象，即使有也未必唯一。③封闭性：集合A的任一元素的象必在B中，但不要求B中的每一个元素都有原象。即A中元素的象集是B的子集。

定义：设A，B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作f:AB.第三十八页，共62页。概念的理解：④有序性：映射是有方向的。“A到B的映射”与“B到A的映射”一般不是同一个映射。⑤映射三要素：集合A，B，以及对应法则f

⑥一对一、多对一的对应是映射，一对多的对应不是映射。

定义：设A，B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作f:AB.思考：如果从对应来说，什么样的对应才是一个映射？思考：函数与映射之间的异同点？映射是函数的推广，函数是特殊的映射。第三十九页，共62页。（1）函数是特殊的映射，是数集到数集的映射．函数建立在两个非空数集上的特殊对应映射建立在两个任意集合上的特殊对应扩展（2）映射是函数概念的扩展，映射不一定是函数．（3）映射与函数都是特殊的对应1.可以是“一对一”2.可以是“多对一”3.不能“一对多”4.A中不能有剩余元素5.B中可以有剩余元素思考：映射与函数有什么区别与联系？第四十页，共62页。小结映射与函数的相同点和不同点（1）相同点：①函数与映射都是两个集合中的元素的对应；②函数与映射分别都有三个要素；③函数映射的对应都具有方向性；④函数中的两个集合与映射中两个集合都是非空的；⑤对应类型只有：一对一，或多对一（2）不同点：①函数是一种特殊的映射，映射是函数的扩展；②函数中的两个集合是非空的数集，映射中的两个集合的元素是任意的。第四十一页，共62页。练习巩固：映射的判断:判断集合A到集合B的对应是否是映射看A中的每一个元素在B中求映射下的象与原象：例：已知集合A=N，B=R，f：x→y=，x∈A，y∈B。在f的作用下，的原象是多少？8的象是多少？可以构成映射的个数：如果有限集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从A到B可以构成nm个映射。①是否有象②象是否唯一第四十二页，共62页。练习巩固b1b2b3a1a3a2a4

a1a3a2a4b1b2b3b4

a1a3a2a4b1b2b3b4

(1)(2)(3)24-1048-2001-12-20123(4)(5)是不是不是是是例1.下面7个对应,其中哪些是集合Ａ到Ｂ的映射?第四十三页，共62页。练习巩固：1、给出下列关于从集合A到集合B的映射的论述，其中正确的有_________．（1）B中任何一个元素在A中必有原象;

（2）A中不同元素在B中的象也不同;

（3）A中任何一个元素在B中的象是唯一的;

（4）A中任何一个元素在B中可以有不同的象;

（5）B中某一元素在A中的原象可能不止一个;

（6）集合A与B一定是数集；（7）记号f：A→B与f：B→A的含义是一样的．(3)(5)错误错误正确正确错误错误错误第四十四页，共62页。练习巩固：2、下面哪一个说法正确？（A）对于任意两个集合A与B，都可以建立一个从集合A到集合B的映射（B）对于两个无限集合A与B，一定不能建立一个从集合A到集合B的映射（C）如果集合A中只有一个元素，B为任一非空集合，那么从集合A到集合B只能建立一个映射（D）如果集合B只有一个元素，A为任一非空集合，则从集合A到集合B只能建立一个映射D第四十五页，共62页。

小结1、映射实质上是“多对一”或“一对一”的对应，但不包括“一对多”等；2、函数是一种特殊的映射，确定函数y

=f

(x

)的映射f

:A→B

要求A、B

都是非空数集；3、对于一个从集合A到集合B

的映射来说，A中的每一个元素必有唯一的象，但B

中的每一个元素不一定都有原象，如有，也不一定只有一个.第四十六页，共62页。分段函数补例:某质点在30s内运动速度v(cm/s)是时间t(s)的函数,它的图像如下图.解:解析式为v(t)=t+10,0≤t<5,3t,5≤t＜10,30,10≤t＜20,-3t+90,20≤t≤30.t=9s时,v(9)=3×9=27(cm/s).用解析式表示出这个函数,并求出9s时质点的速度.第四十七页，共62页。求函数的解析式1.y=kx+b经过点(1,0),(0,－1),则y=_______;2.求满足下列条件的二次函数

f(x)的解析式:顶点坐标为(2,3),且图象经过(3,1)点,

则

f(x)=________________;x

－1－2(x－2)2+33.已知函数f(x)=x2+x-1,则f(2)=_____,若f(x)=5,则x=_______.52或-3第四十八页，共62页。求函数的解析式例1.已知f(x)是一次函数,且f[f(x)]=4x－1,求f(x)的解析式解:设f(x)=kx+b（k≠0）则f[f(x)]=f(kx+b)=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=4x－1.1.待定系数法必有(函数类型确定时用此法)第四十九页，共62页。求函数的解析式一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c（a≠0）由题意得：a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7解方程组得：因此：所求二次函数是：a=2,b=－3,c=5y=2x2-3x+5练习1.已知一个二次函数的图象过点（－1,10）、（1,4）、（2,7）三点，求这个函数的解析