必修5模块综合测评(一)解析

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满分：150分时光：120分钟

一、挑选题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，惟独一项是符合题目要求的)

1．已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集是(－1,2)，则a＋b的值为()

A．1

B．－1

C．0

D．－2

C[由已知得－ba＝－1＋2，2a

＝－1×2，a0

C．2x2－x＋2x2－x＋1

>1D．log12(x2＋1)≥0C[当x0不成立；由于x2＋1≥1，则log12

(x2＋1)≤log12

1＝0，故D项不成立；因为x2－x＋1>0，不等式等价于2x2－x＋2>x2－x＋1，即x2＋1>0，故C项正确．]

7．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝1a＋4b

的最小值是()A．72B．4C．92

D．5C[∵2y＝2????1a＋4b＝(a＋b)????1a＋4b＝5＋4ab＋ba

，又∵a>0，b>0，∴2y≥5＋24ab·ba＝9，∴ymin＝92

，当且仅当b＝2a时“＝”成立．]8．假如数列{an}满足a1＝2，a2＝1，且an－1－anan－1＝an－an＋1an＋1

(n≥2)，则这个数列的第10项等于()A．1210B．129C．110D．15

D[当n≥2时，由已知得1－

anan－1＝anan＋1－1，∴2＝anan－1＋anan＋1

，∴2an＝1an－1＋1an＋1，∴数列??????1an是等差数列，又∵a1＝2，a2＝1，∴1a1＝12，1a2＝1，d＝1a2－1a1＝12，∴1an＝n2，∴an＝2n，∴a10＝210＝15

．]9．若关于x的不等式x2＋ax－a－2>0和2x2＋2(2a＋1)x＋4a2＋1>0的解集依次为A和B，那么，使得A＝R和B＝R至少有一个成立的实常数a()

A．可以是R中的任何一个数

B．有无穷多个，但并不是R中全部的实数都能满足要求

C．有且仅有一个

D．不存在

B[若A＝R，则Δ1＝a2＋4(a＋2)0，因而存在无穷多个实常数a，当a＝12时，上述不等式不成立，从而选B．]10．若数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n(n∈N*),则a4等于

A.11

B.15

C.17

D.20

A

11．已知{an},{bn}都是等差数列,若a1+b10=9,a3+b8=15,则a5+b6等于

A.18

B.20

C.21

D.32

C

12．如图1所示，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，且货轮与灯塔S相距20海里，货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为()

A．20(2＋6)海里/小时

B．20(6－2)海里/小时

C．20(3＋6)海里/小时

D．20(6－3)海里/小时

B[设货轮的速度为v海里/小时，∠NMS＝45°，∠MNS＝105°，则∠MSN＝30°，

由MS＝20，MN＝v2，则v

2sin30°＝20sin105°，v＝20sin105°

＝20(6－2)．]二、填空题(每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)

13．已知x>1，y>1，且lnx,1，lny成等差数列，则x＋y的最小值为________．

2e[由已知lnx＋lny＝2，∴xy＝e2，x＋y≥2xy＝2e．

当且仅当x＝y＝e时取“＝”，∴x＋y的最小值为2e．]

14．已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，n∈N＋，若a3＝16，S20＝20，则S10的值为________．110[设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则a3＝a1＋2d＝16，S20＝20a1＋

20×192d＝20，∴?????

a1＋2d＝162a1＋19d＝2，解得d＝－2，a1＝20．∴S10＝10a1＋10×92

d＝200－90＝110．]15．在△ABC中，已知|AB→|＝4，|AC→|＝1，S△ABC＝3，则AB→·AC→的值为________．

2或－2[∵S△ABC＝12|AB→||AC→|·sinA＝12×4×1×sinA＝3，∴sinA＝32．∴cosA＝12或－12

．∵AB→·AC→＝|AB→|·|AC→|·cosA，∴AB→·AC→＝2或－2．]

16．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．

20[设一年的总费用为y万元，则y＝4×400x＋4x＝1600x

＋4x≥21600x·4x＝160．当且仅当1600x

＝4x，即x＝20时，等号成立．]

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证实过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)在△ABC中，cosA＝－513，cosB＝35

．(1)求sinC的值；(2)设BC＝5，求△ABC的面积．

[解](1)由cosA＝－513，得sinA＝1213，由cosB＝35，得sinB＝45

．∴sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝1213×35＋????－513×45＝1665

．(2)由正弦定理得AC＝BC·sinBsinA＝5×451213

＝133

．∴△ABC的面积S＝12·BC·AC·sinC＝12×5×133×1665＝83

．18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝xx＋1

，数列{an}满足a1＝1，并且an＋1＝f(an)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝

nan221+，求数列{bn}的前n项和Sn.【答案】(1)由题意得an＋1＝anan＋1，∴1an＋1＝an＋1an＝1＋1an，即1an＋1－1an

＝1，∴数列??????1an是一个等差数列，公差为1，首项为1a1＝1，从而1an＝n，∴an＝1n

.(2)由(1)得bn＝nan2

21+＝121n(n＋1)＝12（1n－1n＋1），∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝12????1－12＋12????12－13＋…＋12????1n－1n＋1＝12（1－1n＋1

）＝12nn＋1.

19．(本小题满分12分)解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)．

[解]原不等式可化为

ax2＋(a－2)x－2≥0?(ax－2)(x＋1)≥0．

(1)当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0?x≤－1；

(2)当a>0时，原不等式化为????x－2a(x＋1)≥0?x≥2a

或x≤－1；(3)当a－1，即a0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪????2a，＋∞．

20．(本小题满分12分)设△ABC的内角A，B，C所对应的边分离为a，b，c，已知a＝1，b＝2，cosC＝14

．(1)求△ABC的周长；(2)求cosA的值．

[解](1)∵c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－4×14

＝4，∴c＝2，∴△ABC的周长为a＋b＋c＝1＋2＋2＝5．

(2)∵cosC＝14

，∴sinC＝1－cos2C＝1－????142

＝154

，∴sinA＝asinCc＝1542＝158

∵a<c，∴A<C，故A为锐角，

∴cosA＝1－sin2A＝1－????1582＝78

．21．(本小题满分12分)已知数列{an}满足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2)．

(1)求证：{an＋1＋2an}是等比数列；(2)求证数列{an－3n}是等比数列，并求数列{an}的通项公式．

[解](1)证实：∵an＋1＝an＋6an－1(n≥2)，

∴an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3(an＋2an－1)(n≥2)．

又a1＝5，a2＝5，∴a2＋2a1＝15，

∴an＋2an－1≠0(n≥2)，

∴an＋1＋2anan＋2an－1

＝3(n≥2)，∴数列{an＋1＋2an}是以15为首项，3为公比的等比数列．

(2)由(1)得an＋1＋2an＝15×3n－

1＝5×3n，

则an＋1＝－2an＋5×3n，

∴an＋1－3n＋1＝－2(an－3n)．

又∵a1－3＝2，∴an－3n≠0，

∴{an－3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列，

∴an－3n＝2×(－2)n－

1，

即an＝2×(－2)n－1＋3n(n∈N*)．

22．(本小题满分12分)某小学为了解决教职工的住房问题，方案征用一块土地盖一幢总建造面积为A(m2)的宿舍楼．已知土地的征用费为2388元/m2，且每层的建造面积相同，土地的征用面积为第一层的2．5倍．经工程技术人员核算，第一、二层的建造费用相同都为445元/m2，以后每增高一层，其建造费用就增强30元/m2．试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最少，并求出其最少费用．(总费用为建造费用和征地费用之和)

[解]设楼高为n层，总费用为y元，则征地面积为2.5Anm2，征地