建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用课件

第三章地震作用和结构抗震验算一、课程内容二、重点、难点和基本要求2023/3/151结构抗震设计第三章课程内容§3-1概述§3-2单自由度弹性体系的地震反应§3-3单自由度弹性体系的水平地震作用——地震反应谱法§3-4多自由度弹性体系的地震反应§3-5多自由度弹性体系的水平地震作用——振型分解反应谱法§3-6底部剪力法和时程分析法§3-7水平地震作用下的扭转效应§3-8结构的竖向地震作用§3-9结构自振周期的近似计算§3-10地震作用计算的一般规定§3-11结构抗震验算2023/3/152结构抗震设计第三章重点、难点和基本要求重点和难点：1、重要术语、概念、定义2、单（多）自由度体系地震反应和地震作用计算3、底部剪力法4、结构抗震验算基本要求：掌握结构抗震验算基本方法2023/3/153结构抗震设计

一、水平地震作用的计算公式地面水平运动时，作用于单自由度体系质点上的惯性力F（t）为若考虑到cx(t)<<kx(t)而略去不计，则得

上式表明，在地震作用下，质点任一时刻的相对位移与该瞬时的惯性力成正比，且比例系数为体系的刚度k。因此可以认为这一位移是由该瞬时的惯性力引起的，故可将惯性力理解为一种能反映地震影响的等效荷载。若考虑到，并取，则得水平地震作用，即

在结构抗震设计中，只需求出水平地震作用的最大绝对值，即质点质量m与最大绝对加速度的乘积。

2023/3/155结构抗震设计计算水平地震作用最大值的基本公式设F为水平地震作用最大值，则得或，这里，令：，代入上式，并以FEK代替F，则得计算水平地震作用的基本公式：式中：FEK--水平地震作用标准值；Sa--质点加速度最大值；----地震动峰值加速度；β----动力系数；k----地震系数；

α----地震影响系数；G----建筑的重力荷载代表值。求作用在质点上的水平地震作用FEK，关键在于求出地震系数k和动力系数β，或者是地震影响系数α。

2023/3/156结构抗震设计二、建筑的重力荷载代表值地震动时能作质量产生地震作用(惯性力)的各种竖向荷载，称为重力荷载。抗震设计时，在地震作用标准值的计算中和结构构件地震作用效应的基本组合中，建筑物重力荷载的取值称为重力荷载代表值。《抗震规范》规定，建筑物的重力荷载代表值应取结构和构配件自重(恒

载)标准值和各可变荷载(活荷载)组合值之和。各可变荷载的组合值系数按规范取值。

由于地震发生时，可变荷载往往达不到其标准值而采用组合值(即组合值系数乘以可变荷载标准值)，故建筑物的重力荷载代表值是地震发生时根据遇合概率确定的“有效重力”。由于重力荷载代表值是按荷载标准值确定的，所以按式计算得到的地震作用也是标准值。

2023/3/157结构抗震设计三、抗震设计反应谱1、地震系数k地震系数是地震动峰值加速度（地面运动的最大绝对加速度）与重力加速度的比值，也就是以重力加速度为单位的地震动峰值加速度。显然，地面加速度愈大，地震的影响就愈强烈，即地震烈度愈大。所以，地震系数与地震烈度有关，都是地震强烈程度的参数。例如，地震时在某处地震加速度记录的最大值，就是这次地震在该处的k值(以重力加速度g为单位)。2023/3/159结构抗震设计设防烈度与地震系数的对应关系地面运动加速度愈大．地震烈度愈高，故地震系数与地震烈度之间有一定的对应关系：从表中可以看出，地震系数反映某地区基本烈度的大小，当基本烈度确定后，地震系数为常数。但必须注意，地震烈度的大小还取决于地震持续时间和地震波的频谱特性。统计分析表明，烈度每增加一度，k值大致增加一倍。设防烈度6789地震系数0.050.10(0.15)0.20(0.30)0.402023/3/1510结构抗震设计地震动峰值加速度和设计基本地震加速度与地震系数抗震设防烈度和设计基本地震加速度的对应关系

表中设计基本地震加速度的取值与《中国地震动参数区划图》所规定的地震动峰值加速度相当。设防烈度与地震系数的对应关系地震系数地震动峰值加速度地震系数是地震动峰值加速度（地面运动的最大绝对加速度）与重力加速度的比值，也就是以重力加速度为单位的地震动峰值加速度。抗震设防烈度6789设计基本地震加速度0.05g0.10g0.15g0.20g0.30g0.40g设防烈度6789地震系数0.050.10(0.15)0.20(0.30)0.402023/3/1511结构抗震设计3、地震影响系数

地震影响系数：表示单自由度弹性体系在地震时以重力加速度g为单位的最大反应加速度。地震影响系数也是作用在质点上的地震作用与结构重力荷载代表值之比（）。《抗震规范》是以地震影响系数作为抗震设计依据的，其数值应根据烈度、场地类别、设计地震分组以及结构自振周期和阻尼比，通过地震影响系数曲线（抗震设计反应谱）确定：

2023/3/1513结构抗震设计（1）地震影响系数曲线（抗震设计反应谱）----地震影响系数；----地震影响系数最大值；----结构自振周期；----特征周期（？？）；----直线下降段的下降斜率调整系数；----阻尼调整系数；----衰减指数2023/3/1514结构抗震设计（2）抗震设计反应谱的特征及参数取值

1）曲线由四部分组成，其值也由四部分构成。2）结构自振周期1、单自由度体系：----质点在单位水平集中力作用下产生的侧移2、多质点体系：近似计算（P87：§3-9）3）特征周期4）地震影响系数最大值：5）对应于阻尼比等于0.05和不等于0.05，抗震设计反应谱的形状参数（、、）不同：即不同阻尼比的地震影响系数是有差别的：随着阻尼比的减小，地震影响系数增大，而其增大的幅度则随周期的增大而减小。2023/3/1515结构抗震设计设计地震分组GB50011—2001规范在附录A中规定了县级及县级以上城镇的中心地区(如城关地区)的抗震设防烈度、设计基本地震加速度和所属的设计地震分组。特征周期Tg值设计地震分组场地类别Ⅰ

ⅡⅢ

IV第一组0.250.350.450.65第二组0.300.400.550.75第三组0.350.450.650.902023/3/1517结构抗震设计水平地震影响系数最大值（阻尼比0.05）注：括号数字分别对应于设计基本地震加速度0.15g和0.30g地区的地震作用影响系数。地震影响烈度6789多遇地震0.040.08（0.12）0.16（0.24）0.32罕遇地震0.50（0.72）0.90（1.20）1.402023/3/1518结构抗震设计设计基本地震加速度1．设计基本地震加速度定义：50年设计基准期超越概率10％的地震加速度设计取值。抗震设防烈度和设计基本地震加速度的对应关系

表中设计基本地震加速度的取值与《中国地震动参数区划图》所规定的地震动峰值加速度相当。抗震设防烈度6789设计基本地震加速度0.05g0.10g0.15g0.20g0.30g0.40g2023/3/1519结构抗震设计一、多质点和多自由度体系在进行建筑结构地震反应分析时，除了少数质量比较集中的结构可以简化为单质点体系外，大量的多层和高层工业与民用建筑、多跨不等高单层工业厂房等，质量比较分散，则应简化为多质点体系来分析，这样才能得出比较符合实际的结果。

一般，对多质点体系，若只考虑其作单向振动时，则体系的自由度与质点个数相同。2023/3/1521结构抗震设计二、两自由度弹性体系的自由振动左图为一两自由度弹性体系在水平地震作用下，在时刻t的变形情况。Xg(t)为地震时地面运动的水平位移，质点1和质点2沿地面运动方向产生的相对于地面的水平位移分别为x1(t)和x2(t)，而相对速度则为和，相对加速度为

和

，绝对加速度分别为+和+。2023/3/1522结构抗震设计1、两自由度运动方程的建立单自由度体系相似，取质点1作隔离体，则作用在其上的惯性力为：弹性恢复力为：阻尼力为：式中

k11——使质点1产生单位位移而质点2保持不动时，在质点1处所需施加的水平力；k12——使质点2产生单位位移而质点1保持不动时，在质点1处引起的弹性反力；c11——质点1产生单位速度而质点2保持不动时，在质点1处产生的阻尼力；c12——质点2产生单位速度而质点1保持不动时，在质点1处产生的阻尼力；m1——集中在质点1上的质量。

2023/3/1523结构抗震设计3、两自由度弹性体系的自由振动

以两自由度体系为例，令方程组等号右边荷载项为零，由于阻尼对体系自振周期影响很小，故略去阻尼，即得该体系无阻尼自由振动方程组：设两个质点作同频率、同相位的简谐振动，则上列微分方程组的解为：式中

X1和X2——分别为质点1和质点2的位移振幅；

ω——振动频率；

φ——初相位。经整理后得下列振幅方程：2023/3/1525结构抗震设计1）、自振频率和自振周期上式为Xl和X2的线性齐次方程组；体系在自由振动时，X1和X2不能同时为零，否则体系就不可能产生振动。为使上式有非零解，其系数行列式必须等于零，即：展开行列式，可得ω2的二次方程：上式称为频率方程，解之得：由此可求得ω的两个正实根，它们就是体系的两个自振圆频率。其中较小的一个用ωl表示，称为第一频率或基本频率，较大的一个ω2称为第二频率。利用式可由ωl和ω2求得体系的两个自振周期，即T1=2π/ω1和T2=2π/ω2，且T1＞T2，T1称为第一周期或基本周期，T2称为第二周期。2023/3/1526结构抗震设计3）、自由振动方程的通解两自由度弹性体系自由振动方程式的通解为其特解即分别对应两个自振圆频率的质点位移的线性组合，也即：其中X11、X12、X21、X22、φ1、φ2由初始条件确定。由上式可见，在一般初始条件下，任一质点的振动都是由各主振型的简谐振动叠加而成的复合振动。

2023/3/1529结构抗震设计4）、质点复合振动振型曲线和惯性力两自由度弹性体系分别按频率ω1和ω2作简谐振动时，两个振型的变形曲线及两质点上相应的惯性力如图所示。惯性力可表示为，其中i为质点编号，j为振型序号，而且主振型变形曲线可视为体系上相应的惯性力引起的静力变形曲线，因为由可知，结构在任一瞬时的位移就是等于惯性力所产生的静力位移。在一般初始条件下，任一质点的振动都是由各主振型的简谐振动叠加而成的复合振动。2023/3/1530结构抗震设计5）、主振型的正交性

根据功的互等定理，第一主振型上的惯性力在第二主振型的位移上所做的功等于第二主振型上的惯性力在第一主振型的位移上所做的功，这样可得到：整理后得到：由于ω1≠ω2，所以：上式所表示的关系，称为主振型的正交性，它反映了主振型的一种特性，即体系各质点的质量与其在两个不同振型上的位移振幅的连乘积的代数和为零。物理意义是：某一振型在振动过程中所引起的惯性力不在其它振型的位移上作功。这说明某一振型的动能不会转移到其它振型上去，也就是体系按某一振型作自由振动时不会激起该体系其它振型的振动。

2023/3/1531结构抗震设计三、多自由度弹性体系的自由振动1、n自由度体系运动微分方程组2、n自由度弹性体系的自由振动2023/3/1532结构抗震设计1、n自由度体系运动微分方程组

把两自由度弹性体系的运动微分方程组推广到n自由度体系，则其运动微分方程组应由n个方程组成，一般表达式为:

式中Cij——质点j产生单位速度，而其它质点保持不动时，在质点i处产生的阻尼力；

kij——质点j产生单位位移，而其它质点保持不动时，在质点i处引起的弹性反力；

mi——集中在质点i的质量。求解上述运动方程组，一般采用振型分解法。该法需要利用多自由度弹性体系的振型，它们是由分析体系的自由振动得来的。为此，须先讨论多自由度体系的自由振动问题。2023/3/1533结构抗震设计2、n自由度弹性体系的自由振动对于n自由度体系，由上式可得其自由振动方程组：（i=1，2，…，n）设微分方程组的解为：代入上式，经整理后得：

…………2023/3/1534结构抗震设计1）、自振频率和自振周期令方程的系数行列式等于零，即可求得频率方程，此方程是一个以ω2为未知数的一元n次方程，解此方程，可以求出n个根ω12、ω22、、…、ωn2，即可得出体系的n个自振圆频率，按由小到大的顺序排列依次为ω1<ω2<…<ωi<…<ωn。对应的n个自振周’期由大到小的顺序则为T1>T2>…>Ti>…>Tn。ω2、、…、ωn统称为高阶频率。一般说来，当体系的质点数多于3个时，频率方程的求解就比较困难，常常不得不借助于一些近似计算方法和电子计算机。

2023/3/1535结构抗震设计2）、主振型和自由振动方程的通解对于n自由度弹性体系，有n个自振频率，将其依次代入频率方程可求得相应的n个主振型，除第一主振型外的其它振型统称为高阶振型。n自由度弹性体系自由振动时，任一质点的振动都是由n个主振型的简谐振动叠加而成，故自由振动方程的通解可写为

（i=1，2，…，n）式中——第j振型i质点的相对位移；

——第j振型i质点的位移振幅。

2023/3/1536结构抗震设计3）、主振型的正交性

对n自由度弹性体系，主振型正交性一般可表示为

（j≠k）它反映了主振型的一种特性，即体系各质点的质量与其在不同振型上的位移振幅的连乘积的代数和为零。其物理意义是：某一振型在振动过程中所引起的惯性力不在其它振型的位移上作功。这说明某一振型的动能不会转移到其它振型上去，也就是体系按某一振型作自由振动时不会激起该体系其它振型的振动。

2023/3/1537结构抗震设计四、振型分解法多自由度弹性体系在水平地震作用下的运动方程为一组相互耦联的微分方程，联立求解有一定困难。振型分解法就是通过把体系的位移反应按振型加以分解，并利用各振型相互正交的特性，将原来耦联的微分方程组变为若干互相独立的微分方程，从而使原来多自由度体系结构的动力计算变为若干个相当于各自振周期的单自由度体系结构的问题，在求得了各单自由度体系结构的地震反应后，采用振型组合法即可求出多自由度体系的地震反应。振型分解法是求解多自由度弹性体系地震反应的重要方法。

2023/3/1538结构抗震设计1、两自由度体系振型分解法将质点m１及m２在地震作用下任一时刻的位移x１(t)和x２(t)用其两个振型的线性组合来表示：上式实际上是一个坐标变换公式，x１(t)和x２(t)为原来的几何坐标，而新坐标q１(t)和q２(t)称为广义坐标，它们也是时间的函数。上式也可理解为是将体系的位移按振型加以分解，q１(t)和q２(t)实际上表示了在任一时刻的位移中第一振型和第二振型所占的分量。由于体系的振型是唯一确定的，因此，当q１(t)和q２(t)确定后，x１(t)和x２(t)也将随之而定。2023/3/1539结构抗震设计对上式进行变换和整理，且考虑主振型的正交性，得到：

这里，解两个解耦的方程可分别求出q１(t)和q２(t)，而当q１(t)和q２(t)确定后，x１(t)和x２(t)也随之而定。

2023/3/1540结构抗震设计两自