量子力学考试题

量子力学考试题（共五题，每题20分）1、扼要说明：束缚定态的主要性质。单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。、设力学量算符（厄米算符，试证明：

＝i（

-

，

的本征值是实数。对于

的任何本征态

，

的平均值为0。在任何态中F2+G2K3、自旋/2的定域电子（不考虑“轨道”运动）受到磁场作用，已知其能量算符为ˆˆ ＝z

+νSx

（，ν>0，»ν）求能级的精确值。视νx

项为微扰，用微扰论公式求能级。、质量为m的粒子在无限深势阱（a

中运动，处于基态。写出能级和波函数，并计算平均值xpx

，xpx5、某物理体系由两个粒子组成，粒子间相互作用微弱，可以忽略。已知单粒子“轨道”态只有3种： (a

，(b

，(c

)，试分别就以下两种情况，求体系的可能（独立）状态数目。无自旋全同粒子。自旋/2（）量子力学考试评分标准）各0分（a）能量有确定值。力学量（不显含t）的可能测值及概率不随时间改变。（nlmm）n’’’）s sl＝1m＝0,1＝0s根据：电矩m矩阵元分分分

0lmms（）是厄米算符，所以其本征值必为实数。（） ＝，

＝ K＝

＝i

-

＝i｛ -G｝＝0（c）(

+i

)(

-i

)=+(

+i

)(

-i)

-i

)≥02<+2-≥0，即F2 +G2≥K23、(a)，(b10S S

1 0

0 1

＝

+ν

＝2［

1］+2ν［1 0］＝2［

］z xa ＝E，＝［bE＝2，则 a ［ ［b］＝0，︱ ︱＝22＝0 ＝ 22，E＝-2 22，E＝2 221 2 2 1 当»ν，22＝（1+2）1/2（1+2）＝ 2 2E-2［+E＝2［+］（b

＝ +ν1z1

＝x

2+

＝

Sz

’＝νSx1 0 01 1 本征值为

2

，取

2

，E20 12 0 1相当本征函数（S表象）为10]z 1 2则之矩阵元S表象）为zH'H

H

＝H

1＝211 22H'2 1

2 42

1 1E＝E

+H'+E

E

＝-

+0-

＝-

- 2（0）1 1

11

2

2 4E

'++

H'+E+E

1＝2

12+42 2 22

2nx

0xa 2 (x)

a a4、E＝

2，1 ＝ 0

x0,xa1a

xdx

2

x2

xdxa＝x 1 ＝aa 2＝0 0d dx

2

x) 0px

a 1dx210

i

a0

xddx

2

xsinxd(sinx)xp＝-ix 0

1 dx1 a a a0i＝aa

x)a 1xaa sinxdx]＝ a0 a0- 2 ai ＝0+[2 ＝0+sin2iha50

dxi020ii）

10分

(r)(r)，

(r)(r)，

(r)(r)，(r,r)有： （i）s＝0，为玻色子，体系波函数应交换对称。a2ba2b1b 2c1c2rr)rr1 2 a 16

1[a 1ca 1cb2b1ca2cc1

ab（i）2单 ：，，，a0 a1 b0 b

c，c。任取两个，可构成体系（交换）反对称态，如1

(r

)

2 a 1

0

b 2

b 1

a 2 11 2 1 21[ ＝2

)

r]a 1 b C

b 1 a

1 22体系态共有2

15种6或： ， ， 三种轨道态任取两个，可构成一种轨道对称态a b c[1[ + 2 (r))

(r))] 及一种反对称态a1b2[

b1a22

)

r，前者应与自旋单态

相乘，而构成体a1共3a

2 应与自旋三重态x

，x00，x

相乘而构种。

11 10

1-1但轨道对称态还有

) )型，共3种型，各与自旋单态配合，a 1 a 2共3种体系态，故体系态共95种。量子力学习题第一章绪论由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m与温度T成反比，即常量；m并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。0K氦原子的动能是（k求K时，氦原子的德布罗意波长。利用玻尔－索末菲的量子化条件，求：一维谐振子的能量；在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。已知外磁场0特斯拉，玻尔磁子M×特斯拉，试计算动能BET=4K的热运动能量相比较。两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对。如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？第二章波函数和薛定谔方程由下列两定态波函数计算几率流密度：(1)(2)1

表示向内（即向原点）传播的球从所得结果说明面波。

表示向外传播的球面波，1 2

U(),

x00xxa中运动，求粒子的能级和对应的波函数。求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。一粒子在一维势阱U(x)

U 00,

xaxa

)的能级所满足的方程。0对于一维无限深势阱中的定态

xx2力学结果比较。粒子在势场

,V()V

nx00xax中运动，求存在束缚的条( 0

关系)以及能级方程。1的能级，并讨论各能级的简并度。粒子束以动能E=2k2从左方入射，遇势垒0,V,V(x)V,0

x0x0

及

情形分别讨论。

H 2 d20 0 22，质量为m的粒子只能沿圆环（

)及归一化本征波函数()，讨论各能级的简并度。n n第三章基本原理 i

(x)

12

2，求：U1 x势能的平均值 22 2；T动能的平均值

p2；动量的几率分布函数。时，粒子的状态为1+2求此时粒子的平均动量和平均动能。波函数(x)=Ax(a-x)为归一化常数，求粒子能量的几率分布和能量的平均值。p与x，rr2。[x

]，[p,

]。证明算符关系y z x

2irLLL

设F(F+F)，证明F、B为厄B与F、之关系。1

=2处于基态。设势场突然变成

=kx2，即弹性力增1 2大一倍。求粒子在V2

场中的能级以及此粒子在新势场的基态中出现的几率。L、、K，[L,。K的本征函数、本征值记为、

及L

存在，则它们也是K的本征函数，n n n n本征值为(

1)。n证明：如=(，<p。粒子在均匀电场中运动，已知=2。设时x，p

=p，x求pxx

x 0(t)。

,中运动，已知=2mL

。BzB设时<p,,，求时<。0)与粒子质量m无关。证明：如m增大，则束缚态能级下降。第四章中心力场证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是Jer

=0,eJ =re

2nlm 。由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的。求一圆周电流的磁矩。证明氢原子磁矩为MM

(SI)z

CG)原子磁矩与角动量之比为M e

(SI)zL

CG)z 这个比值，称为回转磁比率。设氢原子处于状态(r,,)

1R(r)Y(,) 3R(r)Y (,),2 21 10

2 21 求氢原子能量、角动量平方及角动量z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。利用测不准关系估计氢原子的基态能量。对于类氢离子的基 ，求概然半径（最可几半径）及r,r2。100对于类氢离子 态，证明nlm

12。n对于类氢离子的基 ，计x,p，验证不确定关系100 xxp2。x单价原子中价电子（最外层电子）所受原子实（原子核及内层电子）的库仑作用势可以近似表示成V(r)e2

e2a,

01r r20n中第二项与离心势合并，记成l(l1)2r2ll之值，...]。第五章表象理论5.1设

是厄米算符ˆˆ与nˆ

kF

。k n的粒子在势场中作一维运动，设能级是离散的。证明能量表象中求和规则 (EE)nn k

222()。n、、、p。设Jn为常矢量，证明 [J,n·Jn×J对于角动量

jm态（

、J、J

2、J2等平

、J

J的 z x y x yx x

（单位矢量）与z，对于角动量的

>n（即n·J。

lm

L 共同本征态矢。在l=1子空间中，取基矢为z211, 10,2

11,

，LLz

及L的矩阵表示3阶，并y2求其本征值及本征态矢（取。2*5.8对于谐振子相干态(a ,为实数)，计算，E，x，x，p，p。第六章微扰理论如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为r，电荷均匀分布的小球，0计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。转动惯量为IDE01

及E，现在受到微扰ˆ'的02量至二级修正值。

12

21

11

=b;a,b都是实数。用微扰公式求能22一电荷为ex方向：用微扰法求能量至二级修正；所得结果比较。时，氢原子处于基态，以后由于受到单色光的照射而电离。设及似地以平面波表示。求这单色光的最小频率和在时刻t跃迁到电离态的几率。基态氢原子处于平行板电场中，若电场是均匀的且随时间按指数下降，即

t0;

t00 0态的几率。计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率。求线性谐振子偶极跃迁的选择定则。粒子（）

。后受到微扰作用，H’=x,(

n，n’

n n’ E利用定态微扰论，求能级

的一级修正。n1(V=2的基态能量近似值（）(,(。的粒子在势场4)

作一维运动。试用变分法求基态,。，

1 的几率为该体系处于激发态nF 2E)222]n1第七章自旋7.1证明

i。x y z (s)和S的测不准关系：求在自旋态1 z2

x y 22 ?

0

x y0 i

21 0

0x 及

的本征值和所属的本征函数。方向的投影n x y z的本征值和所属的本征函数。在这些本征态中，测量z

有哪些可能值？这些可能值各以多大的几率出的平均值是多少？z设氢原子的状态是

R 1 (r)Y(,R

21 11 。3 R(r)Y(,)2

21 10 求轨道角动量z和自旋角动量z分量的平均值；求总磁矩

z zˆ eLeˆM

S(SI)的z分量的平均值（）求电子的总角动量算符Jz

的共同本征函数。在Sz

表象中，证明0e 00

iz

。对于电子的L，S，J,证明（取1） 1(2SLJ242)