由递推关系求通项公式的类型与方法(完整版)实用资料

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由递推关系求通项公式的类型与方法由递推关系求通项公式的类型与方法（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）递推公式是给出数列的基本方式之一，在近几年高考题中占着不小的比重。2021年高考数学19份理科试卷，共19道数列部分的解答题，其中有17道涉及递推数列，（福建卷理科有两道题涉及数列问题，江苏卷、江西卷中数列题不涉及递推），说每卷都有数列问题，数列必出递推也不为过。不能不感受到高考数学试题中“递推”之风的强劲。为此本文主要以2021年试题为例重点研究由递推关系求数列通公式的类型与求解策略。一、递推关系形如：的数列利用迭加或迭代法得：，（）例1（08天津文20）在数列中，，，且（）．（Ⅰ）设（），证明是等比数列；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）略（Ⅰ）证明：由题设（），得，即，．又，，所以是首项为1，公比为的等比数列．（Ⅱ）解法：由（Ⅰ），，，（）．所以当时，上式对显然成立．二、递推关系形如：的数列利用迭乘或迭代法可得：，（）例2（2021天津理22）在数列与中，，数列的前项和满足,为与的等比中项，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求数列与的通项公式；解：（Ⅰ）易得，．（Ⅱ）由题设①（）时②①式减去②式，整理得，即，所以时，此式对也成立．由题设有，所以，即，．令，则，即．由得，．所以，即，．三、递推关系形如：（p,q为常数且，）的数列（线性递推关系）利用不动点求出的根，递推关系可化为，利用等比数列求出的表达式，进而求出例3（2021安徽文21）设数列满足其中为实数，且（Ⅰ）求数列的通项公式解：当时，是首项为，公比为的等比数列。，即。当时，仍满足上式。数列的通项公式为。四、递推关系形如：（,为常数且，）的数列令与比较解出系数x，y构造等比数列例4（08湖北理21）已知数列和满足,其中为实数，为正整数，求数列、的通项公式（稍加改编）解：①令整理后与①式比较对应项系数得,,五、递推关系形如：的数列（为常数且）常化为，利用第三种类型求出后解出；例5．（2021四川理20）设数列的前项和为，已知（Ⅰ）证明：当时，是等比数列；（Ⅱ）求的通项公式解：由题意知，且两式相减得即①（Ⅰ）略（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知，即当时，由①得因此得六、递推关系形如：（为常数且）的数列可化为=求出的表达式，再求例6．（2021年山东理19）将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：……记表中的第一列数构成的数列为，．为数列的前项和，且满足．（Ⅰ）证明数列成等差数列，并求数列的通项公式；解：（Ⅰ）证明：由已知，当时，，又，所以，又．所以数列是首项为1，公差为的等差数列．由上可知，．所以当时，．因此七、递推关系形如：或的数列可采用取倒数方法转化成为形式利用前面的第三类方法解决。例7（2021年高考陕西理22）已知数列的首项，，．（Ⅰ）求的通项公式；解：（Ⅰ），，，又，是以为首项，为公比的等比数列．，．八、Sn法求与前n项和Sn有关的数列通项时，通常用公式作为桥梁，将Sn转化为的关系式求或将转化为Sn的关系式先求Sn进而求得。例8、（2021年全国Ⅱ20）设数列的前项和为．已知，，．（Ⅰ）设，求数列的通项公式；解：（Ⅰ）依题意，，即，由此得．因此，所求通项公式为，．九：数学归纳法例9、（2021辽宁理21）在数列中,,且成等差数列,成等比数列.⑴求及,由此猜测的通项公式,并证明你的结论;解析：（Ⅰ）由条件得由此可得 ．猜测．用数学归纳法证明：①当n=1时，由上可得结论成立．②假设当n=k时，结论成立，即，那么当n=k+1时，．所以当n=k+1时，结论也成立．由①②，可知对一切正整数都成立． 由递推公式求通项公式的方法已知数列的递推公式，求取其通项公式是数列中一类常见的题型，这类题型如果单纯的看某一个具体的题目，它的求解方法灵活是灵活多变的，构造的技巧性也很强，但是此类题目也有很强的规律性，存在着解决问题的通法，本文就高中数学中常见的几类题型从解决通法上做一总结，方便于学生学习和老师的教学，不涉及具体某一题目的独特解法与技巧。一、型数列，（其中不是常值函数)此类数列解决的办法是累加法，具体做法是将通项变形为，从而就有将上述个式子累加，变成，进而求解。例1.在数列中,解：依题意有逐项累加有，从而。注：在运用累加法时,要特别注意项数,计算时项数容易出错.变式练习：已知满足,,求的通项公式。二、型数列，（其中不是常值函数)此类数列解决的办法是累积法，具体做法是将通项变形为，从而就有将上述个式子累乘，变成，进而求解。例2.已知数列中，求数列的通项公式。解：当时，将这个式子累乘，得到，从而，当时，，所以。注：在运用累乘法时,还是要特别注意项数,计算时项数容易出错.变式练习：在数列中,>0,,求.提示：依题意分解因式可得，而>0,所以，即。三、型数列此类数列解决的办法是将其构造成一个新的等比数列，再利用等比数列的性质进行求解，构造的办法有两种，一是待定系数法构造，设，展开整理，比较系数有，所以，所以是等比数列，公比为，首项为。二是用作差法直接构造，,，两式相减有，所以是公比为的等比数列。例3.在数列中，，当时，有，求的通项公式。解法1：设，即有对比，得，于是得，即所以数列是以为首项，以3为公比的等比数列则。解法2：由已知递推式，得，上述两式相减，得，即因此，数列是以为首项，以3为公比的等比数列。所以，即，所以。变式练习：已知数列满足求数列的通项公式.注：根据题设特征恰当地构造辅助数列,利用基本数列可简捷地求出通项公式.四、型数列（p为常数）此类数列可变形为，则可用累加法求出，由此求得.例4已知数列满足,求.解:将已知递推式两边同除以得,设,故有，,从而.注：通过变形,构造辅助数列,转化为基本数列的问题,是我们求解陌生的递推关系式的常用方法.若为的一次函数,则加上关于的一次函数构成一个等比数列;若为的二次函数,则加上关于的二次函数构成一个等比数列.这时我们用待定系数法来求解.例5．已知数列满足解:作,则,代入已知递推式中得:.令这时且显然,,所以.注：通过引入一些待定系数来转化命题结构,经过变形和比较,把问题转化成基本数列,从而使问题得以解决.变式练习：（1）已知满足，求。（2）已知数列，表示其前项和，若满足，求数列的通项公式。提示：（2）中利用，把已知条件转化成递推式。五、型数列（为非零常数）这种类型的解法是将式子两边同时取倒数,把数列的倒数看成是一个新数列,便可顺利地转化为型数列。例6．已知数列满足,求.解:两边取倒数得:,所以，故有。变式练习：数列中，，求的通项。六、型数列（为常数）这种类型的做法是用待定糸数法设构造等比数列。例7．数列中，且，求.由递推公式求通项公式的几种方法an+1=an+f（n）型累加法:an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…＋（a2-a1）+a1=f（n-1）+f（n-2）+…f（1）+a1例1已知数列｛an｝满足a1=1,an+1=an+2n（n∈N*）,求an解:an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…＋（a2-a1）+a1=2n-1+2n-2+…+21+1=2n-1（n∈N*）2、型累积法:所以例2:已知数列｛an｝满足,求解:=3．型（p,q为常数）方法：（1），再根据等比数列的相关知识求.(2)再用累加法求.(3),先用累加法求再求例3．已知的首项（a为常数），，求解设，则为公比为2的等比数列。4．型（p为常数）方法：变形得，则可用累加法求出，由此求得.例4．已知满足，求解为等差数列。5.型（p,q为常数）方法：待定糸数法设构造等比数列例5．数列中，且，求.由递推关系求通项公式的类型与方法递推公式是给出数列的基本方式之一，在近几年高考题中占着不小的比重。2021年高考数学19份理科试卷，共19道数列部分的解答题，其中有17道涉及递推数列，（福建卷理科有两道题涉及数列问题，江苏卷、江西卷中数列题不涉及递推），说每卷都有数列问题，数列必出递推也不为过。不能不感受到高考数学试题中“递推”之风的强劲。为此本文主要以2021年试题为例重点研究由递推关系求数列通公式的类型与求解策略。一、递推关系形如：的数列利用迭加或迭代法得：，（）例1（08天津文20）在数列中，，，且（）．（Ⅰ）设（），证明是等比数列；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）略（Ⅰ）证明：由题设（），得，即，．又，，所以是首项为1，公比为的等比数列．（Ⅱ）解法：由（Ⅰ），，，（）．所以当时，上式对显然成立．二、递推关系形如：的数列利用迭乘或迭代法可得：，（）例2（2021天津理22）在数列与中，，数列的前项和满足,为与的等比中项，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求数列与的通项公式；解：（Ⅰ）易得，．（Ⅱ）由题设①（）时②①式减去②式，整理得，即，所以时，此式对也成立．由题设有，所以，即，．令，则，即．由得，．所以，即，．三、递推关系形如：（p,q为常数且，）的数列（线性递推关系）利用不动点求出的根，递推关系可化为，利用等比数列求出的表达式，进而求出例3（2021安徽文21）设数列满足其中为实数，且（Ⅰ）求数列的通项公式解：当时，是首项为，公比为的等比数列。，即。当时，仍满足上式。数列的通项公式为。四、递推关系形如：（,为常数且，）的数列令与比较解出系数x，y构造等比数列例4（08湖北理21）已知数列和满足,其中为实数，为正整数，求数列、的通项公式（稍加改编）解：①令整理后与①式比较对应项系数得,,五、递推关系形如：的数列（为常数且）常化为，利用第三种类型求出后解出；例5．（2021四川理20）设数列的前项和为，已知（Ⅰ）证明：当时，是等比数列；（Ⅱ）求的通项公式解：由题意知，且两式相减得即①（Ⅰ）略（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知，即当时，由①得因此得六、递推关系形如：（为常数且）的数列可化为=求出的表达式，再求例6．（2021年山东理19）将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：……记表中的第一列数构成的数列为，．为数列的前项和，且满足．（Ⅰ）证明数列成等差数列，并求数列的通项公式；解：（Ⅰ）证明：由已知，当时，，又，所以，又．所以数列是首项为1，公差为的等差数列．由上可知，．所以当时，．因此七、递推关系形如：或的数列可采用取倒数方法转化成为形式利用前面的第三类方法解决。例7（2021年高考陕西理22）已知数列的首项，，．（Ⅰ）求的通项公式；解：（Ⅰ），，，又，是以为首项，为公比的等比数列．，．八、Sn法求与前n项和Sn有关的数列通项时，通常用公式作为桥梁，将Sn转化为的关系式求或将转化为Sn的关系式先求Sn进而求得。例8、（2021年全国Ⅱ20）设数列的前项和为．已知，，．（Ⅰ）设，求数列的通项公式；解：（Ⅰ）依题意，，即，由此得．因此，所求通项公式为，．九：数学归纳法例9、（2021辽宁理21）在数列中,,且成等差数列,成等比数列.⑴求及,由此猜测的通项公式,并证明你的结论;解析：（Ⅰ）由条件得由此可得 ．猜测．用数学归纳法证明：①当n=1时，由上可得结论成立．②假设当n=k时，结论成立，即，那么当n=k+1时，．所以当n=k+1时，结论也成立．由①②，可知对一切正整数都成立． 由递推公式求通项公式的几种方法an+1=an+f（n）型累加法:an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…＋（a2-a1）+a1=f（n-1）+f（n-2）+…f（1）+a1例1已知数列｛an｝满足a1=1,an+1=an+2n（n∈N*）,求an解:an=（an-an-1）+（an