江苏省新马高级中学2013届高三第一次市统测数学模拟试卷二

新马高级中学2013届第一次市统测数学模拟试卷二一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分.1．设全集U{1,2,3,4,5},会合A{1,3,5},会合B{3,4},则CAB{4}(U)2.设向量a，b均为单位向量，且|a＋b|1，则a与b夹角为233．已知角θ的极点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ3＝－54．某算法的程序框以以下图所示，则输出量y与输入量x知足的关系式是______y=2x,x1;5．从1，2，，9这九个数中，随机取2个不一样的数，则这两个数的和为偶数的概率是4______96.设数列{an}是等差数列,且a28,a155,Sn是数列{an}的前n项和，则以下结论正确的是②①S9S10②S9S10③S11S10④S11S107．曲线y1x3x在点1,4处的切线与坐标轴围成的三角形面积为______1_____.339x2y30,8．已知变量x,y知足拘束条件x3y30,若目标函数zaxy仅在点(3,0)处取到y10.最大值，则实数a的取值范围为(1,)29已知直线l平面，直线m平面．给出以下命题：①//lm；②l//m；③l//m；④lm//．此中正确的命题的序号是．①，③10．若点P在直线l1:xy30上，过点P的直线l2与曲线C:(x5)2y216只有一个公共点M，则PM的最小值为__________.411．不等式x2x1a，对x[1,5]恒建立的实数a的取值范围是a912．矩形ABCD中，ABx轴，且矩形ABCD恰巧能完好覆盖函数yasinaxaR,a0的一个完好周期图象，则当a变化时，矩形ABCD周长的最小值为1.13．如图，在平面直角坐标系xOy中，F1,F2分别为椭圆x2y21(ab的左、右焦点，B，C分别为椭圆的上、a2b20)与椭圆的另一个交点为D，若下极点，直线BF2cosF1BF27，则直线CD的斜率为．12252514．设函数fx的定义域为R，若存在常数M0，使fxMx对一确实数x均建立，则称fx为“倍拘束函数”。现给出以下函数：①fx2x；②fxx21；③fxsinx4；④fx是定义在实数集R的奇函数，且对全部x1,x2均有fx1fx22x1x2。此中是“倍拘束函数”的是___1，4_____。（写出全部正确命题的序号）三、解答题(本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)15（此题满分14分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA22，3（1）求tan2BCsin2A的值；22（2）若a2，S△ABC2，求b的．解：（1）因角△ABC中，A＋B＋C＝，sinA22，3因此cosA＝1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分32B＋C2Asin2B＋C2A2＋sin＝tan2＋sin22B＋C2cos21－（＋C）11＋cosA17＝）＝＋＝＋（1－cosA1－cosA31＋cos（B＋C）23⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分（2）由于SABC＝2，又SABC＝1bcsinA＝1bc22，bc＝3.⋯9分223将a＝2，cosA＝1，c＝3代入余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA中3b得b4－6b2＋9＝0解得b＝3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分16．（本小分14分）如，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、G分是AA1，D1C，AD的中点.C1求：（1）MN//平面ABCD；D1A．是MN的任一平面，求：平面B1BG.A1NB1MDCAB17．（本小题满分14分）某厂家拟在2011年举行促销活动，经检查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销花费m(m0)万元知足x3k（k为常数），假如不搞促销活动，则该产m1品的年销售量是1万件.已知2011年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价钱定为每件产品年均匀成本的1.5倍（产品成本包含固定投入和再投入两部分资本，不包含促销花费）．（1）将2011年该产品的收益y万元表示为年促销花费m万元的函数；（2）该厂家2011年的促销花费投入多少万元时，厂家的收益最大？解：（1）由题意可知，当m0时，x1，∴13k即k2，∴x321.5816x元.，每件产品的销售价钱为m1x∴2009年的收益yx[1.5816x](816xm)x48xm48(32)m[16(m1)]29(m0)（8分）m1m1（2）∵m0时，161(m1)2168.m∴y82921，当且仅当16m1，即m3时，ymax21.（12分）m1答：该厂家2011年的促销花费投入3万元时，厂家的收益最大，最大为21万元.（14分）18（此题满分16分）已知椭圆的两个焦点F1(3,0),F2(3,0)，且椭圆短轴的两个端点与F2组成正三角形．（1）求椭圆的方程；（2）过点（1，0）且与坐标轴不平行的直线l与椭圆交于不一样两点P、Q，若在x轴上存在定点E（m，0），使PEQE恒为定值，求m的值.解：（1）由题意知c=3又∵椭圆的短轴的两个端点与F组成正三角形∴b=1进而a2∴椭圆的方程为x2y2=14分4（2）设直线l的斜率为k，则l的方程为ykx1x2y21消y得212822404kxkxk6分44ykx1Px1,y1,Qx2,y28k2设，则由韦达定理得x1x2214kx1x24k248分4k21则PEmx1,y1QEmx2,y2∴PEQEmx1mx2y1y2=m2mx1x2x1x2y1y2=m2mx1x2x1x2k2x11x21=m2m8k24k24k24k248k211=4m28m1k2m244k214k214k214k24k2113分要使上式定4m28m14，m241得m17176分故m，PEQE定⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯18819．（本分16分）已知数列{an}是首项为a11,公比q1的等比数列，44bn23log1an(nN*)，数列{cn}知足cnanbn。4解：（1）由意知，an(1)n(nN*)bn3log1an2,b13log1a121444bn1bn3log1an13log1an3log1an13log1q3an4444∴数列{bn}是首项b11,公差d3的等差数列⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分（2）由（1）知，an1)n,bn32(nN*)cn(3n2)1)n,(nN*)⋯⋯6(n(44分Sn114(1)27(1)3(3n5)1)n1(3n2)(1)n,44444于是1Sn1(1)24(1)37(1)4(3n5)1)n(3n2)(1)n1⋯8444444分两式相减得3Sn13[(12(13(1n](3n2)(1)n1444)4)4)41(3n2)(1)n1.Sn212n8(1)n1(nN*)⋯⋯⋯⋯⋯⋯.10分24334（3）cn1cn(3n1)(1)n1(3n2)(1)n9(1n)(1)n1,(nN*)444∴当n=1，c21c14当n2时,cn1cn,即c1c2c3c4cn⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分∴当n=1，cn取最大是1又cn1m2m1对全部正整数n恒建立441m2m11即m24m50得m1或m5⋯⋯⋯⋯16分4420．（本分16分）x3x2bxc(x1)的象点(1,2)，且在x2已知函数f(x)alnx(x1)获得极．3求数b,c的；(2)求f(x)在[1,e]（e自然数的底数）上的最大.解：（1）当x1，f'(x)3x22xb，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分f122bc2由意得：f'20，即344b，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分0393解得：bc0。⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分（2）由（1）知：f(x)x3x2(x1)alnx(x1)①当1x1，f'(x)x(3x2)，解f'(x)0得0x2；解f'(x)0得1x0或2x12323∴f(x)在(1，0),1)上减，在和((0，)上增，33由f'(x)x(3x2)0得：x0或x28分，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3∵f(1)2，f(2)4，f(0)0，f(1)0，327∴f(x)在[1,1)上的最大2.⋯⋯⋯