实际问题与一元二次方程3

21.3实际问题与一元二次方程几何图形与一元二次方程讲授新课几何图形与一元二次方程一引例：要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21cm正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度？(精确到0.1cm)27cm21cm合作探究

分析:这本书的长宽之比

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正中央的矩形长宽之比

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，上下边衬与左右边衬之比

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.979727cm21cm解：设中央长方形的长和宽分别为9a和7a由此得到上下边衬宽度之比为：9727cm21cm解:设上下边衬的9xcm，左右边衬宽为7xcm依题意得解方程得故上下边衬的宽度为:故左右边衬的宽度为:方程的哪个根合乎实际意义?为什么?试一试：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？解:设正中央的矩形两边别为9xcm，7xcm.依题意得27cm21cm解得故上下边衬的宽度为:故左右边衬的宽度为:2032xx解：设道路的宽为x米例2：如图，在一块宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540㎡,求道路的宽为多少？典例精析还有其他解法吗？2032xx解：设道路的宽为x米20-x32-x(32-x)(20-x)=540整理，得x2-52x+100=0解得x1=2,x2=50当x=50时，32-x=-18,不合题意，舍去.∴取x=2答：道路的宽为2米.方法二：

在宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540㎡,求这种方案下的道路的宽为多少？解：设道路的宽为x米(32-x)(20-x)=540可列方程为变式一2032xxx20-x

在宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2,求这种种方案下的道路的宽为多少？解：设道路的宽为x米(32-2x)(20-x)=540可列方程为变式二32-2x2032xxxx20322x2x32-2x20-2x

在宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2,求这种种方案下的道路的宽为多少？解：设道路的宽为x米(32-2x)(20-2x)=540可列方程为变式三我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）.方法点拨解：设AB长是xm.(100-4x)x=400

x2-25x+100=0

x1=5，x2=20

x=20,100-4x=20<25

x=5,100-4x=80>25x=5(舍去)答：羊圈的边长AB和BC的长个是20m,20m.例3：如图：要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB和BC的长个是多少米？DCBA25米变式：如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80平方米？住房墙1m解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x

m，由题意得

x(25-2x+1)=80化简，得x2-13x+40=0解得x1=5,x2=8当x=5时，26-2x=16>12(舍去）当x=8时，26-2x=10<12

故所围矩形猪舍的长为10m,宽为8m.则平行于住房墙的一边长(25-2x+1)m.3.如图，要设计一个宽20cm,长为30cm的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为2∶3

，若使所有彩条的面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？解：设横向彩条的宽度2xcm,竖彩条的宽度3xcm(20-6x)(30-4x)=4006x2-65x+50=0