反比例函数中的面积

反比例函数中的面积问题xy0xy0初三数学组李筱才P(m,n)AoyxP(m,n)Aoyx面积性质1k课前预习，导出新知则垂足为轴的垂线作过上任意一点是双曲线设,,)1()0(),(AxPkxynmP¹=请你思考想一想？P(m,n)AoyxBP(m,n)AoyxB面积性质2k上任意一点是双曲线设)0(),(kxynmP¹=以上两条性质在课本内没有提及，但在这几年的中考中都有出现，所以在这里要把它总结出来。课前预习，导出新知课前预习，导出新知⑶如图③，设P(m，n)关于原点的对称点P′(－m，－n)，过P作x轴的垂线与过P′作y轴的垂线交于A点，则S⊿PAP′=图③

面积性质3热身练习、熟悉新知⑴如图①，点P(m,n)是反比例函数图象上的任意一点，PD⊥x轴于D，则⊿POD的面积为1图①P(m,n)DoyxDo

分析：由性质1，得S⊿OPD=如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，△ABP的面积为2，则这个反比例函数的解析式为

．设疑1A(m,n)oyxBP点评：将△ABO通过“等积变换”同底等高变为△ABP设疑2如图：点A在双曲线上，AB⊥x轴于B，且⊿AOB的面积S⊿AOB=2，则k=-4分析：由性质1可知，S⊿AOB=∴k=±4,∵k<0，∴k=-4设疑3如图，在直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是双曲线上的一个动点，当点B的横坐标逐渐增大时，⊿OAB的面积将会（）A．逐渐增大 B．不变 C．逐渐减小 D．先增大后减小xyOABCC热身练习、熟悉新知图②⑵如图②，点P是反比例函数图象上的一点，过P分别向x轴，y轴引垂线，垂足分别为A,C,阴影部分的面积为3，则这个反比例函数的解析式是

设疑4启发：如果去掉⑵中的“如图”，结论如何？

图②⑵如图②，点P是反比例函数图象上的一点，过P分别向x轴，y轴引垂线段，与x、y轴所围成的矩形的面积是3，则这个反比例函数的解析式是或

？举一反三,在平面直角坐标系内，从反比例函数y=的图象上一点分别作x、y轴的垂线段，与x、y轴所围成的矩形的面积是12，则该函数解析式是

（06山西）或⑶如图③，A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，AC∥y轴，BC∥

x轴，⊿ABC的面积为S，则（）A．S=1B．1<S<2C．S=2D．S>2热身练习、熟悉新知解:由性质(3)可知，S△ABC=2|k|=2图③ACoyxBC设疑4：如图，过反比例函数图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连结OA、OB，设AC与OB的交点为E，⊿AOE与梯形ECDB的面积分别为S1

、S2，比较它们的大小，可得()A．S1>S2B．S1=S2

C．S1<S2D．S1和S2的大小关系不确定设疑5B热身练习、熟悉新知⑷如图④，A、C是函数的图象上的任意两点，过A作x轴的垂线，垂足为B，过C作y轴的垂线，垂足为D，记Rt⊿AOB的面积为S1，Rt⊿OCD的面积为S2，则（）A．S1>S2

B．S1<S2

C．S1=S2

D．S1和S2的大小关系不确定解:由性质1，S⊿OAB=S⊿OCD，可知选C图④oA(m,n)yxCBDC我学我用⑸.如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD的面积为矩形，则它的面积为

.热身练习、熟悉新知2课中研讨探究1：反比例函数与一次函数y=kx+b交于点A(1，8)和B(4，n)，求：⑴这两个函数的解析式；⑵三角形⊿AOB的面积。yxxooABoo解：⑴将A(1，8)代入中得：m=1×8=8，故所求函数解析式为∴B(4,n)将A(1，8)和B(4，2)代入y=kx+b中得：解得：故所求的一次函数的解析式为：y=－2x+10先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法。课中研讨探究1：反比例函数与一次函数y=kx+b交于点A(1，8)和B(4，n)，求：⑴这两个函数的解析式；⑵三角形⊿AOB的面积。⑵解法1：设直线y=－2x+10与x轴、y轴分别交于点C，DyxooABooCD(1，8)(4，2)(5,0)(0，10)则C(5,0)，D(0,10)，于是

S⊿OAB=25

－

5

－5

=15课中研讨探究1：反比例函数与一次函数y=kx+b交于点A(1，8)和B(4，2)，求：⑴这两个函数的解析式；⑵三角形⊿AOB的面积。⑵解法2：如图，过A作AC⊥x轴于C，过B点作BD⊥x轴于D由性质（1）知：S⊿OAC=S⊿OBD=4，∴S⊿OAB=S⊿OAC+S梯形ACDB－S⊿OBD=4+－4=15yxxooABooCD(1，8)(4，2)课中研讨探究1：反比例函数与一次函数y=kx+b交于点A(1，8)和B(4，2)，求：⑴这两个函数的解析式；⑵三角形⊿AOB的面积。yxxooABooCDE⑵解法3：如图，过A作AC⊥x轴于点C，过B点作BD⊥x轴于点D,CA与DB相交于E点，

由A(1，8)和B(4，2)的坐标可知点E的坐标为(4，8)，由性质（1）知，S⊿OAC=S⊿OBD=4，∴S⊿OAB=S矩形ODEC

－S⊿OAC－S⊿OBD－S⊿ABE

=32－4－4－9=15设疑6．如图④，已知双曲线经过长方形OCED的边ED的中点B，交CE于点A，若四边形OAEB的面积为2，则k的值为设疑6图④

2分析：由性质⑴知，S⊿OAC=S⊿OBD=，由S矩形OCED=S⊿OAC+S⊿OBD+SOCED=4S⊿OBD得，，解得，k=22探究2：如图，在x轴的正半轴上依次截取OA=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5，过点A1，A2，A3，A4，A5，分别作x轴的垂线与反比例函数y=2/x(x≠0)的图象相交于点P1，P2，P3，P4，P5，得直角三角形⊿OP1A1，⊿A1P2A2，⊿A2P3A3，⊿A3P4A4，⊿A4P5A5，并设其面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，求S1+S2+S3+S4+S5

的值。课中研讨分析：由性质⑴可知：由OA=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5，可分别得出S2，S3，S4，S5与⊿OP2A2，⊿OP3A3，⊿OP4A4，⊿OP5A5之间的关系，于是S1+S2+S3+S4+S5S⊿OP1A1=S⊿OP2A2=S⊿OP3A3=S⊿OP4A4=S⊿OP5A5=1由此可得出：Sn=当堂检测1．如图①，双曲线经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB交于点D，若梯形ODBC的面积为3，则双曲线的解析式为（）

A．B．C．D．图①B∴K=2分析：由当堂检测2．如图②，点A、B是双曲线上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线，若S3=1，则S1+S2=

图②33S1S2S34分析：由性质2得，S1+S3=S2+S3=3将S3=1代入得，得，S1=S2=2∴S1+S2=43．如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（-6，4），则△AOC的面积为()A．12B．9C．6D．4当堂检测

DBAyxOC↑→分析：∵A(-6,4),由D为OA的中点可知，D（-3,2）∴双曲线的解析式为：由性质1可知，S△OBC=3于是有，S△AOC

+3=S△AOB=12∴S△AOC=9B（-3，2）课堂小结通过这节课的学习，你有什么收获？⑴

反比例函数图象上任意一点“对应的直角三角形”面积S1与k值有什么关系？

⑵反比例函数图象上任意一点“对应的矩形”面积S2与k值有什么关系？

⑶若反比例函数与正比例函数y=kx(k≠0)存在两个交点P(x1，y1)，Q（x2，y2），则点P与点Q有什么关系？

⑷你体会到哪些解题的思想和方法？P(m,n)AoyxP(m,n)Aoyx想一想若将此题改为过P点作y轴的垂线段,其结论成立吗