人教版八年级数学上册期末复习专题课件

第十一章三角形全章热门考点整合应用习题课本章学习的主要知识有三角形和多边形，其中三角形中主要学习了与三角形有关的线段和三角形内角、外角相关的知识，多边形中主要学习了多边形的内角和与外角和，一般考查的题型包括三角形的计数，三角形的三边关系，三角形的中线、高、角平分线，三角形内角和及外角性质，多边形的内角和与外角和等．1考点两个概念1．如图，在△ABC中，D是BC边

上一点，E是AD边上一点．(1)以AC为边的三角形共有____个，它们是____________________________；(2)∠1是△________和△________的内角；(3)在△ACE中，∠CAE的对边是________．概念1与三角形有关的概念3△ACE，△ACD，△ACBBCECDECE2．下列说法正确的是(

)A．由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形B．多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的

内角或外角C．各个角都相等，各条边都相等的多边形是正多

边形D．连接多边形的两个顶点的线段，叫做多边形的对

角线概念2与多边形有关的概念C2考点三种线段3．如图，D为△ABC中AC边上一点，AD＝1，DC＝2，AB＝4，E是AB上一点，且△DEC

的面积等于△ABC面积的一半，求EB的长．线段1三角形的高如图，过点E作EF⊥AC于点F，则过点C作CG⊥AB于点G，则∴解：又∵∴AE＝3，∴BE＝AB－AE＝1，即BE的长为1.同(等)高的两个三角形的面积比等于底边长的比.4．如图，在△ABC中，E是边BC上一点，EC＝2BE，点D是AC的中点．连接AE，BD交于

点F.已知S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF

＝(

)A．1B．2C．3D．4线段2三角形的中线B连接CF.设S△BEF＝x，因为EC＝2BE，点D是AC的中点，所以S△ADF＝S△CDF，S△ABD＝S△BCD＝

S△ABC＝6，S△CEF＝2S△BEF＝2x，所以S△ABF＝S△BCF＝3x.S△ADF＝S△CDF＝6－3x.由图形，得S△AEC＝2S△ABE，即2x＋(6－3x)＋(6－3x)＝2(x＋3x)，解得x＝1，所以6－3x＝6－3×1＝3，所以S△ADF－S△BEF＝2.故选B.5．如图，在△ABC中，AF是中线，AE是角平分

线，AD是高，∠BAC＝90°，FC＝6，则根

据图形填空：(1)BF＝________，BC＝________；(2)∠BAE＝________°，∠CAE＝________°；(3)∠ADB＝________°，∠ADC＝________°线段3三角形的角平分线612454590903考点三个关系6．已知：如图，四边形ABCD是任意四边形，

AC与BD交于点O.试说明：AC＋BD＞(AB

＋BC＋CD＋DA)．关系1三角形的三边关系解：在△OAB中有OA＋OB＞AB，在△OAD中有

，在△ODC中有

，在△________中有

，∴OA＋OB＋OA＋OD＋OD＋OC＋OC＋OB＞AB＋BC＋CD＋DA，即

．∴AC＋BD＞(AB＋BC＋CD＋DA)．OA＋OD＞ADOD＋OC＞CDOBCOB＋OC＞BC2(AC＋BD)＞AB＋BC＋CD＋DA7．已知：如图，在△ABC中，∠C＞∠B，AD，

AE分别是△ABC的高和角平分线．(1)若∠B＝30°，∠C＝50°，求∠DAE的度数；(2)∠DAE与∠C－∠B有何关系？关系2三角形内角、外角的关系∵∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，∠B＝30°，∠C＝50°，∴∠BAC＝180°－30°－50°＝100°.又∵AE是△ABC的角平分线，∴∠BAE＝∠BAC＝50°.∵∠AEC为△ABE的外角，∴∠AEC＝∠B＋∠BAE＝30°＋50°＝80°.∵AD是△ABC的高，∴∠ADE＝90°.∴∠DAE＝90°－∠AEC＝90°－80°＝10°.解：(1)(2)由(1)知，∠DAE＝90°－∠AEC＝90°－

（∠B＋∠BAC）.又∵∠BAC＝180°－∠B－∠C.∴∠DAE＝90°－∠B－(180°－∠B－

∠C)＝(∠C－∠B)．8．如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的

四个外角．若∠A＝120°，则∠1＋∠2＋∠3＋

∠4＝________．关系3多边形内角、外角的关系300°4两种计算考点9．【2015•资阳)等腰三角形的两边长a，b满足|a－4|＋(b－9)2＝0，求这个等腰三角形的周长．计算1三角形中的边角计算∵|a－4|＋(b－9)2＝0，∴|a－4|＝0，(b－9)2＝0.∴a＝4，b＝9.若腰长为4，则4＋4＜9，不能构成三角形．若腰长为9，则9＋4＞9，能构成三角形，∴这个等腰三角形的周长为9＋9＋4＝22.解：10．已知：从n边形的一个顶点出发共有4条对角线；

从m边形的一个顶点出发的所有对角线把m边形

分成6个三角形；正t边形的边长为7，周长为63.

求(n－m)t的值．计算2多边形中的边角计算由题意知n＝4＋3＝7，m＝6＋2＝8，t＝63÷7＝9，所以(n－m)t＝(7－8)9＝(－1)9＝－1.解：5两个技巧考点11．如图，在△ABC中，CE⊥AB于点E，AD⊥BC于点D，且AB＝3，BC＝6，则CE与AD有

怎样的数量关系？技巧1巧用面积法解决问题根据△ABC的面积＝

AB•CE＝

BC•AD，得×3•CE＝×6•AD，所以CE＝2AD.解：12.如图，∠BAK＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋

∠F＋∠MGN＋∠H＋∠K＝________．540°技巧2巧用整体法解决问题连接AG，GD.在△MAG与△MHK中，∵∠MAG＋∠MGA＋∠AMG＝180°，∠H＋∠K＋∠HMK＝180°，∠AMG＝∠HMK，∴∠MAG＋∠MGA＝∠H＋∠K.同理，∠NGD＋∠NDG＝∠E＋∠F.∴∠BAK＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠MGN＋∠E＋∠F＋∠H＋∠K＝∠BAK＋∠MAG＋∠MGA＋∠MGN＋∠NGD＋∠NDG＋∠CDE＋∠C＋∠B＝∠BAG＋∠AGD＋∠GDC＋∠C＋∠B＝540°.6四种思想考点13．如图所示的模板按规定AB，CD的延长线相交

成80°的角，因交点不在板上，不便测量，

但工人师傅测得∠BAE＝122°，∠DCF＝155°，此时，AB，CD的

延长线相交所成的角是否

符合规定？为什么？思想1思想1：转化思想不符合规定，理由如下：延长AB，CD相交于G，∵多边形AEFCG为五边形，∴∠G＝540°－90°－90°－122°－155°＝83°≠80°，∴不符合规定．解：14．阅读两名同学对下题的解答过程．一个等腰

三角形的周长为28cm，其中一边长为8cm，

则这个三角形另外两边的长分别是多少？李明说应这样解：设腰长为xcm，则2x＋8＝28，解得x＝10，所以这个三角形的另外两边

的长均为10cm.张钢说应这样解：设底边长为xcm，则2×8＋x＝28，解得x＝12，所以这

个三角形的另外两边的长分别为8cm，12cm.思想2分类讨论思想试判断李明与张钢两人的解答过程是否正确，若正确，请写出判断的依据；若不正确，请你写出正确的解答过程．李明、张钢两人的解法均不全面.正确的解答过程如下：当该等腰三角形的底边长为8cm时，腰长为(28－8)×＝10(cm)．当该等腰三角形的腰长为8cm时，底边长为28－2×8＝12(cm)．解：本题中没有明确8cm是等腰三角形的底边长还是腰长，需对其进行分情况讨论，并用三角形的三边关系进行验证．根据三角形三边关系可验证这两种情况均成立．所以这个三角形的另外两边的长是10cm，10cm或8cm，12cm.15.在△ABC中，∠B＝20°＋∠A，∠C＝∠B

－10°，求∠A的度数．思想3方程思想∠C＝∠B－10°＝20°＋∠A－10°＝10°＋∠A，所以∠A＋∠B＋∠C＝∠A＋20°＋∠A＋10°＋∠A＝3∠A＋30°＝180°，所以∠A＝50°.解：16．三角形没有对角线，四边形ABCD有2条对角

线AC和BD(如图①)，五边形ABCDE有5条对

角线AC，AD，BE，BD，CE(如图②)．想一

想：六边形(如图③)有几条对角线？n边形有

几条对角线？思想4从特殊到一般的思想六边形有9条对角线，由四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，六边形有9条对角线，推断n边形有

条对角线．解：第十二章全等三角形全章热门考点整合应用习题课本章主要学习了全等三角形的性质与判定及角平分线的性质与判定，对于三角形全等主要考查利用全等三角形证明线段或角的等量关系，以及判断位置关系等，对于角平分线主要考查利用角平分线的性质求距离、证线段相等．1考点两个概念1．如图，将标号为A，B，C，D的正方形沿图

中的虚线剪开后，得到标号为N，Q，M，P

的四个图形，填空：

A与________对应；B与________对应；

C与________对应；D与________对应．概念1全等形MQNP2．如图，已知△ABE与△ACD全等，∠1＝∠2，∠B＝

∠C，指出全等三角形中的对应边和对应角．概念2全等三角形AB与AC，AE与AD，BE与CD是对应边；∠B与∠C，∠2与∠1，∠BAE与∠CAD是对应角．解：3．如图所示，已知△ABD≌△ACD，且B，D，C

在同一条直线上，那么AD与BC有怎样的位置关

系？为什么？同类变式2考点两个性质4．【中考•天水】(1)如图①，已知△ABC，以

AB，AC为边分别向△ABC外作等边△ABD

和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图

形(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)，

并证明：BE＝CD；性质1全等三角形的性质点(2)如图②，已知△ABC，以AB，AC为边分别向

△ABC外作正方形ABFD和正方形ACGE，连

接BE，CD，猜想BE与CD有什么数量关系？

并说明理由．(1)完成作图，如图所示．解：证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°.∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB.∴△CAD≌△EAB.∴CD＝EB，即BE＝CD.(2)BE＝CD.理由如下：∵四边形ABFD和四边形ACGE都是正方形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°.∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即

∠CAD＝∠EAB.∴△CAD≌△EAB.∴CD＝EB，即BE＝CD.5．如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，

点F在CD上，∠EAF＝∠BAE.求证：AF＝

BC＋FC.性质2角平分线的性质点如图，过点E作EG⊥AF，垂足为点G.连接EF.∵∠BAE＝∠EAF，∴AE为∠BAF的平分线．又∵EB⊥AB，EG⊥AF，∴EB＝EG.在Rt△ABE和Rt△AGE中，EB＝EG，AE＝AE，∴Rt△ABE≌Rt△AGE(HL)，∴AB＝AG.证明：点∵在正方形ABCD中，AB＝BC，∴BC＝AG.又∵点E是BC的中点，∴BE＝EC＝EG.在Rt△EGF和Rt△ECF中，EG＝EC，EF＝EF，∴Rt△EGF≌Rt△ECF(HL)．∴GF＝CF，∴AF＝AG＋GF＝BC＋FC.3两个判定考点6．课间，小明拿着老师的等腰直角三角尺玩，不

小心掉到两堆砖块之间，如图所示．(1)求证：△ADC≌△CEB；(2)已知DE＝35cm，请你帮

小明求出砖块的厚度a的

大小(每块砖的厚度相同)．判定1全等三角形的判定由题意得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∠ACD＋∠BCE＝90°.∴∠ACD＋∠CAD＝90°，∴∠BCE＝∠CAD.在△ADC和△CEB中，

∠ADC＝∠CEB，∠CAD＝∠BCE，AC＝CB，∴△ADC≌△CEB(AAS)．(1)证明：由题意得AD＝4a，BE＝3a.由(1)知△ADC≌△CEB，∴DC＝BE＝3a，CE＝AD＝4a，∴DE＝DC＋CE＝7a.∵DE＝35cm，∴a＝5cm.答：砖块的厚度a为5cm.(2)解：7．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF.(1)求证：AD平分∠BAC；(2)猜想写出AB＋AC与AE之间的数量关系并给

予证明．判定2角平分线的判定∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴∠E＝∠AFD＝∠DFC＝90°，在Rt△BDE和Rt△CDF中，∵BD＝CD，BE＝CF，∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE＝DF，∴AD平分∠BAC.(1)证明：AB＋AC＝2AE.证明如下：由(1)可知AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠CAD.在△AED与△AFD中，∵∠EAD＝∠CAD，∠E＝∠AFD＝90°，AD＝AD，∴△AED≌△AFD，∴AE＝AF.又∵BE＝CF，∴AB＋AC＝AE－BE＋AF＋CF

＝AE＋AE＝2AE.(2)解：4四个技巧考点8．如图∠BAC是钝角，AB＝AC，D，E分别在AB，AC上，且CD＝BE.求证：∠AEB＝∠ADC.技巧1构造全等三角形法点过点B，C分别作CA，BA延长线的垂线，垂足分别为F，G.在△ABF和△ACG中，∠BFA＝∠CGA＝90°，∠FAB＝∠GAC，AB＝AC，∴△ABF≌△ACG(AAS)．∴BF＝CG.证明：点在Rt△BEF和Rt△CDG中，BF＝CG，BE＝CD，∴Rt△BEF≌Rt△CDG(HL)．∴∠AEB＝∠ADC.判定两个三角形全等时，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．同类变式9．如图，AB＝DC，∠A＝∠D，求证：∠ABC

＝∠DCB.10．【中考•黄冈】已知：如图，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，

求证：DE＝DF.技巧2构造角平分线法点连接AD.∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD，∴∠BAD＝∠CAD，∴AD是∠EAF的平分线．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.证明：11．如图，AB∥CD，CE，BE分别平分∠BCD和

∠CBA，点E在AD上，求证：BC＝AB＋CD.技巧3截长(补短)法点(方法一——截长法)如图①，在BC上取一点F，使BF＝BA.连接EF，∵CE，BE分别平分∠BCD，∠CBA，∴∠3＝∠4，∠1＝∠2.在△ABE和△FBE中，BA＝BF，∠1＝∠2，BE＝BE.证明：点∴△ABE≌△FBE(SAS)．∴∠A＝∠5.∵AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°，而∠5＋∠6＝180°，∴∠6＝∠D.在△EFC和△EDC中，∠6＝∠D，∠3＝∠4，EC＝EC，∴△EFC≌△EDC(AAS)，∴FC＝DC，∴BC＝BF＋CF＝AB＋CD.点(方法二——补短法)如图②，延长BA至点F，使BF＝BC，连接EF，∵CE，BE分别平分∠BCD，∠CBA，∴∠1＝∠2＝∠ABC，∠3＝∠4＝∠BCD.在△BEF和△BEC中，点

BF＝BC，∠1＝∠2，

BE＝BE，∴△BEF≌△BEC(SAS)．∴EF＝EC，∠F＝∠3＝∠4.∵AB∥CD，∴∠7＝∠D.在△AEF和△DEC中，点∠7＝∠D，∠F＝∠4，

EF＝EC.∴△AEF≌△DEC(AAS)，∴AF＝CD.∵BC＝BF＝AB＋AF，∴BC＝AB＋CD.12．如图，CE，CB分别是△ABC，△ADC的中线，

且∠ACB＝∠ABC.求证：CD＝2CE.技巧4倍长中线法点如图，延长CE到点F，使EF＝CE，连接FB，则CF＝2CE.∵CE是△ABC的中线，∴AE＝BE.在△BEF和△AEC中，BE＝AE，∠BEF＝∠AEC，EF＝EC，∴△BEF≌△AEC(SAS)．∴∠EBF＝∠EAC，BF＝AC.证明：点过点A作AG⊥BC于点G，则∠AGC＝∠AGB＝90°.∵∠ABC＝∠ACB，AG＝AG，∴△AGC≌△AGB.∴AC＝AB.又∵∠ABC＝∠ACB，∴∠CBD＝∠BAC＋∠ACB＝∠EBF＋∠ABC＝∠CBF.∵CB是△ADC的中线，∴AB＝BD.又∵AB＝AC，AC＝BF，∴BF＝BD.点在△CBF和△CBD中，CB＝CB，∠CBF＝∠CBD，BF＝BD，∴△CBF≌△CBD(SAS)．∴CF＝CD.∴CD＝2CE.5两种思想考点13．如图，某段河流的两岸是平行的，数学兴趣

小组在老师的带领下不用涉水过河就测到了

河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵

树A；②沿河岸直走20步有一棵树C，继续前

行20步到达D处；③从D处沿岸垂直的方向行思想1建模思想走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得DE的长就是河宽AB.请你证明他们做法的正确性．点由做法知：在△ABC和△EDC中，∠ABC＝∠EDC＝90°，

BC＝DC，∠ACB＝∠ECD，∴△ABC≌△EDC(ASA)．∴AB＝ED，即他们的做法是正确的．证明：14．如图，已知AB＝AE，∠C＝∠D，BC＝ED，点F是CD的中点，则AF平分∠BAE，为什么？思想2转化思想连接BF，EF.∵点F是CD的中点，∴CF＝DF.在△BCF和△EDF中，BC＝ED，∠C＝∠D，CF＝DF，∴△BCF≌△EDF(SAS)．∴BF＝EF.解：在△ABF和△AEF中，AB＝AE，BF＝EF，AF＝AF，∴△ABF≌△AEF(SSS)．∴∠BAF＝∠EAF.∴AF平分∠BAE.第十三章对称轴全章热门考点整合应用习题课

本章内容在中考试题中一直占有重要的地位，属必考内容，多以选择题，填空题的形式出现，其考查内容主要有轴对称和轴对称图形的识别，最短距离问题，与翻折有关的计算和证明题等．1考点两个概念1．【中考•赤峰】下列图形是由我们熟悉的一些

基本数学图形组成的，其中是轴对称图形的

是________．(填序号)概念1轴对称图形①②③④2．【中考•北京】甲骨文是我国的一种古代文字，

是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对

称的是(

)同类变式D3．观察图①～④中的左右两个图形，它们是否成轴对称？如果是，请画出其对称轴．概念2轴对称点题图①②③中的左右两个图形成轴对称，题图④中的左右两个图形不成轴对称．题图①②③中成轴对称的两个图形的对称轴如图所示．解：点判断两个图形是否成轴对称，关键是理解、应用两个图形成轴对称的定义，即看两个图形能否沿一条直线折叠后重合．若重合，则两个图形关于这条直线成轴对称，否则不成轴对称．2考点五个性质4．如图，将四边形纸片ABCD沿AE向上折叠，

使点B落在DC边上的点F处．若△AFD的周

长为24cm，△ECF的周长为8cm，求四边形

纸片ABCD的周长．性质1轴对称的性质点由题意可知，△ABE和△AFE关于直线AE成轴对称，所以AB＝AF，BE＝FE.因为△AFD的周长为24cm，△ECF的周长为8cm，即AD＋DF＋AF＝24cm，FC＋CE＋FE＝8cm，所以四边形纸片ABCD的周长为AD＋DC＋BC＋AB＝AD＋DF＋FC＋CE＋BE＋AB＝(AD＋DF＋AF)＋(FC＋CE＋FE)＝24＋8＝32(cm)．解：如图，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC.

若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC

的度数是(

)A．100°B．80°C．70°D．50°性质2等腰三角形的性质A点(方法一)因为DA＝DB，所以∠DBA＝∠DAB＝20°.因为DA＝DC，所以∠DCA＝∠DAC＝30°.在△ABC中，有∠DBC＋∠DCB＝180°－2×20°－2×30°＝80°.所以∠BDC＝180°－(∠DBC＋∠DCB)＝180°－80°＝100°.点(方法二)在△ADB中，由方法一可得∠ADB＝180°－2×20°＝180°－40°＝140°.同理∠ADC＝180°－2×30°＝120°.所以∠BDC＝360°－140°－120°＝100°.故选A.6．如图，已知△ABC和△BDE均为等边三角形，

试说明：BD＋CD＝AD.性质3等边三角形的性质点因为△ABC，△BDE均为等边三角形，所以BE＝BD＝DE，AB＝BC，∠ABC＝∠EBD＝60°.所以∠ABE＋∠EBC＝∠DBC＋∠EBC.所以∠ABE＝∠DBC.在△ABE和△CBD中，AB＝CB，∠ABE＝∠CBD，BE＝BD，解：点所以△ABE≌△CBD(SAS)．所以AE＝CD.又因为AD＝AE＋ED，ED＝BD，所以BD＋CD＝AD.7．如图，直线PG为△ABC的边BC的垂直平分线，

∠PBC＝∠A，BP，CP的延长线分别交AC，AB于点D，E.试说明：BE＝CD.性质4线段垂直平分线的性质如图，在BD上截取BE′，使BE′＝CE，连接CE′.因为直线PG为BC的垂直平分线，所以PB＝PC.所以∠PBC＝∠PCB，PE′＝PE.又因为∠BPE＝∠CPE′，所以△BPE≌△CPE′(SAS)．所以BE＝CE′，∠EBP＝∠E′CP.因为∠CDE′＝∠A＋∠ABP，∠CE′D＝∠E′BC＋∠BCE′＝2∠PBC＋∠E′CP＝∠A＋∠E′CP，所以∠CDE′＝∠CE′D.所以CD＝CE′.所以BE＝CD.解：8．如图，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，

∠A＝60°，作DC∥AB，且∠DBC＝∠BDC，DC与BC交于点C，CD＝4.

求：(1)∠CBD的度数；(2)AB的长．性质5含30°角的直角三角形的性质在Rt△ADB中，∵∠A＝60°，∠ADB＝90°，∴∠ABD＝30°.∵AB∥CD，∴∠CDB＝∠ABD＝30°.又∵∠DBC＝∠BDC，∴∠CBD＝∠CDB＝30°.如图，过点C作CM⊥BD于点M，交AB于点E，连接DE，∵∠DBC＝∠BDC，∴BC＝CD，又∵CM⊥BD，∴DM＝MB.解：(1)(2)∴CE为线段BD的垂直平分线，∴DE＝EB，∴∠EDB＝∠EBD＝30°.∵∠CDM＝30°，∠CMD＝90°，∴CM＝

CD＝×4＝2.又∵∠EBM＝∠CBM＝30°，∠EMB＝∠CMB＝90°，BM＝BM，∴△EBM≌△CBM，∴EM＝CM＝2.∵∠EDM＝30°，∠EMD＝90°，∴DE＝2EM＝4.∵∠DEA＝∠EDB＋∠EBD＝60°，∠A＝60°，∴∠DEA＝∠A.∴AD＝DE＝4.又∵∠ADB＝90°，∠ABD＝30°，∴AB＝2AD＝8.含30°角的直角三角形的性质常与直角三角形的两个锐角互余同时运用，此性质是求线段长度和证明线段倍分问题的重要依据．3三个判定考点9．如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，AE∶EM∶MB＝1∶2∶1，AD∶DN∶NC＝1∶2∶1，连接MD，NE交于点O，求证：△OMN是等腰三角形．判定1等腰三角形的判定在△ABC中，因为AB＝AC，且AE∶EM∶MB＝1∶2∶1，AD∶DN∶NC＝1∶2∶1，所以AD＝

AC，AE＝

AB＝

AC，所以AE＝AD.同理AM＝AN.在△ADM与△AEN中，AD＝AE，∠MAD＝∠NAE，AM＝AN，证明：所以△ADM≌△AEN，所以∠AMD＝∠ANE.又因为AM＝AN，所以∠AMN＝∠ANM，所以∠AMN－∠AMD＝∠ANM－∠ANE，即∠OMN＝∠ONM，所以OM＝ON，所以△OMN是等腰三角形．10．如图，设在一个宽度AB＝a的小巷内，一个梯

子的长度为b，梯子的脚位于P点，将该梯子的

顶端放于一面墙上的Q点时，Q点离地面的高

为c，梯子与地面的夹角为45°，

将梯子顶端放于另一面墙上的R

点时，离地面的高度为d，此时

梯子与地面的夹角为75°，则d

＝a，为什么？判定2等边三角形的判定连接RQ，RB，设BR与PQ交于点M.∵∠RPA＝75°，∠QPB＝45°，∴∠RPQ＝180°－75°－45°＝60°.又∵PR＝PQ，∴△PRQ为等边三角形．∴RP＝RQ.在Rt△BPQ中，∵∠BPQ＝45°，∴∠BQP＝90°－45°＝45°，解：∴∠BPQ＝∠BQP，∴BP＝BQ.∴点R，B在PQ的垂直平分线上，∴BM⊥PQ.在Rt△BMP中，∵∠BPQ＝45°，∴∠RBA＝45°.在Rt△RAB中，∵∠ARB＝90°－∠RBA＝45°，∴∠ARB＝∠RBA，∴AR＝AB，即d＝a.点若两个点到线段两端点的距离相等，则这两点确定的直线是该线段的垂直平分线．11．如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，EF交AD于点M，试说明：AD垂

直平分EF.判定3线段垂直平分线的判定因为AD为△ABC的角平分线，DE⊥AC，DF⊥AB，所以DE＝DF.所以点D在线段EF的垂直平分线上．因为∠FAD＝∠EAD，∠AFD＝∠AED＝90°，AD＝AD，所以△AFD≌△AED.所以AF＝AE.所以点A在线段EF的垂直平分线上．∴根据两点确定一条直线可知，AD即为EF的垂直平分线，即AD垂直平分EF.解：4两个应用考点12．如图，A，B，C三点表示三个村庄，为了解

决村民子女就近入学的问题，计划新建一所

小学，要使学校到三个村庄距离相等，请你

在图中确定学校的位置．应用1线段垂直平分线的应用作法：(1)连接AB，BC；(2)分别作AB，BC的垂直平分线交于点P，则点P就是所要确定的学校的位置，如图．解：点三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这点到三个顶点的距离相等．找三角形中到三个顶点距离相等的点的方法就是找任意两边的垂直平分线的交点．13．如图，A，B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A，B的距离之差最大，并说明

理由．应用2最短与最长路径的应用如图，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B并延长交l于点C，则点C即为所求．理由：在直线l上任找一点C′(异于点C)，连接CA，C′A，C′A′，C′B.解：因为点A，A′关于直线l对称，所以l为线段AA′的垂直平分线．则有CA＝CA′，所以CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点C′在l上，所以C′A＝C′A′.在△A′BC′中，C′A′－C′B＜A′B，所以C′A－C′B＜CA－CB.5两种思想考点14．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，在

△ABC外部分别作等边三角形ADB和等边三

角形ACE.若∠DAE＝∠DBC，求△ABC三个

内角的度数．思想1方程思想因为△ADB和△ACE都是等边三角形，所以∠DAE＝∠DAB＋∠BAC＋∠CAE＝60°＋∠BAC＋60°＝120°＋∠BAC，∠DBC＝60°＋∠ABC.又因为∠DAE＝∠DBC，所以120°＋∠BAC＝60°＋∠ABC，即∠ABC＝60°＋∠BAC.又因为△ABC是等腰三角形，所以∠ACB＝∠ABC＝60°＋∠BAC.解：设∠BAC＝x°，因为∠BAC＋2∠ABC＝180°，则x＋2(x＋60)＝180，解得x＝20.所以∠ACB＝∠ABC＝60°＋∠BAC＝60°＋20°

＝80°.所以△ABC三个内角的度数分别为20°，80°，80°.15．在等腰三角形ABC中，∠A比∠B的2倍少50°，

求∠B的度数．思想2分类思想设∠B＝x°.因为∠A比∠B的2倍少50°，所以∠A＝2x°－50°.因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以∠C＝180°－(2x°－50°)－x°

＝230°－3x°.解：当AB＝AC时(如图①)，此时有∠B＝∠C，则x＝230－3x.解得x＝57.5.当AB＝BC时(如图②)，此时有∠A＝∠C，则2x－50＝230－3x.解得x＝56.当AC＝BC时(如图③)，此时有∠A＝∠B，则2x－50＝x.解得x＝50.综上所述，∠B为57.5°或56°或50°.点本题要求的是等腰三角形的内角，这类问题通常要分类讨论．怎样讨论是解题的重点和难点．本题巧妙地采用设未知数的方法，使得三个角都能用含未知数的式子来表示，再根据等腰三角形顶角、底角的情况进行分类．第十四章整式的乘法与因式分解全章热门考点整合应用习题课本章的主要内容是整式的乘(除)法运算、乘法公式以及因式分解．本章的重点：整式的乘(除)法法则、乘法公式和因式分解．本章的难点：乘法公式的灵活运用、添括号法则及运用提公因式法和公式法进行因式分解．其主要热门考点可概括为：两个概念、两个运算、两个公式、两个应用、四个技巧、三种思想．1考点两个概念1．(1)若＝(－2016)0，则p＝__________；(2)若(x－2)0＝1，则x应满足的条件是_____．概念1零指数幂－4或－2x≠22．解方程：(x－4)x－1＝1.同类变式由“任何不等于0的数的0次幂都等于1”“1的任何次幂都等于1”和“－1的偶次幂等于1”知有三种情况：(1)当x－1＝0且x－4≠0时，x＝1；(2)当x－4＝1时，x＝5；(3)当x－4＝－1且x－1为偶数时，x＝3.综上所述，x＝1或x＝5或x＝3.解：3．下列由左到右的变形，是因式分解的是(

)A．(a＋6)(a－6)＝a2－36B．x2－8x＋16＝(x－4)2C．a2－b2＋1＝(a＋b)(a－b)＋1D．(x－2)(x＋3)＝(x＋3)(x－2)概念2因式分解B4．若x2＋3x＋c分解因式的结果为(x＋1)(x＋2)，

则c的值为(

)

A．2B．3C．－2D．－3同类变式2考点两个运算5．计算：(1)【中考•资阳】(－a2b)2＝________；(2)52016×(－0.2)2017＝________；(3)(2π－6)0＝________；(4)(－3)2016＋(－3)2017＝___________．运算1幂的运算法则及其逆用－2×320161a4b2

－0.2

6．计算：(－0.125)2017×82018；同类变式原式＝(－0.125)2017×82017×8＝(－0.125×8)2017×8＝－8.解：7．已知10x＝5，10y＝6，求103x＋2y的值．同类变式103x＋2y＝103x•102y＝(10x)3•(10y)2＝53×62＝4500.解：同类变式(x＋y)3(2x＋2y)3(3x＋3y)3＝(x＋y)3•[2(x＋y)]3•[3(x＋y)]3＝(x＋y)3•8(x＋y)3•27(x＋y)3＝216(x＋y)9＝216a9.解：8．已知x＋y＝a，试求(x＋y)3(2x＋2y)3(3x＋3y)3

的值．9．计算：(1)(2a＋5b)(a－3b)；(2)(x＋1)(x2－x＋1)；(3)(3x－2y)(y－3x)－(2x－y)(3x＋y)．运算2整式的运算点(1)原式＝2a2－6ab＋5ab－15b2＝2a2－ab－15b2.(2)原式＝x3－x2＋x＋x2－x＋1＝x3＋1.(3)原式＝(－9x2＋9xy－2y2)－(6x2－xy－y2)＝－15x2＋10xy－y2.解：10．计算：5ab2－{2a2b－[3a2b－ab（b－2a）]÷（－

ab）}.同类变式3考点两个公式11．(x－1)(x＋1)(x2＋1)－(x4＋1)的值是(

)A．－2x2

B．0

C．－2

D．－1公式1平方差公式C同类变式(m3＋2n)(m3－2n)＋(2n－4)(2n＋4)＝(

m3)2－(2n)2＋(2n)2－16＝

m6－4n2＋4n2－16＝

m6－16.故原式的值和n无关．解：12．试说明(m3＋2n)(m3－2n)＋(2n－4)(2n＋4)

的值和n无关．同类变式13．求2(3＋1)(32＋1)(34＋1)•…•(364＋1)＋1的个位

数字．同类变式14．分解因式：(1)(3x＋1)2－(x－3)2；(2)x2(x－y)2－4(y－x)2.同类变式15．利用因式分解进行计算：(1)3.14×512－3.14×492；(2)16．计算：(1)(3a＋b－2)(3a－b＋2)；(2)【中考•重庆】2(a＋1)2＋(a＋1)(1－2a)．公式2完全平方公式(1)(3a＋b－2)(3a－b＋2)＝[3a＋(b－2)][3a－(b－2)]＝(3a)2－(b－2)2＝9a2－b2＋4b－4.解：(2)原式＝2(a2＋2a＋1)＋(a－2a2＋1－2a)＝2a2＋4a＋2＋a－2a2＋1－2a＝3a＋3.同类变式17．(1)已知x＝5－y，求2x2＋4xy＋2y2－7的值；(2)已知a2＋2ab＋b2＝0，求a(a＋4b)－(a＋2b)•(a－2b)的值．4考点两个应用18．对于任意自然数n，(n＋7)2－(n－5)2是否能

被24整除？应用1应用因式分解解整除问题(n＋7)2－(n－5)2＝[(n＋7)＋(n－5)][(n＋7)－(n－5)]＝(n＋7＋n－5)(n＋7－n＋5)＝(2n＋2)×12＝24(n＋1)．因为n为自然数，24(n＋1)中含有24这个因数，所以(n＋7)2－(n－5)2能被24整除．解：19．已知△ABC的三边长a，b，c满足a2－b2＝ac

－bc，试判断△ABC的形状．应用2应用因式分解解几何问题因为a2－b2＝ac－bc，所以(a－b)(a＋b)＝c(a－b)．所以(a－b)(a＋b)－c(a－b)＝0.所以(a－b)(a＋b－c)＝0.因为a，b，c是△ABC的三边长，所以a＋b－c≠0.所以a－b＝0.所以a＝b.所以△ABC为等腰三角形．解：5考点四个技巧20．已知m，n满足(m＋n)2＝169，(m－n)2＝9，

求m2＋n2－mn的值．技巧1巧用乘法公式计算因为(m＋n)2＋(m－n)2＝m2＋2mn＋n2＋m2－2mn＋n2＝2(m2＋n2)，所以2(m2＋n2)＝169＋9＝178，所以m2＋n2＝89.解：因为(m＋n)2－(m－n)2

＝m2＋2mn＋n2－m2＋2mn－n2

＝4mn，所以4mn＝169－9＝160，所以mn＝40.所以m2＋n2－mn＝89－40＝49.21．因式分解：(1)a2－ab＋ac－bc；(2)x3＋6x2－x－6.技巧2分组后用提公因式法(1)按公因式分组，第一、二项有公因式a，第三、四项有公因式c，各自提取公因式后均剩下(a－b)；(2)按系数特点分组，由系数特点知第一、三项为一组，第二、四项为一组．思路导引：点(1)原式＝a(a－b)＋c(a－b)

＝(a－b)(a＋c)．(2)原式＝(x3－x)＋(6x2－6)

＝x(x2－1)＋6(x2－1)

＝(x2－1)(x＋6)

＝(x＋1)(x－1)(x＋6)．解：22．因式分解：(1)x2－y2－2x－4y－3；(2)x4＋4.技巧3拆、添项后用公式法(1)原式＝x2－y2－2x－4y－4＋1＝(x2－2x＋1)－(y2＋4y＋4)＝(x－1)2－(y＋2)2＝[(x－1)＋(y＋2)]•[(x－1)－(y＋2)]＝(x＋y＋1)(x－y－3)．解：(2)原式＝x4＋4x2－4x2＋4＝(x4＋4x2＋4)－4x2＝(x2＋2)2－(2x)2＝(x2＋2x＋2)(x2－2x＋2)．拆项和添项是在因式分解难以进行的情况下的一种辅助方法，通过适当的“拆项”或“添项”后再分组，以达到因式分解的目的．23．因式分解：(m2－2m－1)(m2－2m＋3)＋4.技巧4换元法令m2－2m＝y，则原式＝(y－1)(y＋3)＋4＝y2＋2y－3＋4＝y2＋2y＋1＝(y＋1)2.将y＝m2－2m代入上式，则原式＝(m2－2m＋1)2＝(m－1)4.解：6考点三种思想24．(1)已知2m－1＝2，求3＋4m的值；(2)已知x－y＝7，xy＝10，求x2＋y2的值．思想1整体思想(1)因为2m－1＝2，所以2m＝3.所以3＋4m＝3＋(22)m＝3＋(2m)2＝3＋32＝12.(2)因为x2＋y2＝(x－y)2＋2xy，x－y＝7，xy＝10，所以原式＝72＋2×10＝69.解：点本题运用了整体思想，将2m，x－y，xy整体代入求出式子的值．25．计算：(1)(2x－1)(4x2＋2x＋1)；(2)(x＋y＋z)2.思想2转化思想(1)(2x－1)(4x2＋2x＋1)＝(2x－1)•4x2＋(2x－1)•2x＋(2x－1)•1＝8x3－4x2＋4x2－2x＋2x－1＝8x3－1.解：(2)(x＋y＋z)2＝[(x＋y)＋z]2＝(x＋y)2＋2z(x＋y)＋z2＝x2＋2xy＋y2＋2xz＋2yz＋z2.26．若2×8m×16m＝229，则m的值是(

)A．3B．4C．5D．6思想3方程思想B同类变式27．已知px2－60x＋25＝(qx－5)2，求p，q的值．(qx－5)2＝(qx)2－2•5•(qx)＋25＝q2x2－10qx＋25.因为px2－60x＋25＝(qx－5)2，所以px2－60x＋25＝q2x2－10qx＋25，所以p＝q2，－60＝－10q，解得q＝6，p＝36.解：若两个多项式相等，则对应项的系数相等．第十五章分式全章热门考点整合应用习题课本章主要考查分式的概念、分式有意义的条件、分式的性质及运算，考试中题型以选择题、填空题为主，分式的化简求值主要以解答题的形式出现．分式方程是中考的必考内容之一，一般着重考查解分式方程，并要求会用增根的意义解题，常以解答题的形式出现，有时也会出现在选择题和填空题中．其主要考点可概括为：三个概念、一个性质、一种运算、一个解法、一个应用、四种思想．1考点三个概念1．下列说法中，正确的是(

)A．分式的分子中一定含有字母B．分母中含有字母的式子是分式C．分数一定是分式D．当A＝0时，分式

的值为0(A，B为整式)概念1分式B2．若式子

不论x取任何数总有意义，则m的取值范围是(

)A．m≥1B．m>1C．m≤1D．m<1同类变式3．关于x的方程：①;②

；③

；④;⑤

；⑥