一元线性回归模型的参数检验

一元线性回归模型的参数检验第一页，共十七页，2022年，8月28日模型性质总体回归模型样本回归模型回归对象总体回归函数回归对象是总体数据样本回归函数回归对象是样本数据参数估计的内涵总体回归函数的内涵是总体中解释与被解释变量之间的结构关系样本回归函数的内涵是样本中解释与被解释变量之间的结构关系计算方法与估计特点总体回归模型是用求条件期望E(Y|X)方法求出参数估计值，参数估计值是不变的。样本回归模型是用最小二乘方法求出参数估计值，参数估计值是随样本变化而变化的。两者之间的内在联系样本回归模型是总体回归函数的估计。有确定形式和随机形式。总体回归模型是反映社会经济现象的内在规律，通常是未知的，样本回归函数反映的正是总体回归函数。有确定形式和随机形式两者形式。第二页，共十七页，2022年，8月28日红线表示总体回归函数，黑线表示样本回归函数第三页，共十七页，2022年，8月28日一元线性回归模型的估计：最小二乘估计1、最小二乘估计的思想：样本回归线上的点与真实观测值的总体误差为最小，即样本点到回归直线的距离平方和为最小。2、记住正规方程组

3、一元线性回归模型最小二乘估计的性质：线性性、无偏性和有效性第四页，共十七页，2022年，8月28日一元线性回归模型的检验一、假设检验的回顾假设检验是根据研究的需要，对社会经济现象提出一个参数假设，然后利用样本数据构造统计量，判断这个假设是否成立的统计过程。例如：某企业的人力资源部门估计该企业80%的员工是有潜力可挖的，为了检验这一说法是否可靠，随机抽取150名员工，经过严格的考评，结果显示70%的员工存在不同程度的潜力，问当时，“80%的员工尚存在潜力”是否成立。

第五页，共十七页，2022年，8月28日问题的分析该企业人力资源部门根据自身管理的需要提出了一个假设“80%的员工存在可挖的潜力”，我们把这个假设称为原假设，计为，它的对立面“没有80%的员工存在可挖的潜力”称为原假设的备择假设，计为，，称为显著水平。现在我们来检验原假设对不对。解：构造并计算检验统计量，得：

第六页，共十七页，2022年，8月28日问题分析上式中z是服从标准正态分布的，其分布密度函数图像是第七页，共十七页，2022年，8月28日Z=-3.0581,在原假设成立下，z服从标准正态分布，或的概率是0.05是小概率事件，根据小概率事件在一次试验不发生的原理，事件不应该发生，现在发生了，故认为原假设不成立，因此我们拒绝原假设故认为“80%的员工尚存在潜力”的说法不成立。在上述检验中，称为拒绝域，由于拒绝域在密度函数的两侧，故称上述检验为双侧检验。同样，若拒绝域在一边，这样的检验称为单侧检验。第八页，共十七页，2022年，8月28日二、拟合优度检验在上一节课中，讲了例，得到样本回归函数是，表示居住这个社区的人，收入每增加一元钱，其消费将平均增加0.777元。但是现在这个模型还不能用，需要进行检验。对回归模型的检验主要有两个方面的检验：拟合优度检验和回归系数检验。拟合优度检验是检验模型总体上拟合的好坏。检验方法：（1）可决系数法（2）F检验首先定义总平方和SST

（1）

第九页，共十七页，2022年，8月28日总平方和表示样本数据离它的重心的距离平方和，代表着样本全体信息，（1）表示样本信息可以分解为两个部分：回归平方和与残差平方和。称为残差平方和，计作SSE而称为回归平方和，计作SSR。回归平方和表示用回归函数值代替样本值后，距离样本重心的距离平方和，该值愈大表明回归效果愈好，反之，有相反的结论。残差平方和表示回归值与样本真实值之间差的平方和，该值愈小，表明回归效果愈好，反之，有相反的结论成立。根据上述，定义可决系数如下：

通常大于0且小于1，可决系数越大，表明回归方程总体上拟合的越好，反之，有相反的结论。通常，认为模型总体上拟合得较好。第十页，共十七页，2022年，8月28日F检验对于回归方程拟合优度检验，除了用判决系数外，还可以用F检验方法来检验模型拟合得好不好，检验的方法和步骤是：：Y与X没有线性关系Y与X有线性关系构造检验统计量第十一页，共十七页，2022年，8月28日在原假设成立时，F统计量服从第一自由度是1，第二自由度是n-2的F分布，这时，的概率是（通常是0.05）是小概率事件，根据假设检验原理，应该拒绝原假设，接受备择假设，即认为Y与X之间存在线性关系。也就是回归方程成立。（如图所示）第十二页，共十七页，2022年，8月28日例2.1.1讲解从例2.1.1知，F=28559.235大于显著性水平为0.05时的F统计量的值3.94。故我们拒绝原假设，认为Y与X之间有线性关系成立。即回归方程显著。第十三页，共十七页，2022年，8月28日三、变量显著性检验在回归分析中，我们不但要对模型总体显著性检验（拟合优度检验），还要对模型的回归系数进行检验，对于一元线性回归分析模型来说，其检验的原假设和备择假设分别是构造的检验统计量是

第十四页，共十七页，2022年，8月28日

在原假设成立的条件下，t统计量服从自由度为n-2的t分布，当时，拒绝原假设，认为备择假设成立，即检验情况如下图所示。第十五页，共十七页，2022年，8月28日例2.1.1讲解在例2.1.1中,的t统计量值是53.471大于临界值1.98。故拒绝原假设，接受备择假设，认为回归系数显著，即注：在一元线性回归分析中，回归系数检验与回归方程检验是等价的，即回归方程显著，在同一显著性水平下，回归系数也显著，反之，有相同的结论成立。第十六页，共十七页，2022年，8月28日DependentVariable:Y Method:LeastSquares Date:09/28/10Time:11:08 Sample:131 Includedobservations:31 VariableCoefficientStd.Errort-Statistic Prob.C -47.03933 525.7858 -0.089465 0.9293 X 1.347320 0.059841 22.51500 0.0000 R-squared 0.945888Meandependentvar 11363.69AdjustedR-squared0.944022S.D.dependentvar 3294.469 S.E.ofregression 779.4603 Akaikeinfocriterion16.21742