导数与函数的单调性

导数与函数的单调性课件第一页，共二十二页，2022年，8月28日复习引入：问题1：怎样利用函数单调性的定义来讨论其在定义域的单调性1．一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，

(1)若f(x1)<f(x2)，那么f(x)在这个区间上是增函数.即x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,即

.第二页，共二十二页，2022年，8月28日(2)若f(x1)>f(x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数此时x1-x2与f(x1)-f(x2)异号,即第三页，共二十二页，2022年，8月28日(2)作差f(x1)－f(x2)，并变形.2．由定义证明函数的单调性的一般步骤：(1)设x1、x2是给定区间的任意两个值，且x1<x2.(3)判断差的符号(与０比较)，从而得函数的单调性.第四页，共二十二页，2022年，8月28日例1：讨论函数y=x2－4x＋3的单调性.解：取x1<x2∈R，

f(x1)－f(x2)=（x12－4x1＋3）－（x22－4x2＋3）

=（x1+x2)(x1－x2）-4(x1－x2）

=(x1－x2)(x1+x2－4）则当x1<x2<2时，x1+x2－4<0，f(x1)>f(x2)，那么y=f(x)单调递减。当2<x1<x2时，x1+x2－4>0，f(x1)<f(x2)，那么y=f(x)单调递增。综上y=f(x)单调递增区间为（2，+∞）

y=f(x)单调递减区间为（－∞，2）。第五页，共二十二页，2022年，8月28日函数y=x2－4x＋3的图象：2yx0单增区间：（２，+∞）.单减区间：(－∞，２).第六页，共二十二页，2022年，8月28日那么如何求出下列函数的单调性呢?第七页，共二十二页，2022年，8月28日发现问题：用单调性定义讨论函数单调性虽然可行，但十分麻烦，尤其是在不知道函数图象时.例如y=x3+2x2-x.是否有更为简捷的方法呢？下面我们通过函数的y=x2－4x＋3图象来考察单调性与导数有什么关系：第八页，共二十二页，2022年，8月28日这表明：导数的正、负与函数的单调性密切相关第九页，共二十二页，2022年，8月28日2yx0.......再观察函数y=x2－4x＋3的图象：总结:该函数在区间（－∞，2）上单减,切线斜率小于0,即其导数为负,在区间（2，+∞）上单增,切线斜率大于0,即其导数为正.而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0.函数在该点单调性发生改变.第十页，共二十二页，2022年，8月28日结论:一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导,则函数在该区间如果f′(x)>0,注意:如果在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)为常数函数.如果f′(x)<0,则f(x)为增函数;则f(x)为减函数.第十一页，共二十二页，2022年，8月28日例3：求函数f(x)=2x3-6x2+7的单调区间.解:函数的定义域为R,f′(x)=6x2-12x令6x2-12x>0,解得x<0或x>2，则f(x)的单增区间为（－∞，0）和（2，＋∞）.再令6x2-12x<0,解得0<x<2,则f(x)的单减区间(0,2).注:当x=0或2时,f′(x)=0,即函数在该点单调性发生改变.第十二页，共二十二页，2022年，8月28日例4、判定函数y=ex-x+1的单调区间.解:f’(x)=ex-1

当ex-1>0时,解得x>0.则函数的单增区间为(0,+∞).

当ex-1<0时,解得x<0.即函数的单减区间为(-∞,0).第十三页，共二十二页，2022年，8月28日总结：根据导数确定函数的单调性1.确定函数f(x)的定义域.2.求出函数的导数.3.解不等式f′(x)>0,得函数单增区间;

解不等式f′(x)<0,得函数单减区间.第十四页，共二十二页，2022年，8月28日变1：求函数的单调区间。1.求函数的单调区间。例知识应用1．应用导数求函数的单调区间第十五页，共二十二页，2022年，8月28日变2：求函数的单调区间。巩固训练：第十六页，共二十二页，2022年，8月28日2.已知导函数的下列信息：试画出函数图象的大致形状。ABxyo23例2．应用导数信息确定函数大致图象第十七页，共二十二页，2022年，8月28日设是函数的导函数，的图象如右图所示,则的图象最有可能的是()xyo12xyo12xyo12xyo12xyo2(A)(B)(C)(D)C高考尝试第十八页，共二十二页，2022年，8月28日高考尝试B第十九页，共二十二页，2022年，8月28日1、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为()(-1,1)（B)(1,2)(C)(-∞,-1)(D)(-∞,-1)，(1,+∞)课堂练习A2、函数y=a(x3-x)的减区间为a的取值范围为()(A)a>0(B)–1<a<1(C)a>1(D)0<a<1A第二十页，共二十二页，2022年，8月28日3、当x∈(