平面与平面垂直的判定和性质两

平面与平面垂直的判定和性质两课件第一页，共六十六页，2022年，8月28日两直线所成角的取值范围：AB1O平面的斜线和平面所成的角的取值范围：直线和平面所成角的取值范围：复习回顾[0o,90o][0o,90o](0o,90o)第二页，共六十六页，2022年，8月28日1.在平面几何中"角"是怎样定义的？从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。或:一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。第三页，共六十六页，2022年，8月28日2.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样定义的？

直线a、b是异面直线,在空间任选一点O,分别引直线a'//a,b'//b,我们把相交直线a'和b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线所成的角。

3.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角。

第四页，共六十六页，2022年，8月28日问题:异面直线所成的角、直线和平面所成的角有什么共同的特征？结论:它们的共同特征都是将三维空间的角转化为二维空间的角,即平面角。拦洪坝水平面二面角第五页，共六十六页，2022年，8月28日1半平面定义平面的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做一个半平面。半平面:αlαl第六页，共六十六页，2022年，8月28日2．二面角的定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．棱为l，两个面分别为、的二面角记为-l-

．l第七页，共六十六页，2022年，8月28日lAB二面角－AB－l二面角－l－二面角C－AB－DABCD5OBA∠AOB二面角的认识你从图中看出了二面角的几种写法?第八页，共六十六页，2022年，8月28日⑴平卧式：⑵直立式：ABABllABl3．画二面角第九页，共六十六页，2022年，8月28日怎样度量二面角的大小？能否转化为两相交直线所成的角？4．二面角的大小l第十页，共六十六页，2022年，8月28日在二面角-l-的棱l上任取一点O，如图，在半平面和内，从点O分别作垂直于棱l的射线OA、OB，射线OA、OB组成∠AOB．则∠AOB叫做二面角-l-的平面角怎样度量二面角的大小？能否转化为两相交直线所成的角？OBAl4．二面角的大小第十一页，共六十六页，2022年，8月28日在二面角-l-的棱l上任取一点O，如图，在半平面和内，从点O分别作垂直于棱l的射线OA、OB，射线OA、OB组成∠AOB．则∠AOB叫做二面角-l-的平面角怎样度量二面角的大小？能否转化为两相交直线所成的角？OO1BAB1lA14．二面角的大小∠AOB的大小一定．第十二页，共六十六页，2022年，8月28日二面角的大小可以用它的平面角来度量．即二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．二面角的范围：[0o,180o]．①二面角的两个面重合：0o；②二面角的两个面合成一个平面：180o；4．二面角的大小③平面角是直角的二面角叫直二面角．OAB第十三页，共六十六页，2022年，8月28日二面角的平面角必须满足：3）角的边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内10lOABAOB二面角的平面角哪个对?怎么画才对?第十四页，共六十六页，2022年，8月28日1.定义法根据定义作出来2.垂面法作与棱垂直的平面与两半平面的交线得到lγABO12lOAB3.垂线法二面角的平面角的作法AOlD第十五页，共六十六页，2022年，8月28日归纳：求二面角大小的步骤为：（1）找出或作出二面角的平面角；（2）证明其符合定义(垂直于棱)；（3）计算.第十六页，共六十六页，2022年，8月28日问题：如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？第十七页，共六十六页，2022年，8月28日5.平面与平面垂直两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面与垂直，记作⊥.

第十八页，共六十六页，2022年，8月28日

如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.猜想：

第十九页，共六十六页，2022年，8月28日如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直面面垂直的判定定理符号表示：ABCD线面垂直面面垂直线线垂直第二十页，共六十六页，2022年，8月28日例1

如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.PABOC第二十一页，共六十六页，2022年，8月28日例1

如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.线线垂直→线面垂直→面面垂直PABOC第二十二页，共六十六页，2022年，8月28日练习1：教材P69探究(1)四个面的形状怎样？(2)有哪些直线与平面垂直？(3)任意两个平面所成的二面角的平面角如何确定？ABCD第二十三页，共六十六页，2022年，8月28日课堂练习：1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线，则α⊥β.（）3.如果平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线,则α⊥β.（）一、判断：××4.若m⊥α，mβ，则α⊥β.()∪√2.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的两条直线，则α⊥β.（）√第二十四页，共六十六页，2022年，8月28日1.过平面α的一条垂线可作_____个平面与平面α垂直.2.过一点可作____个平面与已知平面垂直.二、填空题：3.过平面α的一条斜线，可作____个平面与平面α垂直.4.过平面α的一条平行线可作____个平面与α垂直.一无数无数一第二十五页，共六十六页，2022年，8月28日寻找二面角的平面角在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角的平面角：（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；（2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A.BACDA’B’C’D’第二十六页，共六十六页，2022年，8月28日BACDA’B’C’D’寻找二面角的平面角在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角的平面角：（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；（2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A.第二十七页，共六十六页，2022年，8月28日寻找二面角的平面角BACDA’B’C’D’O寻找二面角的平面角在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角的平面角：（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；（2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A.第二十八页，共六十六页，2022年，8月28日BACDA’B’C’D’O寻找二面角的平面角在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角的平面角：（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；（2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A.第二十九页，共六十六页，2022年，8月28日例2已知空间四边形ABCD的四条边和对角线都相等，求平面ACD和平面BCD所成二面角的大小.第三十页，共六十六页，2022年，8月28日DAECB练习2：如图，已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝，BC＝2，求以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的大小？第三十一页，共六十六页，2022年，8月28日练习2：如图，已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝，BC＝2，求以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的大小？DAECB第三十二页，共六十六页，2022年，8月28日练习3：

ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥平面ABCD，E是PC的中点，求证：(1)PC⊥平面BDE；(2)平面PAC⊥BDE.是正方形，POABCDE第三十三页，共六十六页，2022年，8月28日归纳小结：

(1)判定面面垂直的两种方法：

①定义法②根据面面垂直的判定定理(2)面面垂直的判定定理不仅是判定两个平面互相垂直的依据，而且是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据；(3)从面面垂直的判定定理我们还可以看出面面垂直的问题可以转化为线面垂直的问题来解决.第三十四页，共六十六页，2022年，8月28日三、如右图：A是ΔBCD所在平面外一点，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，E是BD的中点，求证：平面AEC⊥平面ABDDACBE第三十五页，共六十六页，2022年，8月28日2.3.4平面与平面垂直的性质第三十六页，共六十六页，2022年，8月28日线面垂直的性质线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。第三十七页，共六十六页，2022年，8月28日第三十八页，共六十六页，2022年，8月28日练习P791第三十九页，共六十六页，2022年，8月28日练习：P792.abbb//α或b在α内第四十页，共六十六页，2022年，8月28日复习回顾：（１）利用定义［作出二面角的平面角，证明平面角是直角］（２）利用判定定理［线面垂直面面垂直］AB线面垂直面面垂直线线垂直面面垂直的判定第四十一页，共六十六页，2022年，8月28日Ⅰ.观察实验（1）教室前墙所在的平面和地面是互相垂直的，观察教室前墙所在的平面里的任意一条直线是否一定和地面垂直？两个平面垂直，其中一个平面内的直线不一定垂直于另一个平面三、探究实验第四十二页，共六十六页，2022年，8月28日墙角线和地面给我们垂直的形象第四十三页，共六十六页，2022年，8月28日ABCDA’B’C’D’（3）长方体ABCD-A`B`C`D`中，平面AA`D`D与平面ABCD垂直，能否在平面AA`D`D中找到垂直于平面ABCD的直线？两个平面垂直，其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。第四十四页，共六十六页，2022年，8月28日面面垂直的性质αβ如果α⊥β(1)α里的直线都和β垂直吗？DEF(2)什么情况下α里的直线和β垂直？第四十五页，共六十六页，2022年，8月28日面面垂直的性质面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。面面垂直线面垂直αβaAl第四十六页，共六十六页，2022年，8月28日三、两个平面垂直的性质定理如图2，α⊥β，AB⊂α，AB⊥CD，α∩β=CD，求证：AB⊥β。在β内作BE⊥CD。要证AB⊥β，只需证AB垂直于β内的两条相交直线就行。而我们已经有AB⊥CD，只需寻求另一条就够了。而我们还有α⊥β这个条件没使用，由α⊥β定义，则∠ABE为直角，即有AB⊥BE，也就有AB⊥β，问题也就得到解决．

第四十七页，共六十六页，2022年，8月28日则∠ABE就是二面角-CD-的平面角∵,∴AB⊥BE(平面与平面垂直的定义)又由题意知AB⊥CD,且BECD=BE证明:在平面内作BE⊥CD,垂足为B.∴AB⊥(直线与平面垂直的判定定理)Ⅲ.严格证明DCAB第四十八页，共六十六页，2022年，8月28日××l(3)过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面。√四、小试牛刀第四十九页，共六十六页，2022年，8月28日1．给出下列四个命题：

①垂直于同一个平面的两个平面平行；

②垂直于同一条直线的两个平面平行；

③垂直于同一个平面的两条直线平行；

④垂直于同一条直线的两条直线平行．

其中正确的命题的个数是（

）．

A．1

B．2

C．3

D．4B

课堂练习：第五十页，共六十六页，2022年，8月28日例5.αβAba解：设l在α内作直线b⊥l第五十一页，共六十六页，2022年，8月28日画图面面相交a第五十二页，共六十六页，2022年，8月28日画图面面垂直αβl第五十三页，共六十六页，2022年，8月28日画图一个平面和两个平行平面相交ab第五十四页，共六十六页，2022年，8月28日画图三个平面两两垂直αβlγ第五十五页，共六十六页，2022年，8月28日画图面面相交面面垂直一个平面和两个平行平面相交三个平面两两垂直aαβlabαβlγ第五十六页，共六十六页，2022年，8月28日P81A5αβlγabmn解：设在α内作直线a⊥n在β内作直线b⊥m面面垂直性质线面平行判定线面平行性质第五十七页，共六十六页，2022年，8月28日练习P81αβlγmn第五十八页，共六十六页，2022年，8月28日2．在二面角α-l-β的一个面α内有一条直线AB，若AB与棱l的夹角为45°，AB与平面β所成的角为30°，则此二面角的大小是（

）

A.30°，B.30°或150°，C.45°，D.45°或135°。AαBβOC设AB=a,则AC=，AO=则sin∠ACO=∴∠ACO=45°或135°D如图，过A点作AO⊥β于O，在α内作AC垂直棱于C，连OB、OC，则∠ABC=45°，∠ABO=30°，∠ACO就是所求二面角的平面角。第五十九页，共六十六页，2022年，8月28日例1、如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，平面PAC⊥平面ABC，求证：BC⊥平面PAC。BOPAC分析：在平面PAC或平面ABC内找AC的垂线∵

AB是⊙O的直径，点C在圆周上∴BC⊥AC又∵平面PAC⊥平面ABCAC是平面PAC和平面ABC的交线∴BC⊥平面PAC。第六十页，共六十六页，2022年，8月28日如图,AB是⊙O的直径,点C是圆上异于A,B的任意一点,PA⊥平面ABC,AF⊥PC于F.求证:AF⊥平面PBC.ACBOPF.分析：先证明BC⊥平面PAC再应用平面PBC⊥平面PAC的性质来证明变式第六十一页，共六十六页，2022年，8月28日如图,AB是⊙O的直径,点C是圆上异于A,B的任意一点,PA⊥平面ABC,AF⊥PC于F.求证:AF⊥平面PBC.ACBOPF.证明:∵AB是⊙O的直径∴AC⊥BC∴PA⊥B