结构动力学章结构动态特性的灵敏度

第十一章结构动态特性的灵敏度分析及动力修改§11-1引言由于力学上的假设、简化处理等，所建立的有限元模型往往与实际结构有着一定的差距：如质量阵中不能确切反映惯性力的分布、各构件（单元）间的联接、边界的约束条件、阻尼情况等，都与实际情况并不完全相符；另外，计算机容量和运算速度，也限制了单元的过细划分和自由度数的设置。这就使结构的动态特性计算精度不够，从而必须对有限元模型进行修正。另一方面，即使有限元模型置信度很高，但随着机械设备向高速化、轻量化、大型化、复杂化方向的发展，人们不可能一次设计出高质量的产品，而必须对结构作优化设计，即要多次修改设计（有限元模型），进行重分析和计算，直到产品的动特性达到满意的要求。这就是动力修改的问题。

结构动力修改具有两方面的工程含义：一是计算模型的修改，二是结构的动力修改。前者是用从模态试验中获得的结构模态参数测试数据（作为基准）对有限元模型进行修正，以获得置信度较高、能准确反映结构动态特性的数学模型。后者则包含正、反两方面的问题，正问题是指：若对结构作了小改动，在原结构模态参数已知的条件下，如何快速有效地获得改动后的结构模态参数。反问题是指：若原结构动态特性不合要求，如何修改结构物理参数及确定修改量，使其动特性满足给定的要求。为了有效地进行结构的动态设计与修改，人们必须了解哪些物理参数对结构的动特性影响较大（也就是说研究结构的动特性对这些结构参数的敏感程度）。比如在结构上何处加质量、何处加弹簧，在哪两点之间加杆，如何改变单元刚度（几何尺寸、形状等）等，使结构某些指定的模态参数变化最大。这就是所谓的结构动态特性的灵敏度分析。灵敏度分析理论为人们有目的的修改结构指明了方向，从而优化设计、减少费用、缩短设计周期、提高效率。

灵敏度定义：①应变量的变化／自变量的变化；②应变量的相对变化／自变量的相对变化。另有两种称为半灵敏度的定义：①应变量的变化／自变量的相对变化；②应变量的相对变化／自变量的变化。

系统运动微分方程为：

各阶固有频率和相应的模态向量为§11-2基本原理若

：

将式(4)代入式(6)，展开后略去二阶及二阶以上的小量，并考虑到

将式(5)式代入(7)，然后左乘以，并考虑到式(3)，可得当i＝j时，有

当i≠j时，有

将式(4)、(5)代入式(11)，并考虑到式(3)，可得

为了求，可令１、点加质量灵敏度分析

经过推导，可得点加质量灵敏度式中：为在节点处所加的质量，、、分别为原结构第i阶模态在节点处的x、y、z方向线位移分量。

定义相对灵敏度：为原结构节点处的第阶模态动能。对某阶模态而言，哪个节点的模态动能大，哪个节点即是质量修改的敏感节点。２、节点加弹簧灵敏度分析

经过推导，可得节点加弹簧灵敏度对每个节点S，哪个方向的模态线位移最大，哪个方向就是该点所加弹簧的方向；对某阶模态，哪个节点的模态线位移大，则哪个节点即是点加刚度修改的敏感节点。

３、两点间加杆（弹簧）的灵敏度分析

两点间加杆（弹簧）的灵敏度哪两点间相对位移大，则在这两点间加杆最灵敏度４、桁杆杆单元灵灵敏度分分析桁杆单元元的灵敏敏度─单元(节点)e的第i阶模态势能增量；─单元(节点)e的第i阶模态动能增量。

敏感位置置取决于于桁杆单单元的模模态动能能和模态态势能。。５、梁单单元的灵灵敏度分分析梁单元的的灵敏度度⑴哪个个单元的的模态势势能较大大，而相相应的模模态动能能较小，，则哪个个单元是是刚度修修改的敏敏感单元元。这种种单元通通常具有有较小的的线位移移而变形形较大（（或具有有较大的的应变）），如悬悬臂梁固固定端处处。⑵哪个个单元的的模态动动能较大大，而相相应的模模态势能能较小，，则哪个个单元是是质量修修改的敏敏感单元元。这种种单元通通常具有有较大的的线位移移而变形形较小（（或具有有较小的的应变）），如悬悬臂梁自自由端处处。⑶处于于振型腹腹部的单单元，其其线位移移和相对对变形都都较大，，即相应应的模态态动能和和模态势势能都较较大，究究竟属于于哪类单单元要视视具体情情况而定定。对梁梁的弯曲曲振动，，这种单单元往往往是刚度度敏感单单元。⑷位于于振型节节点处的的单元，，其线位位移和相相对变形形都较小小，即相相应的模模态动能能和模态态势能都都较小，，因而节节点处的的单元是是不敏感感单元。。⒈点加质质量修改改例１.图示悬臂臂梁，长长×宽×高＝100××3×0.2(cm3)，表1－1给出了用用有限元元分析程程序SAP5p计算的该该结构前前六阶固固有频率率，表1－2给出了点点加质量量的固有有频率灵灵敏度值值。§11-3应用举例例表1－1悬臂梁基本结构固有频率值（单位：1/S）892.3597.6361.7184.665.9610.53SAP5模态表1－2点加质量量的固有有频率灵灵敏度分分析结果果节点号模态阶数12345650-.378E-1-.326E-1-.282E-1

-.240E-1-.200E-1-.164E-149-.357E-1-.260E-1-.186E-1-.123E-1-.736E-2-.368E-225-.400E-2-.206E-1-.695E-3-.189E-1-.160E-2-.175E-124-.345E-2-.206E-1-.230E-2-.161E-1-.581E-2-.116E-116-.744E-3-.110E-1-.228E-1-.756E-2-.173E-2-.178E-115-.577E-3-.936E-2-.227E-1-.122E-1-.397E-5-.121E-111-.163E-3-.361E-2-.145E-1-.226E-1-.174E-1-.459E-212-.233E-3-.482E-2-.174E-1-.224E-1-.116E-1-.422E-326-.460E-2-.203E-1-.179E-4-.199E-1-.590E-6-.199E-127-.526E-2-.196E-1-.317E-3-.191E-1-.149E-2-.177E-19-.695E-4-.176E-2-.857E-2-.179E-1-.228E-1-.185E-110-.109E-3-.259E-2-.115E-1-.210E-1-.215E-1-.116E-1从表1－2可知，在在节点50和49加集中质质量，能能显著降降低第一一阶固有有频率；；在节点点50、49、25和24加集中质质量，则则能显著著降低第第二阶固固有频率率值；若若想降低低第四阶阶固有频频率值，，则在节节点50、10、11和12加集中质质量最好好。表1－3给出了在在悬臂梁梁的六个个节点上上共加质质量60克(节点25、24、11、12、26和27各10克)，用结构构动力修修改程序序(线性关系系)预测及SAP5P计算的结结果。表1－3点加集中中质量修修改后的的结构固固有频率率及改变变量(单位：1/S)模态ω1Δω1ω2Δω2ω3Δω3ω4Δω4ω5Δω5ω6Δω6预测10.32-0.2159.63-6.33177.6-7.0315.5-46.2573.3-24.3823.7-68.6SAP510.33-0.2060.57-5.39178.1-6.5325.0-36.7578.0-19.6842.6-49.1⒉梁单元修修改例2.结构同例例１，表表2－1给出了第第3阶模态下下固定端端处、自自由端处处、振型型腹部和和节点处处梁单元元的模态态动能和和模态势势能及每每次修改改１个单单元(截面面积积从3×0.2cm变为3×0.22cm)后前5阶固有频频率的改改变情况况。表2－1第3阶模态下下单元模模态动能能和模态态势能及及单元e修改后各各阶固有有频率的的改变情情况⒊综合问题题例3.图示空间间框架结结构，用用直径为为10mm的钢杆焊焊接而成成，其有有限元模模型划分分为52个单元，，51个节点。。表3－1给出了该该结构的的前六阶阶固有频频率。表3－1空间框架基本结构固有频率值（单位：1/S）通过对结结构进行行固有频频率的灵灵敏度分分析，确确定在节节点12、13、45和46各加5克的质量量、在节节点47和49沿z方向各加加刚度为为、在节节点12与13沿z方向各加加刚度为为和在节节点37与38沿方向各各加刚度度为的弹弹簧、在在四对节节点间（（[7,9],[8,9],[28,35],[28,36]）各加面面积为(直径约为为0.6mm)的杆、修修改４个个梁单元元（单元元1、5、9和12从直径1cm改为1.1cm）。表3－2给出了修修改后的的结构用用结构动动力修改改程序预预测及SAP5P重分析计计算的结结果。表3－2修改后的结构固有频率及改变量（单位：1/S）

⒋空间框架架结构的的有限元元分析计计算与实实测分析析对比例4.现在对例例3所示的空空间框架架结构进进行有限限元分析析计算和和实测分分析对比比，表4-1给出了用用有限元元分析程程序SAP5p计算和用用HP3562实测的该该结构的的前几阶阶固有频频率，表表4-2给出了点点加质量量和两点点间加杆杆的固有有频率灵灵敏度值值。表4-1基本结构固有频率值（单位：Hz）

表4-2点加质质量和和两点点间加加杆的的固有有频率率灵敏敏度分分析结结果现拟使使第三三阶和和第四四阶固固有频频率降降低，，而一一、二二两阶阶基本本不变变，其其余各各阶不不受限限制，，根据据分析析，在在节点点10、11、12、13和18、19、20、21加集中中质量量效果果最好好。表表4-3给出了了在原原结构构的八八个节节点上上共加加质量量40.8克(在节点点10、11各加5.2克，12、13各加3.6克，18、19、20、21各加5.8克)，用灵灵敏度度分析析方法法预测测、SAP5P计算及及HP3562测试的的结果果。表4-3点加集中质量修改后的结构固有频率及改变量（单位：Hz）

若拟使使第三三阶固固有频频率提提高，，而一一、二二两阶阶基本本不变变，其其余各各阶不不受限限制，，根据据分析析，在在节点点(7-10)之间和和(8-11)之间加加杆效效果最最好。。通过过计算算，只只需在在节点点(7-10)之间和和(