相似原则与缩尺模型试验

相似理论与模拟实验

授课对象：研究生

授课教师：姚直书二О一一年二月1概述

1.1引言人们在对自然规律的不倦探索过程中，首先采用数理分析的方法对自然现象进行计算和分析，这是人们探索自然的一种有力工具。随后采用现场测试来解决一些比较直观的现象，推动了生产的发展。但自然界的现象毕竟是错综复杂的。有许多实际问题至今靠高等数学尚不能全部解决或根本无法解决，于是迫使人们不得不走直接实验的道路。

但最先人们采用直接实验的方法发现它有着较大的局限性，在于它常常只能得出个别量之间的规律性关系，难以发现或抓住现象的本质（全部），从而无法向实验条件范围以外的同类现象推广。 但通过人们长期实践、总结，一种用于指导自然规律研究的全新理论——“相似理论”便应运而生了。它是把数学解析法和试验法的优点结合起来，用来研究和解决生产和工程中的问题。这是科学研究的主要方法之一，也是解决生产和工程问题的一种有效方法。从而扩展了人们探索自然奥秘的领域。

当今，社会生产在不断发展，各个产业部门所提出问题日益复杂和繁多。用数学解析法（理论解）来解决这些课题愈来愈感到困难。有些课题至今尚未得到解析解，或者只作一些假设或简化后再求解，因而带来了一些误差。为了解决生产中和工程中提出的问题，人们开展了模型试验研究。各种研究方法比较：理论分析法——解析解较多。数值计算——仿真分析——由于土木工程的一些不确定因素，输入参数难以精确，还有模型简化等问题，存在一定局限性。现场实测——只有在工程施工过程中进行，投入较大，周期长。模型实验——可使工程中发生的现象在实验室中再现出来，而且还可以对试验中主要因素进行独立控制。与现场实测相比，可进行方案的前期优化，具有省时、省力的优点。1.2相似理论相似理论——是说明自然界和工程中各种相似现象相似原理的学说。它的理论基础，是关于相似的三个定理。以相似理论为指导，形成研究自然界和工程中各种相似现象的新方法，即所谓的“相似方法”。

“相似方法”——是一种可以把个别现象的研究成果，推广到所有相似的现象上去的科学方法。

“模拟”——一般情况是指在实验室条件下，用缩小的（特殊情况下也有放大的）模型来进行现象的研究。

“模拟试验”——用人工的方法再现自然界的某一现象。

模拟：（a）、原型；(b)、模型。这样，又引伸出“模型试验”的概念。

模型试验是相似方法的重要内容。在研究中起着很重要的作用，从相似理论的角度出发，“模型”——是与物理系统密切有关的装置，通过对它的观察与试验，可以在需要的方面精确地预测系统的性能。这个被预测的物理系统，通常被叫做“原型”。

根据这个定义，为了利用一个模型，当然有必要在模型与原型间满足某种关系。这种关系称为模型设计条件，或系统的相似性要求。由此可见，相似理论与模型试验的关系是十分密切的，是整个问题的两个组成部分。

1.3模型试验的意义和现状 模型试验的意义，可从五个方面加以说明： ①模型试验作为一种研究手段，可以严格控制试验对象的主要参数而不受外界条件和自然条件的限制，做到结果准确。 ②模型试验有利于在复杂的试验过程中突出主要矛盾，便于把握、发现现象的内在联系。并且有时可用来对原型所得结论进行校验。 ③由于模型与原型相比，尺寸一般都是按比例缩小的。故制造加工方便，节省资金、人力和时间。 ①

模型试验能预测尚未建造出来的实物对象或根本不能直接研究的实物对象的性能。 ②

当其它各种分析方法不可能采用时，模型试验就成了现象相似性问题唯一的和更为重要的研究手段。 目前，相似理论和模型试验方法已用于物理、化学、工程结构、热力学、气象、航天等各个领域，并有着广泛的应用前景。1.4物理模拟和数数学模拟模拟试验——简单地说，是是用人工的方方法再再现自然界的的某一现象。。物理模拟——是指基本现象象相同情况下下的模拟，也也称为同类模模拟。这时模型与原原型的所有物物理量相同，，物理本质一一致。区别只只在于各物理理量的大小比比例不同。（两个现象物物理量及其性性质相同，只只有大小不同同）。数学模拟——是指存在于不不同类型现象象之间的模拟拟这时模型与与原型的物理理过程有本质质的区别别，但它们们的对应量都都遵循着同样样的方程程式，具有数数学上的相似似性。如二阶阶运算算子:▽2=的微分方程，， 它可可代表重力场场、电势场、、温度场等。。 这时时，人们只要要对不同的物物理量建立起起 一一对对应关系，便便可用一个现现象去类比另另一不同同现象的解。。在工程中，常常用电场来模模拟温度场、、材料的应力力场和有限自自由度的振动动系统。下面以单自由由度振动系统统的电模拟法法为例来说明明这个问题。。右边代表一个个L—R—C串联电路，现现在要由它来来模拟左边由由k，m，u组成的单自由由度振动系统统。作为它们一一一对比的量是是：电感L质量m电阻R阻尼u电容C弹簧k外加电压E外力F，电荷q位移y，(——单位时间的电电荷变化量。。)它们之间方程程式和初始相相似性在于：：ky=F(t)t=0时，y=y0，。。L+Rt=0时,q=q0，。。所以，只要适适当地选择各各种物理量和和初始条件，，就能使y(t)和q(t)在对应的时间间内完全成比比例地变化因此，通过测测量各种电量量就能换算出出位移、速度度等机械量。。类似这种电路路系统，当其其适应性很强强时，就是通通常所说的模模拟计算机。。（仿真系统统）。物理模拟和数数学模拟各有有其特点:物理模拟可把把具体的现象象再现出来，，较之数学模模拟能更全面面地表现被模模拟的现象。。数学模拟由于于以方程为基基础，可较方方便地看出各各种参量对结结果的影响。。物理模拟试验验：相似材料料模型试验；；光弹性模拟试试验；其它模拟试验验：离心模型型试验；底摩擦模型试试验（模拟拟重力力场）。测试技术：电电测光测声测测试系统：传传感器→量测测仪表→记录录分析器。2量纲理论论2.1量纲——物理量的广义义度量单位，，相同的物理理量具有相同同的量纲。如尺寸寸（长度）——[L]力[F]时间[T]它是表示物理理量的种类，，不是单位。。如长度单位有有m，cm，mm，但量纲皆为为[L]。2.2．基本量量纲与导出量量力学系统：[F]、[L]、[T]为基本量纲。。基本量纲具有有：(a)、独立性(b)、完整基本量纲不是是固定不变的的，可根据具具体研究问题题决定。一般般选[F]、[L]、[T]较为方便。v[v]=[L]/[T]导出量纲：根根据定义、定定律由基本量量纲导出的量量纲。F=mam=[M]=导出量纲：某一量：[Q]=[La·Fb·Tc][M]=[F][T2]/[L]则a=-1b=1c=2无量纲量：如如应变ε[ε]=[L0FºTº]=[1]泊松比u无量纲量：与与单位无关，，模型大小可可不相同。2.3微商的量纲s与ds的量纲皆为[L]。t与dt的量纲皆为[T]。v=，[V]=a=，[a]=2.4量纲的性质a、相同的物理理量具有相同同的量纲，但但相同的量纲纲具有不同的的物理量。如应力和弹性性模量，σ、E，b、同量纲的物物理量的比值值为无量纲的的量，此量与与单位无关。。（ε=σ/E）c、基本量纲的的组合不能成成为无量纲的的量，但基本本量纲与导出出量纲的组合合可成为无量量的量。如，,2．5量纲的齐次原原则一个物理方程程各项的量纲纲相同，称为为量纲齐次原原则。对于完全方程程，除以方程程中的任一项项，将变为无无量纲的量。。如：s=v0t+[L]但对于非完全全方程如P=0.013H(重液公式)则不成立。2.6量纲分析基本量纲为:[L][M][T]例1、现在研究一一个动力学问问题，即m、t、v、F间相互互关系，简写写为：F=f(m,t，v)F=k.ma.tb.vc[F]=k[MaTb]①[F]=[M.L.T-2]②两式量纲相同同：a=1,b-c=-2c=1所以F=kmt-1v=k(——牛顿准则。例2：均布荷载作用用下简支梁的的跨中挠度。。[解]y=f(q，EI，L)基本量纲：[F][L]静力学问题，，与时间无关关。[y]=[L]y=kqa(EI)b.Lc[L]=k[FaL-a.(FbL-2b.L4b).Lc][L]：1=-a-2b+4b+c①①[F]：0=a+b②②∴∴y=kq-b[EI]bL1-3b令：d=-b∴∴y=k做二次试验后后解得：d=1,k=∴y=从上面二例可可以看出，采采用量纲分析析法求等式的的关键在于：：选择的物理参参数要正确。。量纲分析法除除了求导相似似准则外，还还可用于：（（1）、导出无量量纲量；（2）、可简化方方程，把多个个物理量减少少等，其用途途较多。3、相似理理论3.1相似概论相似——两种物理量对对应时刻的对对应点成比例例，可称相似。3.1.1几何相似——对应尺寸成比比例。如两个三角形形相似，对应应边成比例，，比例值CL称为几何相似常数数。对应角相等（（角度为无量量纲的量）。。CL1-2=相似常数相似常数——一对相似现象象中所有对应应点在对应时时刻上同一物物理量均保持持其比值不变变。=idom（相似不变量量）相似不变量——在对应点和对对应时刻上保保持相同的数数值。所有相似相象象的相似不变变量是一个常常数，不变的的。它是一个个无量纲的量量。一个现象中的的几个量的比比值，在所有有与它相似的的现象中保持持不变。在所有相似现现象中，某一一量（无量纲纲综合数群））在相对应点点和相对应时时刻上保持相相同的数值。。梁的截面模量量w=Cw=CI=C3.1.2物理相似荷载相似——模型与原型在对应应点上同一时刻的的对应荷载成比例例。（荷载方向相同，，大小成比例）。。集中荷载相似：（（集中中荷载相似常数））。令几何相似常数荷载集度相似常数数cq=弯矩相似常数cm=自重相似常数，压压强：c密度：c如果模型与原型在在对应点的荷载相相似（成比例），，只要其中一种荷荷载相似常数已定定，则其它种荷载载常数也就确定了了。弹性模量相似常数数面力：3.1.3运动相似时间相似:时间相似常数（距离相似）则速度相似常数:研究动力学还有质质量相似：对于均质物体可用用密度来表示：动力学问题:F=ma.cF=cmca=cρ.c3L.cL.ct-2∴动力学相似指标3．1．4边界相似力学：边界约束条条件等。平面应力力模型平面应模型模型试验中约束条条件很重要。3.1.5起始条件相似初始条件，如运动动学中初始振动相相位等3.2相似第一定理它是说明相似现象象的性质，模型与原型相似似，那么应具有：：a、在对应点对应时刻刻成比例。b、变化规律相同，可可用相同的关系方方程式来描述。其中大多数的物理理现象，其关系方方程又可用微分方方程的形式获得，，如质点运动方程和和力学方程分别为为：c、各相似常数值不能能任意选择，它们们要服从于某种自自然规律的约束。。下面我们以速度公公式为例具体说明明：（1）代入有关相似常数数得：（（2）（1）式实际上可用于于描述彼此相似的的两个现象。这时时第一现象质点的的运动方程为：（3）第二现象质点运动动方程为：（（4）将式（2）代入式（4），亦即在基本微微分方程中对参数数作相似变换，可得：（（5）作相似变换时，为为了保持基本微分分方程（3）、（5）的一致性,需使：故以后，我们把C称为相似指标，其意义在于：对对于相似现象，它它的数值为1。同时也说明，各相相似常数不是任意意选择的，它们的的相互关系要受“C值为1”这一条件的约束。。换言之，在cv、ct、cL三者中，只有二者者可任意选择，余余者由上式确定。。这种约束关系还可可以采取另外的形形式，将相似常数数cL等代入得：或不不变量同理对于f=ma，得：或或不不变量。上两式的综合数群群和，，都是是不变量，它们被被称之为相似准则。应该注意：相似准准则的概念是“不变量”，而非“常量”。所说不变量，是是因为相似准则这这一综合数群只有有在相似现象的对对应点和对应时刻刻上才相等。如果由微分方程说说明的现象，取同同一现象的不同点点，则因其物理变变化过程的不稳定定性，有：所以，相似准则只只能说成是不变量量，不能说成是常常量。相似第一定理：两相似现象的相似似指标为1，相似准则相同。。相似指标——相似现象的比例常常数。相似准则——相似现象应遵守的的规律。相似准则与相似常常数是不同的，它它是总合地而不是是个别地反映单个个因素的影响，能能更清楚地显示过过程的内在联系。。当用相似第一定理理指导模型研究时时，首先重要的是是导出相似准则，，然后在模型试验验中测量所有与相相似准则有关的物物理量。当微分方程较简单单时，找出相似准准则并不困难。但当方程无从知晓晓时，或是很复杂杂时，应采用其它它的方法。当现象的相似准则则数超过一个时，，问题便进入了相相似第二定理的范范畴。3.3相似第三定理相似的充分必要条条件。相似现象应遵守的的条件：①两相似现象一定能能用一个方程组来来描述。②单值条件相似。几何条件（几何相相似）物理条件：荷载介质的E、μ、R（强度）。运动条件：t、v边界条件始初条件(3)由单值量组成的相相似准则要相等。。——充分必要条件（而不是任意的相相似准则要相等））。单值量——是指单值条件下的的物理量。而单值值条件是将一个个个别现象从同类现现象中区分开来。。相似第一定理是从从现象已经相似这这一事实出发来考考虑问题的，它说说明是相似现象的的性质。设有二现象相似，，它们都符合质点点运动的微分方程程V=，如图所示的两组组相似曲线（实线线）。得到：图中“1”、“2”为两现象的对应点点。现在，设想通过第第二现象的点1和点2，找出同类的另一一现象——第三现象，图中虚虚线所示。显然，第二、第三三现象的曲线并不不重合，故第三现现象与第一现象并并不相似，说明通通过点1、点2的现象并不都是相相似现象。为了使通过点1、点2现象取得相似，必必须从单值条件上上加以限制。如在在这种情况下，加加入初始条件：t=0，v=0，L=0。这样，既有初始条条件的限制，又有有单值量组成的相似准则值值一致，两个现现象便必相似。由此看来，同样是是值相等，，相似第一定理未未必能保证现象的相相似，而第三定理理从单值条件上对对它它进行补充，保证证了现象的相似。。因此，第三定理是是构成相似的充要要条件。严格地说说，这也是一切模模型试验应遵循的的理论基础。3.4相似第二定理（π定理）相似第二定理可表表述为：设一个物理现象如如果含有n个物理量φ(x1、x2、、x3、…xn)=0，其中有m个为基本物理量（（其量纲是相互独独立的），那么这这n个物理量可表示成成是（n-m）个相似准则π1、π2、…πn-m之间的函数关系：：f(π1、π2、…πn-m)=0(1)准则方程。π定理的作用：对于彼此相似的现现象，在对应点和和对应时刻上相似似准则都保持同一一值，所以它的π关系式也应当是相相同的。一般用下下标“p”和“m”分别表示原型和模模型，则π关系式分别为：f1(π1、π2、…πn-m)p=0f2(π1、π2、…πn-m)m=0(2)其中：π1m=π1pπ2m=π2p(3)π(n-m)m=π(n-m)p(4)由（4）式可见，如果把把某现象的实验结结果整理成（1）式所示的无量纲纲的π关系式，则该关系系式便可推广到与与它相似的所有其其它现象上去。而在推广的过程中中，由式（4）可知，并不需要要列出各π项间真正的关系方方程（不论该方程程发现与否）。基本物理量：具有有基本量纲的物理理量。而准则方程是无量量纲量。我们不能能由基本物理量组组成n个准则方程。如设想n=m的特殊情况，这时时所有参量的量纲纲是相互独立的，，故其自身便无法法构成任一个无量量纲组合的相似准准则。（否则，如如何将其量纲消去去）。当由n个物理量、构成n-m个π项，每个π项中必定要有一个个物理量区别于其其它π项的独立变量。定性准则——由单值条件组成的的相似准则。非定性准则——由非单值条件组成成的相似准则。有时，可由定性准准则导出非定性准准则。由此可见，相似第二定理是是十分重要的，它它可用于多相似准准则之间的模拟。。但是，在它的指指导下，模型实验验结果能否正确推推广，关键又在于于是否正确地选择择了与现象有关的的物理量。对于一些复杂的物物理现象，由于缺缺乏微分方程的指指导，问题较难。。4、相似准则的导出方方法作为相似第二定理理的补充，必须找找到相似准则的导导出方法。相似准则的导出方方法常用有：定律律分析法、方程分分析法、量纲分析析法三种。从理论上说，三种种方法可得到同样样的结果，只是用用不同的方法来对对物理现象（或过过程）作数学上的的描述。4.1用定律分析法导出出相似准则这种方法要求人们们对所研究的现象象运用已掌握的全全部物理定律，并并能辨别其主次。。一旦这个要求得得到满足，问题的的解决并不困难，，而且还可获得数数量足够的、反映映现象实质的π项。但这种方法的缺点点是：①只是就事论论事，看不出现象象的变化过程和内内在联系，故作为为一种方法，缺乏乏典型意义。②由于必须要找找出全部物理定律律，所以对于未能能全部掌握其机理理的、较为复杂的的物理现象，运用用这种方法是不可可能的。关于这方面内容，，大家可参考有关关资料。4.2用方程分析法导出出相似准则这里所说的方程，，主要是指微分方方程，此外，也有有积方程，积分—微分方程。这种方方法的优点是：①结构严密，能能反映对现象来说说最为本质的物理理定律，故结论可可靠。②分析过程程序序明确，不易出错错。③各种因素的影影响地位一览无遗遗，有利推断、比比较和检验。缺点：在方程尚处于建建立阶段时，需要要人们对现象的机机理有深入的认识识。求解方程有时时难以得到完整解解。用方程分析法求相相似准则时，主要要有：相似转换法法和积分类比法。。作为实例，现在在考察图右的“弹簧—质量—阻尼”系统。研究y的函数关系。系统有7个变量：变量：量量纲位移L质量FL-1T2阻尼系数FL-1T弹簧刚度FL-1初始速度v0LT-1初始距离y0L时间tT显然，表中除位移移y外，均为独立变量量因此，如考考虑基本量纲数为为3，则独立相似准则则为：（7-1）-3=3个。4.2.1相似转换法其步骤为：①写出现象的基基本微分方程。质量的位移方程为为：m(1)②写出全部单值条件件，第一现象用“′”表示，第第二现象象用“″”表示，因因此可得得各参量量的相似似常数为为：考虑物理理条件相相似时：：cm=,cu=,ck=考虑边界界条件相相似时：：cy=,考虑起始始条件相相似时(此时t=0)cv0=,cy0=(2)③将微分方方程按不不同现象象写出：：m′(3)m″(4)④进行相似似转换。。将“″”参量用“′”参量代替替，式（（4）按（2）的关系系代入得得：（5）作相似变变换时，，为了保保证基本本微分方方程的一一致性，，各项系系数必须须彼此相相等，即即：故得两相相似指标标方程如如下：(6）（7）另一个相相似指标标方程要要由分析析起始条条件建立立，即当当t=0时，，y=y0,若这时考考虑二现现象，可可得：，，y′=y,y″″=y也进行相相似转换换，得：：cy=cy0（8）⑤将式（2）所表示示的相似似常数值值代入（（6）（7）（（8）式，可可得相似似准则式式为：不变量=π1不变量=π2不变量=π3此处，即即为独立立的相似似准则。。非独立相相似准则则为：y/y0，综合以上上，可构构成π关系式为为，π方程式：：4．2．2积分类比比法积分类比比法是一一种比较较简单的的办法，，一般都都用它来来代替相相似转换换法。其其步骤如如下：m(1)①写出现象象的基本本方程（（或方程程组）及及其全部部单位条条件件。同前前。②用方程中中的任一一项除其其它各项项（如前前例中））：③将将各项中中涉及的的导数用用相应量量比值，，即所谓谓的积积分类类比来代代替。就就是说，，将所有有微分符符号去掉掉，仅留下量本本身的比比值，就就是以则则：U,ky/m,对于统统一一代替物物v/L。④上面两式式的相似似准则由由于只利利用了物物理和边边界两种种单值条条件的参参量，故故利用起起始条件件，可另另立二式式如下，，即t=0时：y=y0，对前式进进行积分分类比得得：不变量由后式则则可得因因变量л项为：。。⑤至此，各各л项全部求求得：其其л关系式为为：上式中给给出的л关系式并并不合理理，因为为在自变л项中中带有待待测因变变参量y，不利于于模型试验的进进行。为为此可将将初始条条件代入入л项，使之之改换成而而л关系式也也因此变变为：4．3用量纲分分析法导导出相似似准则量纲分析析法是在在研究现现象相似似性问题题的过程程中，对对各种物物理量的的量纲进进行考察察时产生生的。它它的理论论基础是是量纲的的齐次原原理。量纲分析析法的优优点：对对于一切切机理尚尚未彻底底弄清，，规律也也未充分分掌握的的复杂现现象来说说，尤其其明显。。它能帮帮助人员员迅速通通过相似似性实验验核定所所选参量量的正确确性，并并在此基基础上不不断加深深人们对对现象机机理和规规律的认认识。在定律分分析法、、方程分分析法和和量纲分分析法三三种中，，后二种种方法用用得较多多，其中中又以量量纲分析析法为多多。它是是解决近近代工程程技术问问题的重重要手段段之一。。当所研究究的物理理现象较较为复杂杂时，要要通过量量纲方程程来说明明问题就就很困难难，往往往会遗漏漏、错选选与现象象有关的的主要参参量。这这就要求求人们通通过实践践不断摸摸索，抓抓住主要要参量，，得出近近似的结结果，即即“近似模拟拟”。通过相似似理论证证明，在在复杂现现象中，，因量纲纲分析法法的弱点点而产生生的近似似模拟，，常常是是比较合合理的。。相似准则则的导出出：当用量纲纲分析法法决定相相似准则则时，我我们需知知道现象象所包含含的物理理量就可可以了。。但当物物理量很很多时，，л项的数目目也会多多起来，，决定它它们并不不容易。。下面从从简单例例子说起起。例一：自自由落体体参量为s,g,t,如果参量量选择正正确，即即相似准准则可取取如下形形式：л=sagb.tc将量纲代代入：[л]=[L0t0]=[L]a[LT-2]b[T]c两边量纲纲相等：：L：a+b=0T:-2b+c=0上式为二二个方程程，三个个未知数数，故无无法解出出a、b、c具体值。。为此需需设定其其中一个个值。若若设a=-1，可得：：b=1，c=2，便可求求得：л=如设a=1，b=-1，c=-2，则可得得：л′=也是相似似准则。。例二、质质点的力力学方程程参数为f，m，v，t，则相似似准则可可取如下下形式：：л=fambvctd[л]=[F0L0T0]=[F]a[FL-1T2]b[LT-1]c[T]dF:a+b=0L:-b+c=0T:2b-c+d=0得л=上面二例例，都符符合相似似第二定定律关于于相似准准则数的的论述，，即3-2=1，4-3=1。上面为单单个相似似准则，，如为多多个相似似准则，，可采用用量纲矩阵阵的方法，，它为人人们求取取具体相相似准则则提供了了一种更更为直观观的形式式。方法法如下：：对于我们们前面用用方程分分析法导导出相似似准则的的例子（（此为“弹簧—质量—阻尼”系统）：：该系统有有7个变量分分别为y、m、u、k、v0、y0、t。如果我们们不知道道它们的的关系式式如何，，可令其其为：f(y，m，u，v0，y0，t)=0其准则关关系式为为：л=将量纲矩矩阵的上上方加上上各参量量的指数数就行了了。a1a2……a7即为指数数，则量量纲矩阵阵如下所所示。它们的量量纲矩阵阵是：（上式中中：m：FL-1/T2，u：FL-1T，k：FL-1）按此矩阵阵，可得得三个线线性齐次次代数方方程如下下：F：L：T：三个方程程无法解解出7个未知数数，故应应使未知知数中的的三个转转化为其其余4个未知数数的函数数关系。。设a4、a5、a7为三个方方程中的的任意假假定的已已知量，，则a1、a2、a3分别为：：(1)因本例中中相似准准则数为为：7-3=4个，（独独立的为为3个）。故故a4、a5、a6、a7应前后设设定四套套数值。。最简单单的为办办法是设设其中一一个值为为1，而其余余值为0，因此：：当a4=1,a5=a6=a7=0时，可得得：a1=0a2=1a3=-2；当a5=1,a4=a6=a7=0时，可得得：a1=-1a2=1a3=-1；当a6=1,a4=a5=a7=0时,可知：a1=-1a2=0a3=0；当a7=1,a4=a5=a6=0时,可得：a1=0a2=-1a3=1。此解可简简明地列列矩阵形形式，取取名为π矩阵：从上面π矩阵可以以看出，，第一、、二、三三列所代代表的四四行恰好好是式（（1）各方程程中等号号右侧a4、a5、a6、a7的系数。。而四、、五、六六、七列列则构成成单位矩矩阵。掌掌握了这这个特点点，可以以很快地地将π矩阵写出出。在π矩阵中，，每一行行代表无无量纲乘乘积的一一组指数数。据此此，可建建立起数数目与行行数相同同的各独独立π项来。分分别为：：π1=mu-2k=π2=y-1mu-1v0=π3=y-1y0=π4=m-1ut=因为位移移π项作为因因变π项，式（（2）的不合合理处在在于参量量y包含在独独立π项的π2中。为使使模型试试验得以以进行，，需以π2除π3改造成π2′；这样便建建立起π关系式为为：（3）在前面关关于方程程分析法法一节，，我们得得到这一一系统的的π关系式为为：（4）比较式（（3）和式（（4）可知，，前者各各独立π项分别以以独立变变量k、v0、t相区别，，后者各各独立π项分别以以独立变变量u、t、v0相区别。。但从性性质上说说，两个个π关系式都都是一致致的。因因为式（（3）各π项的代数数转变，，可得式式（4）结果。。补充：π关系式的的特性：：任何两个个（或多多个）π项的代数数转变，，如加、、减、乖乖、除、、提高或或降低幂幂次，仍仍不改变变原关系系式的函函数性质质。但条条件是：：①幂次不得得升、降降至零。。②π项总数不不得增加加或减少少（因π项总数是是由物理理量总数数和基本本量纲之之差决定定，是个个定值））。具体为：若相相似准则分别别为π1、π2、……πr，则：a、πiaib、πc、πa11±πd、πi±ae、aπi这是因为经过过转换后的π项仍是无量纲纲综合数据。。这也说明相似似准则形式的的可转换性。。为了利于模型型设计，在求求相似准则时时，可考虑以以下几点：①第一个应为因因变量（第一一个为所求量量）。然后对对所所求量影影响大和容易易控制的越在在前。②π矩阵越简单越越好。③准则的个数=物理量-基本物理量。。④每个准则中至至少有一个物物理量其它准准则中没有，，才是独立的的，否则不独独立。⑤准则最好有一一定的物理意意义。⑥准则尽量应容容易满足，即即准则包括的的物理量越越少越越好，最多为为m+1。⑦需要被测量的的物理量最好好在非定性准准则中出现。。并可通过代数数转换，去掉掉相似准则中中无法测量或或难测量的量量。我们求准则的的目的在于指指导模型，那那么，有了准准则，可根据据相似指标为为1来设计模型。。再根据相似准准则将模型结结果还原到原原型上去。5模型设计5.1模型设计模型设计的理理论基础是相相似理论，我我们这里所说说的相似是指指物理模拟（（同类模拟））。在模型试验中中，首要问题题是如何设计模型，以及如何将将模型试验的的结果推广到到原型实体对对象中。一般情况下，，模型设计程程序为：（1）根据试验任务务、目的，选选择模型类型型。物理模拟、数数学模拟。如按模型试验验研究范围可可分为：弹性性模型试验、、强度模型试试验。如按试验模拟拟的程度分类类：断面模型型试验（平面面），半整体体模型，整体体模型试验。。如按试验加载载方法分类：：静力结构模模型试验，动动力结构模型型试验，等等等。（1）对研究对象进进行理论分析析，用方程分分析法或量纲纲分析法求相相似准则。（2）确定几何相似似常数CL，定出模型的的几何尺寸。。CL取选是一个关关键一步，主主要应考虑：：a、模型的尺寸大大小要适中，，可行，对于于与结构物相相互作用问题题，应考虑影影响范围。b、测量手段，应应考虑传感器器的大小和精精确度要求。。当传感器精精度不够时应应加大模型尺尺寸。c、试验待求量应应方便、可以以实施。常用模型的缩缩尺比例结构类型弹弹性模型强强度模型型壳体板构桥梁砼坝所以在结构模模型试验中，，其几何尺寸寸的确定需要要综合考虑模模型类型、材材料、制作条条件、加载能能力、测点布布置以及设备备条件等等，，才能确定出出一个最优的的几何尺寸。。小尺寸模型所所需载荷小，，但制作困难难，加工精度度高，对量测测仪器要求也也高。尺寸大大的模型所需需荷载大，但但制作方便，，对量测仪器器一般无特殊殊要求。通常，线性模模型尺寸较小小。而非线性性、强度破坏坏模型，特别别是钢筋砼结结构模型尺寸寸较大。具体体如上表。（1）根据相似准则则，计算各参参数在模型试试验中的数值值——模型设计。（2）绘制模型制造造、测点布置置和载荷分置置图。（3）安排试验顺序序。（4）进行试验和量量测。（5）数据整理。并并把模型数据据转换到原型型上去。或确确定试验结结果可以应用用的条件。例1静态应力模型型这是一个弹性性模型，可求求解静态应力力问题。a、求导准则平衡方程：几何方程：，物理方程：单值条件：几几何相似：物理相似：体力相似：边界条件：非定性量（被被测量）：应力：应变：位移：采用方程分析析法求相似准准则：对于平衡方程程：相似指标：,相似准则π1=①①由几何方程：：，，л2=②②由物理方程：：,л3=③③cu=1лл4=u④④由面力边界：：л5=⑤⑤由于上面5个准则是由5个不同方程求求得的，故是是相互独立的的。b、对于为为广义相似对于c时，为严格相相似，最好。。对于一些相似似材料模型试试验，当c=2～8时，在小变形形情况下所引引起的应力误误差<5%，这在工程上上是允许的。。但在大变形形情况下，不不精确。对于严格相似似（c）时，有：如对于一个软软弱岩体高边边坡问题，原原型为20m高，试验室内内可采用相似似材料模型试试验，取1m，则cL=20/1=20,可采用石膏作作相似材料，，通过试验可可知：CE=，由得得：即（（石膏膏的混合料比比岩石大10倍，很难，找找不到这种材材料。）为此：取≠≠1而是=5，则，，故可在在石膏中加铁铁屑即可。这就是说，不不是非非取1不可，在小变变形范围内，，可取对于相似材料料试验：Cl=20，Cr=2，CE=20，Cu=1则有：Cε=CrCl/CE=2Cδ=CεCl=2*20=40但对于大多数数结构试验，，采用严格相相似，则=1，这时不考虑虑自重应力场场5.3试验方法5.3.1模型材料（一）模型材料的选选择对模型材料，，一般要求为为：a、对于研究应力力状态，模型型材料必须保保证具有良好好的线弹性特特性。对于强强度模型，则则模型材料应应接近或等于于原型结构的的材料强度，，才有可能进进行破坏试验验。b、满足相似似指标要求，，如E、u、ρ等均应符合相相似条件。c、满足必要的测测量精度。为了提高测试试精度，宜采采用E较低和容重较较大的材料，，但也应防止止材料的非线线性特性。另外，用于结结构模型试验验的材料，从从试验技术的的角度出发，，需考虑如下下具体问题：：a、弹性模量E大，获得足够够的变形，增增加荷载，模模型支座的刚刚度要强，不不如降低E。E过小，结构刚刚度过低，测测量仪器的刚刚性又可能妨妨碍模型结构构的变形，影影响试验结果果。b、泊松比无量纲量，应应相同才能满满足相似指标标。如不相同同，产生试验验误差。c、徐变即变形是时间间、温度和应应力的函数。。一切合成材材料几乎都有有徐变。为提提高试验精度度，应选用徐徐变小的材料料。d、导热性目前，结构模模型试验中测测量多用电阻阻应变片测量量，所以模型型材料导热系系数有重要的的影响，应选选项导热性好好的材料。e、可加工性性。∴应综合考虑虑。（二）常用结结构模型试验验材料常用材料如下下：a、金属金属的力学特特性大多符合合弹性理论的的基本假定，，如果原型型结构为金属属结构且对测测量值的准确确度有严格要要求时，则它它是最适宜的的模型材料，，最常见的是是钢和铝。最近，铝合金金材料用得较较多，因为它它有较低的E和良好的导热热性。b、塑料有双氧树脂、、聚乙烯和有有机玻璃等。。和钢材、砼、、石膏相比较较，其优点是是强度高而弹弹模低（约是是金的0.1～0.02倍），便于加加工。缺点是徐变大大、E随温度、时间间而变化。塑料被大量地地用来制作板板、壳、框架架、桥梁以及及形状复杂的的结构模型，，其中有机玻玻璃和环氧树树脂用得最多多。（光弹模模型材料）。。c、石膏石膏用作结构构模型材料已已有40多年的历史，，它的的性质和砼砼较接近，常常用来模拟砼砼或钢筋砼。。其优点是成型型方便、性能能稳定、易于于加工等。且且可以石石膏作基本胶胶结材料，通通过掺加不同同外加料的的方法改善其其力学和变形形特性。如加加入岩粉、砂砂、 水泥、、浮石、铁砂砂等。d、水泥砂浆e、微砼用作砼或钢筋筋砼结构的相相似模型。（（石子直径≤≤5mm）。其力学性性能与砼相接接近。模型用钢筋一一般是采用细细钢丝。f、地基基础结结构模型相似似材料相似材料一一般常以砂砂为基本材材料，以石石膏、石灰灰 、粘土土作为粘结结料，来组组成模型土土体相似材材料。通常cL=20～50时，采用石石膏和砂为为主的混合合料 ，或或加入适当当的掺加料料。5.3.2加荷方法（一）集中力加荷荷通常采用挂挂重法、杠杠杆加载和和千斤顶加加载等。挂重法：数数值稳定、、载荷值不不自动下降降，其缺点点是能产生生的载荷值值较小，一一般≯200KN，加、卸载载不方便。。千斤顶加载载方便、数数值大小可可调，缺点点是设备较较贵。（二）面力力加载单位面力强强度为常数数，如均布布堆载、为为线性变化化，如水、、土压力。。面力加载方方法有：重重堆堆载、、挂载，液液压加载、、气压加载载、千斤顶顶加载等。。液压多用水水和水银，，用液压加加载可利用用液压作用用力沿高度度呈三角形形分布的特特点来模拟拟水压力。。（三）体力力加载在结构模型型试验中，，体力是一一项重要的的荷载，它它是指结构构、基础结结构及其地地基岩土的的自重。通常施加体体力的方法法有：①、用分散散集中载荷荷代替自重重②、用面力力代替体力力的方法③、选高容容重、低强强度模型材材料。a、用分散集集中力代替替体力方法法将模型划分分成许多部部分，找出出每一部分分重心，然然后施加等等于该部分分模型自重重的集中载载荷。b、用面力代替替体力的方方法。对于常体力力弹性模型型，可采用用以面力代代替体力。。c、选择高容重重、低强度度模型材料料的方法由相似原理理，，当时时，，即模型与原型材材料容重相相同，不需需另加模型型自重荷载载。但c,c,即弹模小，，∴强度低低。d、预应力加加载对于预应力力钢筋砼或或其它预应应力结构，，预应力产产生的载荷荷在模型在在施加的方方法一般有有两种。一一是采用锚锚头和张拉拉设备；另另一种方法法是施加外外载，但应应在弹性范范围内。e、动力加载载（1）激振法小尺寸模型型的激振可可采用声波波（扬声器器）或压电电晶体体激振模型型，强迫模模型振动的的激振。大尺寸寸模型型可采采用冲冲撞形形式施施加。。（2）电磁磁振动动法电磁振振动台台是结结构模模型试试验中中常用用的加加载方方法。。（3）电液液伺服服法这是目目前最最先进进的动动力加加载方方法。。精度度高。。6离心模模拟试试验6.1基本原原理岩土工工程问问题中中，自自重产产生的的应力力场常常对工工程结结构及及周围围介质质的变变形、、强度度和稳稳定性性起主主导作作用。。而在在考虑虑自重重的相相似材材料模模拟试试验中中，必必须使使模型型与原原型在在材料料强度度、容容重、、几何何尺寸寸、变变性性性质、、应力力状态态等方方面都都相似似，且且各相相似比比之间间要满满足一一定的的约束束条件件，但但要同同时满满足这这些相相似条条件很很困难难。同时，，岩土土体的的物理理力学学性质质又很很复杂杂，因因而，，通常常只能能放松松约束束条件件，这这样的的试验验结果果很难难用来来评价价工程程原型型的实实际力力学行行为和和工程程特性性。如果采采用原原型材材料将将工程程原型型按一一定比比例CL缩制成成模型型，则则模型型与原原型的的物理理力学学性质质完全全相同同，为为了使使模型型应力力状态态能反反映原原型的的应力力状态态，当当体力力只有重力力时，，须满满足以以下条条件：：因原型型与模模型的的材料料相同同，故故有CE=1，则有有：即：所以，，为使使模型型与原原型的的力学学状态态完全全相似似，模模型的的容重重需为为原型型容重重的CL倍。因离心心加速速度场场与重重力加加速度度场有有完全全相同同的力力学效效果，，因此此，若若将模模型置置于CL倍重力力加速速度的的离心心加速速度场场中，，模型型中应应力场场与原原型中中的应应力场场将完完全相相似。。根据上上式可可知，，离心心模型型的CL大，所所需的的离心心加速速度就就大，，容重重相似似比就就小。。根据据相似似原理理，在在离心心模型型试验验中，，模型型中任任意点点的应应力、、应变变与实实体中中对应应点的的应力力、应应变均均相等等，而而实体体的位位移即即为模模型对对应点点位移移的CL倍6.2设备离心模模型试试验示示意图图1配重；；2模型盒盒；3模型7测试技技术被测对对象传感器器信号变变换测量系系统指示仪仪器记录仪仪器数据处处理系系统7.1测试系系统的的组成成一个测测试系系统可可以由由一个个或若若干个个功能能单元元所组组成。。一个个典型型的测测试系系统主主要由由以下下几部部分组组成：：荷载系系统测测量系系统显显示记记录系系统一次仪仪表二二次仪仪表组成：：荷载载系统统、传传感器器、信信号变变换与与测量量电路路、显显示记记录系系统四四大部部分。。又分