结构动力计算1结构力学学习资料课件

基本要求：熟练掌握熟练掌握单自由度体系的自由振动和简谐荷载作用下的受迫振动、两个自由度体系的自由振动及主振型的正交性。掌握计算频率的近似法、阻尼对振动的影响。了解一般荷载作用下结构的动力反映（杜哈梅积分）、无限自由度体系的自由振动。第十五章结构的动力计算结构动力计算特点和内容单自由度体系的自由振动单自由度体系的多自由度体系的自由振动多自由度体系的强迫振动无限自由度体系自由振动近似法求自振频率1、结构动力计算的特点和内容动荷载(dynamicload)与静荷载(staticload)的区别动荷载：大小、方向或位置随时间而变，静荷载：大小、方向或位置不随时间而变，而且变得很快或变得很慢衡量荷载变化快慢的标准还有结构的自振频率。与静力计算的区别。两者都是建立平衡方程，但动力计算，利用动静法，建立的是形式上的平衡方程。力系中包含了惯性力，考虑的是瞬间平衡，荷载内力都是时间的函数。建立的方程是微分方程。动力计算的内容。研究结构在动荷载作用下的动力反应的计算原理和方法。涉及到内外两方面的因素：

结构本身的动力特性：自振频率、阻尼、振型。（自由振动）

荷载的变化规律及其动力反应。（强迫振动）2、动荷载分类。按其变化规律及其作用特点可分为：1）周期荷载：随时间作周期性变化。（转动电机的偏心力）§15-1动力计算概述偏心质量m,偏心距e,匀角速度θ惯性力:P=mθ2e,其竖向分量和水平分量均为简谐荷载.θtP(t)tPt简谐荷载（harmonicload）一般周期荷载(periodicload)2）冲击荷载：短时内剧增或剧减。3）随机荷载：(非确定性荷载)荷载在将来任一时刻的数值无法事先确定。（如地震荷载、风荷载）

P(t)t随即荷载(randomload)PttrP突加荷载(Suddenlyappliedconstantload)P(t)ttrP爆炸荷载水平振动时的计算体系多自由度体系构架式基础顶板简化成刚性块θ(t)v(t)u(t)三个自由度三个自由度复杂体系可通过加支杆限制质量运动的办法确定体系的自由度xy(x)2）广义坐标法(generalizedcoordinate)将无限自由度体系化成有限自由度体系的另一种方法假设震动曲线为满足位移边界条件已知函数,称为形状函数,a1,a2,…an为待定的参数（广义坐标）。烟囱底部的位移条件:于是近似设变形曲线为:n个自由度体系简支梁的位移条件y(0)=0,y(l)=0于是近似设变形曲线为:n个自由度体系几点注意：1）对于具有集中质量的体系，其自由度数并不一定等于集中质量数，可能比它多，也可能比它少。2）体系的自由度与其超静定次数无关。3）体系的自由度决定了结构动力计算的精度。4）在几何构造分析中所说的自由度是刚体系的运动自由度，动力计算中讨论的自由度是变形体系中质量的运动自由度。一个质点两个自由度两个质点一个自由度二、自由振动微分方程的解)(mk=w)sin()(aw+=tatysincos)(00www+=tvtyty)0(020=Þ=yCyycossin)(21ww+=tCtCtyy(t)ty0－y0y(t)tv0/ω－v0/ωTta－aTα/ω)(0akyym=+

..02yy=+Þw..)0(010w=Þ=vCvy

.)sin()(aw+=tatysincos)(00www+=tvtyty001vytgwa-=22020,vyaw+=0cosavαw=0sinaya=sincoscossintatawawa+=振幅:Amplitudeofvibration初始相位角:initialphaseangle三、结构的自振周期(naturalperiod))sin()(aw+=taty)2(wp+=ty))2(sin(awpw++=ta)2sin(paw++=ta周期函数的条件:y(t+T)=y(t))sin()(aw+=taty是周期函数,且周期是:频率:(frequency)

每秒钟内的振动次数.圆频率:(circular

frequency)

2π秒内的振动次数.无阻尼自由振动是简谐振动自振周期计算公式的几种形式：gstD=p2gW=dp2m=dp2km=p2T=wp2圆频率计算公式的几种形式：stgD=Wg=dmk=wm=d1其中δ——是沿质点振动方向的结构柔度系数，它表示在质点上沿振动方向加单位荷载使质点沿振动方向所产生的位移。k——使质点沿振动方向发生单位位移时，须在质点上沿振动方向施加的力。Δst=Wδ——在质点上沿振动方向施加数值为W的荷载时质点沿振动方向所产生的位移。计算时可根据体系的具体情况，视δ、k、Δst三则中哪一个最便于计算来选用。一些重要性质：（1）自振周期与且只与结构的质量和结构的刚度有关，与外界的干扰因素无关。干扰力只影响振幅

a。（2）自振周期与质量的平方根成正比，质量越大，周期越大（频率于小）；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度越大，周期越小（频率于大）；要改变结构的自振周期，只有从改变结构的质量或刚度着手。（3）两个外形相似的结构，如果周期相差悬殊，则动力性能相差很大。反之，两个外形看来并不相同的结构，如果其自振周期相近，则在动荷载作用下的动力性能基本一致。W是质点的重力l/2l/2ml/2l/2k1ACBQCAQCB例2:求图示刚架的自振频率。不计柱的质量。EIEIEI1=∞mlh13EI/h26EI/h26EI/h2k12EI/h33EI/h311l/32l/3m例3例4l/2lm1h1θ例5解法1：求kθ=1/hMBA=kh=MBCk1hmI=∞EIBAC1解法2：求δ

强迫振动(forcedvibration)结构在荷载作用下的振动。ky(t)ymkymP(t)P(t)P(t)m弹性力－ky、惯性力和荷载P(t)之间的平衡方程为:1、简谐荷载(harmonicload)：tmFtAtAqqwqqsinsinsin22=+-tAyqsin=tytmFystqwqqwqwsin)1(1sin)1(22222-=-=单自由度体系强迫振动的微分方程特解：........mtFyyqwsin2=+..§15-3单自由度体系的强迫振动演示最大静位移yst（是把荷载幅值当作静荷载作用时结构所产生的位移）。特解可写为：通解可写为：设t=0时的初始位移和初始速度均为零，则：过渡阶段：振动开始两种振动同时存在的阶段；平稳阶段：后来只按荷载频率振动的阶段。（由于阻尼的存在）按自振频率振动按荷载频率振动平稳阶段：最大动位移（振幅）为：动力系数(magnificationfactor)1023123wqb重要的特性：当θ/ω→0时,β→1，荷载变化得很慢，可当作静荷载处理。当0<θ/ω<1时,β>1，并且随

θ/ω的增大而增大。当θ/ω→1时,β→∞。即当荷载频率接近于自振频率时，振幅会无限增大。称为“共振”。通常把0.75<θ/ω<1.25称为共振区。共振(resonance)当θ/ω>1时,β的绝对值随θ/ω的增大而减小。当θ很大时，荷载变化很快，结构来不及反应。当动荷载与惯性力共线时,还有例15-3有一简支梁（I28b），惯性矩I=7480cm4，截面系数W=534cm3，E=2.1×104kN/cm2。在跨度中点有电动机重量Q=35kN，转速n=500r/min。由于具有偏心，转动时产生离心力P=10kN，P的竖向分量为Psinθt。忽略梁的质量，试求强迫振动的动力系数和最大挠度和最大正应力。梁长l=4m.解：1）求自振频率和荷载频率

2）求动力系数β175.6MPaI22b3570cm4357039.739.71.35可见，对于本例，采用较小的截面的梁既可避免共振，又能获得较好的经济效益。52.3/57.4=0.91325149.2必须特别注意，这种处理方法（比例算法）只适用于单自由度体系当动荷载作用在质点且与质点运动方向一致时的情况。对于动荷载不作用于质点的单自由度体系，以及多自由度体系，均不能采用这一方法。2、一般荷载一般荷载作用下的动力反应可利用瞬时冲量的动力反应来推导1、瞬时冲量的动力反应设体系在t=0时静止，然后有瞬时冲量S作用。P(t)tP瞬时冲量S引起的振动可视为由初始条件引起的自由振动。由动量定理：Δtτtt't'sincos)(00www+=tvtyty2、任意荷载P(t)的动力反应P(t)tττ时刻的微分冲量对t瞬时(t>τ)引起的动力反应:初始静止状态的单自由度体系在任意荷载作用下的位移公式:(Duhamel积分)……（15-29）初始位移y0和初始速度v0不为零在任意荷载作用下的位移公式:t2）短时荷载P(t)tPu阶段Ⅰ(0<t<u)：与突加荷载相同：阶段Ⅱ(t>u)：无荷载，体系以t=u时刻的位移和速度为初始条件作自由振动。sincos)(00www+=tvtyty或者直接由Duhamel积分作另解：短时荷载可认为由两个突加荷载叠加而成。P(t)tPP(t)tPuP(t)tPu当0<ｔ<u当ｔ>u01.02.03.04.0βtrP0动力系数反应谱(spectrumofmagnificationfactor)动力系数β介乎1与2之间。如果升载很短，tr<T/4,则β接近于2,即相当于突加荷载情况。如果升载很长，tr>4T,则β接近于1,即相当于静荷载情况。常取外包虚线作为设计的依据。ty钢筋混凝土楼板自由振动试验曲线因为在振幅位置结构的变形速度为零（动能=0），故在振幅位置的变形势能就代表体系全部机械能。振幅随时间减小，这表明在振动过程中要产生能量的损耗。

振动过程中引起能量损耗的因素称为阻尼。阻尼(damping)对振动的影响演示忽略阻尼影响时所得结果能不能反映实际结构的振动规律。大体上忽略阻尼的振动规律考虑阻尼的振动规律结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。简谐荷载作用下有可能出现共振。自由振动的振幅永不衰减。自由振动的振幅逐渐衰减。共振时的振幅趋于无穷大。共振时的振幅较大但为有限值。产生阻尼的原因：结构与支承之间的外摩擦；材料之间的内摩擦；周围介质的阻力。阻尼力的确定：总与质点速度反向;大小与质点速度有如下关系：①与质点速度成正比（比较常用，称为粘滞阻尼）。②与质点速度平方成正比（如质点在流体中运动受到的阻力）。③与质点速度无关（如摩擦力）。粘滞阻尼力的分析比较简单，(因为R(t)=－Cy).其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析。考虑阻尼的振动模型ykykmP(t)P(t)y动平衡方程：1、有阻尼的自由振动(阻尼比dampingratio）)1(2-±-=xxwl0222=++wxwll)(=ltCety设解为：特征方程为：(characteristicequation)1)ξ<1（低阻尼）情况.........cae-ξωttyty低阻尼y-t曲线无阻尼y-t曲线①阻尼对自振频率的影响.当ξ<0.2,则0.96<ωr/ω<1在工程结构问题中0.01<ξ<0.1可近似取.②阻尼对振幅的影响.振幅ae-ξωt随时间衰减.相邻两个振幅的比振幅按等比级数递减.称为振幅的对数递减率.(logarithmicdecrement)

设yk和yk+n是相隔n个周期的两个振幅则:经过一个周期后,相邻两振幅yk和yk+1的比值的对数为:2)ξ=1（临界阻尼）情况)1(2-±-=xxwl=-wltyy0θ0这条曲线仍具有衰减性，但不具有波动性。工程中常用此方法测定阻尼EI=∞m例题：图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集中在横梁处共计为m9.8kN，加一水平力P=9.8kN，测得侧移A0=0.5cm，然后突然卸载使结构发生水平自由振动。再测得周期T=1.5s及一个周期后的侧移A1=0.4cm。求结构的阻尼比ξ和阻尼系数c。解：==wxk2=wxmc2=wwxm22返回临界阻尼常数cr是ξ=1时的阻尼常数。（振与不振的分界点）(criticaldampingcoefficient)阻尼比。反映阻尼情况的基本参数。3)ξ>1强阻尼：不出现振动，实际问题不常见。2、有阻尼的强迫振动①单独由v0引起的自由振动：（低阻尼体系，ξ<1）②瞬时冲量dS=Pdt=v0m所引起的振动，可视为以v0=Pdt/m，y0=0为初始条件的自由振动：③将荷载P(t)的加载过程看作一系列瞬时冲量④总反应P(t)tτt1=cr（1）突加荷载P0低阻尼y-t曲线无阻尼y-t曲线ysty(t)ωt0π2π3π4π5πy(t)ωt0π2π3π4π5π静力平衡位置具有阻尼的体系在突加荷载作用下，最初所引起的最大位移接近于静位移yst=P0/mω2的两倍，然后逐渐衰减，最后停留在静力平衡位置。（2）简谐荷载P(t)=Fsinθt设特解为：y=Asinθt+Bcosθt代入（17-34）得：+{Asinθt+Bcosθt}齐次解加特解得到通解：自由振动，因阻尼作用，逐渐衰减、消失。纯强迫振动，平稳振动，振幅和周期不随时间而变.结论：在简谐荷载作用下，无论是否计入阻尼的作用，纯强迫振动部分总是稳定的周期运动，称为平稳振动。y=Asinθt+Bcosθt=yPsin(θt－α)振幅:yp，最大静力位移yst=F/k=F/mω2...β与频率比θ/ω和阻尼比ξ有关4.03.02.01.001.02.03.0βθ/ωξ=0ξ=0.1ξ=0.2ξ=0.3ξ=0.5ξ=1.0几点讨论：①随ξ增大β曲线渐趋平缓，特别是在θ/ω=1附近β的峰值下降的最为显著。②当θ接近ω时，β增加的

xb21=共振时很快，ξ对β的数值影响也很大。在0.75<θ/ω<1.25(共振区)内，阻尼大大地减小了受迫振动的位移，因此,为了研究共振时的动力反映,阻尼的影响是不容忽略。在共振区之外阻尼对β的影响较小，可按无阻尼计算。③βmax并不发生在共振θ/ω=1时，而发生在，④由y=yPsin(θt－α)可见，只要有阻尼位移总滞后荷载

P=Fsinθt一个相位角α，但因ξ很小，可近似地认为：当θ<<ω时,α→0°体系振动得很慢，FI、R较小，动荷主要由

S平衡，(即P与S反向)，S与y反向，y与P基本上同步；荷载可作静荷载处理。当θ>>ω时,α→180°体系振动得很快，FI很大，S、R相对说来较小，动荷主要由FI平衡，FI与y同向，y与P反向；位移y、弹性力S，惯性力FI，阻尼力R分别为：...tqsinx21mFw2tFqsin-=kmwx22-=tymPqwqxsin2)-=tymFPI90）qqsin(2-=tkySPq),90sin(--=o当θ=ω时,α→90°由此可见：共振时（θ=ω），S与FI刚好互相平衡，βyst有无阻尼均如此。动荷恰与阻尼力平衡，故运动呈现稳态故不会出现位移为无穷大的情况。而在无阻尼受迫振动时，因不存在阻尼力来平衡动荷载，才出现位移为无限大的现象。k=mω2=mθ2...tycycRPqq90cos(--=-=o.=－P(t)⑤强迫振动时的能量转换振动荷载Fsinθt在振动一个周期所输入的能量.在时间段dt内在一个周期内.在时间段dt内在一个周期内.粘滞阻尼力－cy

在振动一个周期所消耗的能量....当体系有阻尼时,振动过程中总有能量的损耗,为使振动不衰减,就必须经常补充以能量.当稳态振动时,UR=UP⑥弹性动内力幅值的计算一般方法:由于结构的弹性内力与位移成正比，所以位移达到幅值，内力也达到幅值。将位移达到幅值时刻的荷载值和惯性力值加在结构上，按一般静力学方法求解。惯性力与位移同时达到幅值。荷载与位移无阻尼时同时达到幅值。有阻尼时位移总滞后荷载一个相位角α。比例算法:无阻尼单自由度体系且荷载作用在振动质点上(动荷载与惯性力共线)时，产生振幅yd的外力P为:这意味着，在位移达到幅值时，可用βF代替惯性力和荷载的共同作用（有无阻尼均如此）。βF产生的动内力和动位移是F产生的静内力和静位移β倍。注意：位移达幅值时，速度为零，故阻尼力为零，计算时不必考虑阻尼力。例15-4图示机器与基础总重量W=60kN，基础下土壤的抗压刚度系数为cz=0.6N/cm3=0.6×103kN/m3，基础底面积A=20m2。试求机器连同基础作竖向振动时(1)自振频率；(2)机器运转产生P0sin