福建省福州高三数学下学期质量检测试题（解析版）

第1页/共1页福州高三数学质量检测注意事项：1.答题前，考生务必将自己的班级、准考证号、姓名填写在答题卡上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知（），则a+b的值为（）A.-1 B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】根据得到，从而求出的值，得到答案.【详解】，故，所以，.故选：C2.满足等式的集合X共有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】D【解析】【分析】根据方程的实数根可得集合，则，由集合的并集与元素的关系即可得符合条件的所有集合.【详解】解：方程的实数根有，解集构成的集合为，即，则符合该等式的集合为，，，，故这样的集合共有4个.故选：D.3.设；，若p是q的充分不必要条件，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化简，根据充分不必要的定义列不等式求的范围.【详解】由已知可得，因为是的充分不必要条件，所以，所以，故选：A．4.已知点Q在圆C：上，点P在直线上，则PQ的最小值为（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】【分析】先将圆C变形，求出圆心与半径，再由圆到直线的最小距离求法求出值，再减去半径即可求出直线上的点到圆的最小距离.【详解】圆中圆心为，半径，圆心到直线的距离：，则，故选：A．5.已知，为单位向量，且，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设与夹角为，利用求出，在利用夹角公式计算即可.【详解】因为，为单位向量，由，所以，即，设与夹角为，则，又，所以，故选：C.6.将一个顶角为120°的等腰三角形（含边界和内部）的底边三等分，挖去由两个等分点和上顶点构成的等边三角形，得到与原三角形相似的两个全等三角形，再对余下的所有三角形重复这一操作．如果这个操作过程无限继续下去…，最后挖剩下的就是一条“雪花”状的Koch曲线，如图所示已知最初等腰三角形的面积为1，则经过4次操作之后所得图形的面积是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意可知，每一次操作之后面积是上一次面积的，按照等比数列即可求得结果.【详解】根据题意可知，每次挖去的三角形面积是被挖三角形面积的，所以每一次操作之后所得图形的面积是上一次三角形面积的，由此可得，第次操作之后所得图形的面积是，即经过4次操作之后所得图形的面积是.故选：A7.安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人，根据排列组合得出各自有多少种，再得出甲、乙到同一家企业实习的情况有多少种，即可计算得出答案.【详解】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人；当分为3,1,1人时，有种实习方案，当分为2,2,1人时，有种实习方案，即共有种实习方案，其中甲、乙到同一家企业实习情况有种，故大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为，故选：D.8.在某次数学节上，甲､乙､丙､丁四位同学分别写下了一个命题：甲：；乙：；丙：；丁：．所写为真命题的是（）A.甲和乙 B.甲和丙 C.丙和丁 D.甲和丁【答案】B【解析】【分析】构造函数，则在上单调递增，在上单调递减，由可判断甲；由可判断乙；由可判断丙；由可判断丁．【详解】令，则，由得，则在上单调递增，由得，则在上单调递减，，则，即，故甲正确；，故乙错误；，，即，则，故丙正确；，，即，则，故丁错误，故选：B．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，漏选得2分，选错得0分.9.已知函数图象是由函数的图象向右平移个单位得到，则（）A.的最小正周期为πB.在区间上单调递增C.的图象关于直线对称D.的图象关于点对称【答案】AD【解析】【分析】用二倍角公式化简，向右平移后得，分别代入正弦函数的单调区间，对称轴，对称中心分别对四个选项判断即可.【详解】因为，向右平移个单位得，则最小正周期为，故A选项正确；令，解得，所以单调递增区间为，故B选项错误；令解得，故C选项错误；令解得所以函数的对称中心为，故D选项正确.故选：AD10.长方体中，，底面是边长为的正方形，底面中心为，则（）A.平面B.向量在向量上的投影向量为C.四棱锥的内切球的半径为D.直线与所成角的余弦值为【答案】ABD【解析】【分析】利用线面平行的判定定理可判断A选项；利用投影向量的定义可判断B选项；计算出四棱锥的内切球的半径，可判断C选项；利用异面直线所成角的定义以及余弦定理可判断D选项.【详解】对于A选项，因为，，则，平面，平面，平面，A对；对于B选项，平面，平面，，易知，则，所以，，则，同理可得，因为且，故四边形为平行四边形，所以，，则，所以，在上的投影向量为，B对；对于C选项，点到平面的距离为，，取的中点，连接，则，则，所以，，设四棱锥的内切球半径为，则，所以，，C错；对于D选项，因为，则与所成的角为或其补角，由余弦定理可得，所以，直线与所成角的余弦值为，D对.故选：ABD.11.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派把称为黄金数．离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线．若黄金双曲线的左､右顶点分别为，虚轴的上端点为B，左焦点为F，离心率为e，则（）A.a2e=1 B.C.顶点到渐近线的距离为e D.的外接圆的面积为【答案】ABD【解析】【分析】由黄金双曲线的定义列方程求，由此判断A，根据数量积的坐标运算判断B，计算顶点到渐近线的距离判断C，判断的形状，确定其外接圆半径，由此求圆的面积，判断D.【详解】设双曲线的半焦距为，则，，由题意知，，A正确．，B正确．对于C，双曲线的渐近线方程为，所以顶点到渐近线距离，C错．对于D，因为，所以，所以为直角三角形，且，所以的外接圆半径为，故外接球面积，D正确．故选：ABD．12.设函数f(x)的定义域为R，f(2x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝＋b，若f(0)＋f(3)＝－1，则（）A.b＝－2 B.f(2023)＝－1C.f(x)为偶函数 D.f(x)的图象关于对称【答案】AC【解析】【分析】根据f(2x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，求出函数f(x)周期，并结合f(0)＋f(3)＝－1求出a，b的值，即可判断A；由f(x)的周期可求出f(2023)即可判断B；f(x＋2)为偶函数得，结合f(x)的周期即可判断C；由即可判断D．【详解】为奇函数，，令，则；用替换，则，又为偶函数，，令，则；用替换，则，，用替换，则，，则的一个周期为4，由，解得，故A正确；，故B错误；由，得，得为偶函数，故C正确；时，，不关于对称，故D错误，故选：AC．第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应横线上.13.若，则___________．【答案】【解析】【分析】结合展开式第项的通项公式可得项及其系数.【详解】展开式第项，时，，时，，．.故答案为：14.某学校组织1200名学生进行“防疫知识测试”．测试后统计分析如下：学生的平均成绩为=80，方差为．学校要对成绩不低于90分的学生进行表彰．假设学生的测试成绩X近似服从正态分布（其中μ近似为平均数，近似为方差，则估计获表彰的学生人数为___________．（四舍五入，保留整数）参考数据：随机变量X服从正态分布，则，，．【答案】27【解析】【分析】根据题意得到，结合原则和正态分布的对称性求出，求出获得表彰的学生人数.【详解】由题意得：，故，所以．故答案为：27.15.已知抛物线与过点的直线相交于A，B两点，且OB⊥AB（O为坐标原点），则三角形OAB的面积为___________．【答案】【解析】【分析】设出，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，利用列出方程，求出，，不妨设，则，从而求出，求出三角形面积.【详解】令，设，联立，消去可得：，则，故，因为，所以，故，不妨设，则，故．.故答案为：.16.已知函数则函数零点个数为___________．【答案】5【解析】【分析】方法一：令，将问题转化为，根据图象分析得有两个零点为，，从而考虑与根的个数即可求解；方法二：利用导函数以及零点的存在性定理讨论的根分别为．，从而用数形结合的方法确定与根的个数即可求解.【详解】方法一：大致图象如下令所以式方程的一个根，再由图可知式方程的另一个根，当时，与的图象有2个交点，所以有2个实根，当时，与的图象有3个交点，所以有3个实根，共有5个零点.方法二：令时，，当时，，所以在单调递减，所以在有且仅有一个零点，其中，则有且仅有一个零点，其中．时，时，在单调递增，，在有且仅有一个零点，，时，结合函数图象可知无解，有两个根因为，所以由图象可得与的图象有2个交点，所以有2个实根，当时，与的图象有3个交点，所以有3个实根，共有5个零点.故答案为:5.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.记，为数列的前n项和，已知，．（1）求，并证明是等差数列；（2）求．【答案】（1），证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用与前n项和的关系，由可得的值，即可求得的值；根据相减法求得为常数，证明其为等差数列；（2）由（1）中数列为等差数列，对进行奇偶讨论，即可求得.【小问1详解】解：已知，当时，，；当时，，，所以．因为①，所以②．②－①得，，整理得，，所以（常数），，所以是首项为6，公差为4的等差数列．【小问2详解】解：由（1）知，，，．当n为偶数时，；当n为奇数时，．综上所述，.18.记的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）设的中点为，若，且，求的的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由可得，由正弦定理及辅助公式得,即可求得答案；(2)在中，由余弦定理得，；在中，由余弦定理得，，从而得，再由，可得，，由三角形面积公式求解即可.【小问1详解】解：由已知得，，由正弦定理可得，，因为，所以,代入上式，整理得，又因为，，所以，即,又因为，所以，所以，解得；【小问2详解】在中，由余弦定理得，．而，，所以，①在中，由余弦定理得，，②由①②两式消去a，得，所以，又，解得，．所以的面积．19.如图，在四棱锥P-ABCD中，，且，底面ABCD是边长为2的菱形，．（1）证明：平面PAC⊥平面ABCD；（2）若，求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）．【解析】【分析】（1）连接，证明BD⊥平面APC，再由平面ABCD，得出平面APC⊥平面ABCD．（2）作辅助线，利用线面垂直的判定证明PH⊥平面ABCD，以O为坐标原点，建立坐标系，利用向量法求解即可.【小问1详解】连接DB交AC于点O，连接PO．因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC，且O为BD的中点．因为PB＝PD，所以PO⊥BD．又因为AC，平面APC，且，所以BD⊥平面APC．又平面ABCD，所以平面APC⊥平面ABCD．【小问2详解】取AB中点M，连接DM交AC于点H，连接PH．因为，所以△ABD是等边三角形，所以DM⊥AB．又因为PD⊥AB，，平面PDM，所以AB⊥平面PDM．所以AB⊥PH．由（1）知BD⊥PH，且，所以PH⊥平面ABCD．由ABCD是边长为2的菱形，在△ABC中，，．由AP⊥PC，在△APC中，，所以．以O为坐标原点，、分别为x轴、y轴建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，所以，，．设平面PAB的法向量为，所以，令得．设平面PBC的法向量为，所以，令得．设平面PAB与平面PBC的夹角为．所以，所以，平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为．20.有研究显示，人体内某部位的直径约10的结节约有0.2%的可能性会在1年内发展为恶性肿瘤.某医院引进一台检测设备，可以通过无创的血液检测，估计患者体内直径约10的结节是否会在1年内发展为恶性肿瘤，若检测结果为阳性，则提示该结节会在1年内发展为恶性肿瘤，若检测结果为阴性，则提示该结节不会在1年内发展为恶性肿瘤．这种检测的准确率为85%，即一个会在1年内发展为恶性肿瘤的患者有85%的可能性被检出阳性，一个不会在1年内发展为恶性肿瘤的患者有85%的可能性被检出阴性．患者甲被检查出体内长了一个直径约10的结节，他做了该项无创血液检测．（1）求患者甲检查结果为阴性的概率；（2）若患者甲的检查结果为阴性，求他的这个结节在1年内发展为恶性肿瘤的概率（结果保留5位小数）；（3）医院为每位参加该项检查的患者缴纳200元保险费，对于检测结果为阴性，但在1年内发展为恶性肿瘤的患者，保险公司赔付该患者20万元，若每年参加该项检查的患者有1000人，请估计保险公司每年在这个项目上的收益．【答案】（1）0.8486（2）0.00035（3）13万元【解析】【分析】（1）记事件A：直径约的结节在1年内发展为恶性肿瘤，事件B：该项无创血液检测的检查结果为阴性，利用求解；（2）先求出，再利用得解；（3）设获得20万元赔付的有X人，利用二项分布求出，记保险公司每年在这个项目上的收益为Y元，求出即得解．【小问1详解】记事件A：直径约的结节在1年内发展为恶性肿瘤，事件B：该项无创血液检测的检查结果为阴性，依题意有，，，，，，则，所以患者甲检查结果为阴性的概率为0.8486．【小问2详解】，．所以患者甲的检查结果为阴性，他的这个结节在1年内发展为恶性肿瘤的概率为0.00035．【小问3详解】记参加该项检查的1000位患者中，获得20万元赔付的有X人，则，则，记保险公司每年在这个项目上的收益为Y元，，则，所以保险公司每年在这个项目上的收益估计为13万元．21.设椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，若椭圆上的点到直线的最小距离为．（1）求椭圆E的方程；（2）过F1作直线交椭圆E于A，B两点，设直线AF2，BF2与直线l分别交于C，D两点，线段AB，CD的中点分别为M，N，O为坐标原点，若M，O，N三点共线，求直线AB的方程．【答案】（1）（2）或或【解析】【分析】（1）列出关于a，c的方程组，求出a，c，进而求出b，即可得到椭圆的方程；（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出AB的中点M的坐标，得到直线OM的斜率，利用直线AF2和BF2的方程，求出C，D的坐标，进而求出CD的中点N的坐标，得到直线ON的斜率，利用，求出m的值，即可得到答案．【小问1详解】由题意知，解得，所以，所以椭圆的方程为．【小问2详解】由（1）知，