工程力学弯曲应力

工程力学弯曲应力第一页，共六十页，2022年，8月28日一、梁横截面上的内力和应力的对应关系t=f1(FS)正应力仅与弯矩有关§11–1引言切应力仅与剪力有关s=f2(M)二、纯弯曲概念(PureBending)FaaAFBCDFSMxxF–F㊉㊀㊀–Fa–Fa若FS=

FS(x)

M

=

M(x)

同时存在，称为横力弯曲或剪切弯曲。梁在弯曲变形的同时产生剪切变形。如简支梁的AC、BD段。在梁的CD段中：FS=

0，M

=

常量即只有M

存在，没有剪力作用，称为纯弯曲。第二页，共六十页，2022年，8月28日纯弯曲：FS=

0，梁横截面上没有t，只有s。§11–2对称弯曲正应力一、矩形横截面梁纯弯曲实验研究纯弯曲实验：万能材料实验机上进行。FbdacO2O11122取矩形横截面梁实验：zyO梁表面作与梁轴线平行的纵向线——代表纵向纤维；与梁轴线垂直的横向线——代表横截面。第三页，共六十页，2022年，8月28日在梁两端加弯矩

M，使梁产生纯弯曲变形。第四页，共六十页，2022年，8月28日观察现象：1.横向线仍为直线，但相对地转过

一个微小角度，仍与已弯曲成圆

弧线的纵向线垂直；与轴向拉、压时变形相似。2.

纵向线均弯曲成圆弧线，且靠近

凸面处伸长，靠近凹面处缩短；3.

在伸长区，梁宽度减小，

在缩短区，梁宽度增加。bdacO2O11122MMababMcdcdM伸长缩短zyObdacO2O11122第五页，共六十页，2022年，8月28日二、假设1.梁弯曲平面假设弯曲变形时：2.

单向受力假设由实验现象和假设可推知：设想梁由许多层纵向纤维组成，弯曲时各纵向纤维处于单向受拉或单向受压状态。梁弯曲变形后，横截面仍保持为平面，并仍与已变弯后的梁轴线垂直，只是绕该截面内某轴转过一个微小角度。靠近梁顶面的纵向纤维受压、缩短；靠近梁底面的纵向纤维受拉、伸长。zyObdacO2O11122bdacO2O11122MM第六页，共六十页，2022年，8月28日O1O2弯曲变形时，梁横截面是绕中性轴转动的。从伸长到缩短的过程中，必存在一层纵向纤维既不伸长也不缩短，保持原来的长度。由变形的连续形可知：中性层：由既不伸长也不缩短的纵

向纤维组成。中性轴：中性层与梁横截面的交线。O'2中性层中性轴中性轴垂直于梁横截面的纵向对称轴。bdacO2O11122bdacO2O11122MM第七页，共六十页，2022年，8月28日1.

变形几何关系

——正应变分布规律二、弯曲正应力一般公式取梁微段

dx分析：弯曲变形后：1122O2O1dxr设中性层曲率半径为

r。横截面1-1、2-2仍保持为平面，取坐标轴：y轴，z轴。y轴与截面对称轴重合；z轴与中性轴重合(位置未定)。但各自绕中性轴转过一个角度，形成一夹角，为

dq；zyOdq1122MMO1O2第八页，共六十页，2022年，8月28日距中性层为

y处纵向纤维

ab的变形：弯曲前：abO1O2==dx弯曲后：ab=(r+y)dq中性层长度不变：O1O2==dx=rdqO1O2∴ab=dx=rdqab的伸长：D

ab=abab–=(r+y)dq–rdq=ydqab的正应变：∴为横截面上正应变分布规律。ybabay(a)

式表示：纵向纤维的正应变与其离中性层的距离

y成正比。在一定的

M作用下，r为常数，∴|y|，|

e|

。zyO1122O2O1dxdq1122MMO1O2r第九页，共六十页，2022年，8月28日中性层下方，y为正值，e也为正值，表示为拉应变；baO2O11122MMdqry中性层上方，y为负值，e也为负值，表示为压应变。zyO2.

物理关系

——正应力分布规律纵向纤维间无相互挤压，ab单向受拉(压)，由s=Ee，将

(a)式带入，得为横截面上正应力分布规律。式中E、r为常数，(b)式表示：横截面上某点的正应力与该点离中性层的距离

y成

正比。即横截面上正应力沿高度呈线性分布。第十页，共六十页，2022年，8月28日中性层下方，y为正值，s也为正值，表示为拉应力；baO2O11122MMdqry中性层上方，y为负值，s也为负值，表示为压应力。zyOy=0(中性轴上)，s=0；|y|max

(上、下表层)，

|s

|max

。由(b)式可得s的分布规律，但因r的数值未知，中性轴的位置未确定，

y无从算起，所以仍不能计算正应力，用静力学关系解决。第十一页，共六十页，2022年，8月28日zyO3.

静力学关系——确定中性轴位置及r的计算取微面积

dA：(z，y)yzssdAdA上微内力：sdAM截面上所有微内力sdA组成一空间平行力系，可合成为三个内力合力：

FN、My、Mz1)∫AsdA=FN∵FN=0

∴∫AsdA=

0

(c)(b)带入(c)：∵E、r不为零，∴∫AydA=

0

而∫AydA=Sz=yCA=

0

∴yC=

0

∴z轴(中性轴)为形心轴。即中性轴必须通过梁横截面的形心。第十二页，共六十页，2022年，8月28日zyOyzssdA(b)带入(e)：令Iz

=∫Ay2dA，称Iz

为横截面对z轴的惯性矩。∴即为用曲率表示的弯曲变形公式。yz2)∫AsdA·y=Mz∵Mz

=M

∴∫AsdA·y=

M

(e)横截面一定时，Iz一定。sM第十三页，共六十页，2022年，8月28日zyOyzssdAyz1/r为中性层弯曲变形后的曲率。∴将EIz称为梁的抗弯刚度。将上式带入(b)：∴表示：梁横截面上的

s与

M成正比，与

Iz

成

反比，沿截面高度呈线性分布。中性轴上：y=0，

s=0；上、下表层：|y|max

，|s|max

。sM第十四页，共六十页，2022年，8月28日zyOyzssdAyz2.中性层曲率：s的方向可由梁的变形直接判定：1.中性轴位置：中性轴过截面形心；MMs(–)s(+)MMs(+)s(–)结论：3.正应力公式：sM第十五页，共六十页，2022年，8月28日∴最大弯曲正应力∴上、下表层：

y=

ymax，三、最大弯曲正应力令Wz

=Iz

/ymax

，称Wz为横截面的抗弯截面系数。2.弹性范围内，且Ec=Et

1.纯弯曲：平面假设条件下；四、公式适用条件3.对称弯曲，y轴为梁横截面的纵向对称轴。∴公式、、可用于s≤

sp，对称弯曲中纯弯曲时的正应力计算和中性层曲率计算。第十六页，共六十页，2022年，8月28日例1：悬臂梁如图示，Me=20kN·m，E=200GPa，梁用No18工字

钢制成。试求梁的最大弯曲正应力和梁轴的曲率半径。解：(1)工字钢

Iz

、Wz(3)计算s

max

由附录E表4(P359)查得：Iz

=1.66×10–5m4

Wz

=1.85×10–4m3

(2)作M图(4)计算梁轴的曲率半径r由有第十七页，共六十页，2022年，8月28日§11–3惯性矩与平行轴定理一、简单截面的惯性矩1.定义：Iz

=∫Ay2dA，为图形A对z轴的惯性矩。Iy

=∫Az2dA，为图形A对y轴的惯性矩。2.分析讨论(1)dA>0，y2、z2>0，∴Iz

、Iy>0，单位：m4，cm4，mm4

(2)若A=A1+A2+···+An

则：Iz

=IzA1+IzA2+···+IzAn

=SIzAiIy

=IyA1+IyA2+···+IyAn

=SIyAi为组合图形的惯性矩公式。第十八页，共六十页，2022年，8月28日矩形截面的惯性矩：取微面积

dA：bdy∴圆形截面的惯性矩：取微面积

dA：(z，y)∴∵Iz

=Iy∴且有r2=y2+z2zyCddAyzrzyCh/2h/2b/2b/2dyy第十九页，共六十页，2022年，8月28日箱形截面的惯性矩：由组合图形的惯性矩公式：空心圆截面的惯性矩：zyCbhHBzyCDd第二十页，共六十页，2022年，8月28日二、平行轴定理已知：A、Iz0、Iy0Iz

=∫A

y2dA=∫A

(y0

+a)2dA求：Iz、IyCy0z0：过形心直角坐标系Oyz：任意直角坐标系z与z0平行，间距为a，y与y0平行，间距为b，=∫A(y02+2ay0+a2)dA∴Iz

=Iz0+

a2A∵Iz0=∫A

y02dA同理得：解：y=y0+az=z0+b∫A

y0dA=0∫AdA=AIy

=Iy0+

b2A=∫A

y02dA+2a∫A

y0dA+a2∫AdA即：截面对任一坐标轴z

的惯性矩Iz，等于对其平行形心轴z0

的惯性矩Iz0加上截面面积与两轴间距离平方的乘积。第二十一页，共六十页，2022年，8月28日已知：d、m求：Iz∴解：dmzz0yC已知：h、b求：Iz解：Chbzyz0第二十二页，共六十页，2022年，8月28日46z'y22求：图示图形对形心轴z的惯性矩Iz。单位：cm解：(1)确定形心位置zC(2)Iz∴Iz=IzA1+

IzA2=21.28+36.59=57.87cm4C2C1A1A2yC第二十三页，共六十页，2022年，8月28日46z'y22组合图形对形心轴z惯性矩Iz的计算步骤：(1)将组合图形分解为几个简单图形，

由形心公式确定形心位置：zC(2)由平行轴定理分别计算各简单图形对z

轴的惯性矩IzAiC2C1A1A2yCIzAi=Iz0+

a2Ai第二十四页，共六十页，2022年，8月28日MmaxM1解：1)作

M图确定截面弯矩例受均布载荷作用的简支梁如

图所示，试求：12120180zy30(1)1-1截面上1、2两点的正应力；(2)此截面上的最大正应力；(3)全梁的最大正应力；(4)已知E=200GPa，求1-1截面的

曲率半径。xM㊉q=60kN/mAB1m2m11第二十五页，共六十页，2022年，8月28日2)计算应力3)计算曲率半径MmaxM112120180zy30xM㊉q=60kN/mAB1m2m11第二十六页，共六十页，2022年，8月28日一、矩形截面梁横截面上的切应力假设：§11–4对称弯曲切应力简介zyOtyFS横截面上剪力FS位于纵向对称轴上，由切应力互等定理可知：截面两侧边处的切应力方向应平行于侧边。1.截面上各点切应力都与剪力平行；2.距中性轴等距离处，切应力沿宽度均布。当h/b>1时与实际情况较接近。在以上假设的基础上分析得切应力的计算公式为：矩形截面：高h，宽b，h>b。第二十七页，共六十页，2022年，8月28日即切应力沿截面高度呈抛物线分布。Sz(w)：为所求切应力处以外图形

面积w

对z轴的静矩。∴在中性轴上：y=0，在上、下表层：

y=±h/2，

t=0

；可知：∴t方向：与横截面上剪力方向相同；t大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度

h呈抛物线分布。tmax：为平均切应力的

1.5

倍。第二十八页，共六十页，2022年，8月28日二、工字形截面梁横截面上的切应力切应力仍可用矩形截面时公式计算：腹板上切应力：腹板为矩形：h>>d∴腹板上切应力的分布与矩形截面相同。工字形截面：由中间腹板和上下两

块翼板组成。Sz(w)：为所求切应力处以外图形面积w

对z轴的静矩。求得Sz(w)后代入上式得腹板上切应力的计算公式为：第二十九页，共六十页，2022年，8月28日即腹板上切应力沿腹板高度呈抛物线分布。在中性轴上：y=0，在腹板与翼板交接处，y=±h/2，

第三十页，共六十页，2022年，8月28日对工字型钢：式中翼板上切应力：可查型钢求得。在翼板上还存在垂直方向的切应力，数值很小，一般略去不计。此外，在翼板上还有沿水平方向(z方向)的切应力存在，其推导方法和结果可参考有关资料。第三十一页，共六十页，2022年，8月28日三、弯曲正应力与弯曲切应力比较最大弯曲正应力：最大弯曲切应力：∴当l>>h时，s

max

>>t

max

对实心截面的细长梁，弯曲正应力是影响梁强度的主要因素。第三十二页，共六十页，2022年，8月28日§11–5梁的强度条件对一般梁，弯曲正应力和切应力的分布规律为：横截面的中性轴处：有t

max

，并且为纯剪切。横截面的上下边缘处：有s

max，并且为单向受拉(压)；第三十三页，共六十页，2022年，8月28日y2y1yzC一、弯曲正应力强度条件对一般梁，M=M(x)，作

M图，确定

Mmax，即危险截面，[s

]为弯曲时材料许用正应力。则：发生在横截面的上下边缘处，且为单向受拉(压)。或：弯曲正应力强度条件：塑性材料：[s

c]=[st]，∴只需smax

≤

[st]脆性材料：[s

c]≠[st]，应：M第三十四页，共六十页，2022年，8月28日由强度条件可进行三方面强度计算：1.强度校核：2.设计截面：smax

≤

[s

]选择型钢时，若则可选用。3.确定许可载荷：Mmax

≤

[s

]Wz由Mmax

[F

]二、弯曲切应力强度条件一般对短梁(l<5h)、组合截面腹板较薄(工字形、T形、槽形等)、抗剪切强度低(焊缝、胶合面、铆钉连接等)的场合要进行弯曲切应力强度校核。弯曲切应力强度条件：[t

]为材料的许用切应力。第三十五页，共六十页，2022年，8月28日解：(1)作

FS、M图例5图示矩形截面木梁，已知b=0.12m，h=0.18m，l=3m，

材料[]=7MPa，[]=0.9MPa。试校核梁的强度。可知：FSmax=5400N

Mmax=4050N·m(2)校核梁的强度=6.25MPa<[]=0.375MPa<[]FSx㊉㊀∴梁安全。xM㊉q=3.6kN/mABl第三十六页，共六十页，2022年，8月28日xM㊉例6图示减速箱齿轮轴，已知F=70kN

，d1=110mm，

d2=100mm，材料[]=100MPa。

试校核轴的强度。F140350350d1d2ABCD12.25kN·m9.8解：(1)作M

图，确定危险截面C截面：Mmax=12.25kN·m

，

为危险截面D截面：MD=9.8kN·m，但其直

径较小，也可能为危险

截面。(2)强度校核C截面：=93.9MPa<[]D截面：=99.9MPa<[]∴梁满足强度要求。第三十七页，共六十页，2022年，8月28日解：(1)作

M图例7图示T形截面铸铁梁，已知Iz=8.84×10-6m4，y1=45mm，

y2=95mm，材料[t]=35MPa，[s

c]=140MPa。

试校核梁的强度。可知危险截面：D截面、B截面D截面：最大正弯矩

MD=5.66kN·mB截面：最大负弯矩

MB=3.13kN·m第三十八页，共六十页，2022年，8月28日=59.8MPa<[c]∴梁安全。∵|MD|

>|MB|

，|y2|

>|y1|

∴|sa|

>|sd|即最大压应力

为D截面上a点。而最大拉应力为D截面上b点或B截面上c点，由计算确定。stmax=33.6MPa<[t]注意：若将梁倒置，则stmax=59.8MPa>[t]梁不安全。(2)校核梁的强度第三十九页，共六十页，2022年，8月28日弯曲正应力是决定梁强度的主要因素，§11–6梁的合理强度设计是设计梁的主要依据。要使smax，则应使Mmax

、Wz一、合理安排梁的载荷及支座目的：使Mmax

如：合理安排载荷∴Mmax=0.25FlMmax=0.167Fl第四十页，共六十页，2022年，8月28日Mmax=0.125ql

2Mmax=0.025ql

2如：合理安排支座二、梁的合理截面形状Mmax

≤

[s

]Wz即梁所能承受的弯矩Mmax与Wz成正比，Wz越大越有利；另外，梁所用材料的多少和重量的大小与横截面面积A成正比，面积越小，材料越少，重量越轻，越经济。第四十一页，共六十页，2022年，8月28日梁的合理截面形状应为：A较小而Wz较大。如：矩形截面，高

h，宽b，h>b实际中矩形截面梁均为竖放。竖放时：hbyzCbhyzC平放时：即矩形截面梁竖放比平放具有更高的弯曲强度。若：h:b=3:2时，竖放时强度比平放时强度高

50%。第四十二页，共六十页，2022年，8月28日根据弯曲正应力的分布规律：离中性轴愈远，正应力愈大；靠近中性轴处，正应力很小。yzC因此靠近中性轴处的材料工作时未充分发挥作用。如：矩形截面改为工字形截面，可提高Wz所以应将尽可能多的材料配置在远离中性轴处的部位。yzC其他如箱形截面、T形截面、槽形截面等都可提高

Wz。第四十三页，共六十页，2022年，8月28日一般可用Wz/A来评价梁截面形状的合理性和经济性。若Wz/A较大，则表示梁截面形状较为合理性，较为经济。矩形截面：可知：矩形截面较圆形截面更为合理

。圆形截面：设直径

d=h工字钢、槽钢：此外在考虑梁的合理截面形状时，还应考虑到材料的力学性能。第四十四页，共六十页，2022年，8月28日对[t]=[c]的塑性材料，一般采用对称于中性轴的截面，此时有：tmax=cmax=[

]比较合理。如T形截面，并使中性轴偏向于强度较弱的一边。对[t]≠[c]的脆性材料，一般采用不对称于中性轴的截面，tmax=[t]，cmax=[c]设计时应有：由：即：可使最大拉应力和最大压应力同时达到材料的许用应力。对钢筋混凝土梁，应将钢筋置于梁中较大拉应力处。第四十五页，共六十页，2022年，8月28日三、等强度梁的概念一般M

=

M(x)<Mmax对等截面梁，需按最大弯矩Mmax处设计：即采用截面沿轴线变化的变截面梁。因此对Mmax以外的其他截面上的材料未得到充分利用。为节约材料，减轻重量，从强度考虑，可在

M较大处采用较大的截面，M

较小处采用较小的截面。变截面梁的强度条件：近似采用等截面梁的公式：M(x)为梁截面上的弯矩，Wz(x)为梁截面的抗弯截面系数。若使变截面梁各横截面上的最大正应力都等于许用应力，即得到等强度梁。第四十六页，共六十页，2022年，8月28日等强度梁的强度条件：可得等强度梁的Wz(x)沿梁轴线得变化规律：如：悬臂梁受F作用，矩形截面：h、b(1)b为常量、h(x)为变量M(x)=Fx∴即h(x)按抛物线规律变化。第四十七页，共六十页，2022年，8月28日自由端：x=0，h=0但不能满足切应力强度条件，所以由一段h为常量：工程实际中的鱼腹梁即为此种等强度梁。FF/2F/2FF/2F/2第四十八页，共六十页，2022年，8月28日(2)h为常量、b(x)为变量∴即b(x)按直线规律变化。其等强度梁为一三角形板。实际中将其分成狭条，再重叠起来，即得到常见的板弹簧。第四十九页，共六十页，2022年，8月28日对于圆截面的等强度梁，也可由条件求得直径d(x)的规律变化。但实际中考虑到轴的加工方便和结构装配上的要求，常采用阶梯形状的梁(阶梯轴)来代替理论上的等强度梁。F第五十页，共六十页，2022年，8月28日§11–8弯拉(压)组合强度计算一、弯、拉(压)组合变形实例：摇臂；轴向力产生轴向拉伸；横向力产生对称弯曲；摇臂为拉、弯曲组合变形。钩头螺栓；外力与轴线平行，但不重合，称为偏心拉伸(压缩)。向轴线平移后：F、MFM螺栓为拉、弯曲组合变形。杆件受轴向力和横向力同时作用时产生拉(压)与弯曲的组合变形。第五十一页，共六十页，2022年，8月28日弯拉(压)组合分析：1.

外力分析Fx：轴向力，使梁产生轴向拉伸2.

内力分析作FN图、M图危险截面：B截面(固定端)lABxyFjFFyFxFx=FsinjFy=FcosjFy：横向力，使梁产生对称弯曲m-m截面内力：FN=Fx=FsinjM

=Fyx=Fxcosj㊀MxB

FylAFNxAB

Fx㊉FN=FsinjMmax=FlcosjmmxFjFNMmmxFyFx第五十二页，共六十页，2022年，8月28日3.

应力分析FN：产生正应力sNM：产生弯曲正应力sM均布沿高度线性分布sNsMs+=危险点：a、bab4.

强度校核tmax≤

[t]应：cmax≤

[c]lABxyFjFjmmxFyFxab第五十三页，共六十页，2022年，8月28日弯拉(压)组合分析步骤：1.

外力分析将外力分解为轴向力和横向力。2.

内力分析作FN图、M图确定危险截面。3.

应力分析由危险截面上sN、sM的分布规律确定危险点，计算其应力：4.

强度计算stmax=sN+sM，scmax=sN–

sMtmax≤

[t]应：cmax≤

[c]sNsMs+=ablABxyFjFjmmxFyFxab第五十四页，共六十页，2022年，8月28日选择截面时：A、Wz未确定，需估算。先只考虑M作用，由再用不满