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第第#页(共25页)NFHG=45°,则HF=FG=AD,所以可证^ADM2△MHF,结论可得.(2)作FN±DG垂足为N,且MF=FG,可得HN=GN,且DM=MH,可证2MN=DG,由第一问可得2MF=AF,由cos=cos^FMG=—,代入可证结论成立MF【解答】解:(1)由旋转性质可知:CD=CG<ZDCG=90°,.•・NDGC=45°从而NDGF=45°,VZEFG=90°,.・.hf=fg=ad又由旋转可知,AD〃EF,,NDAM=NHFM,又:NDMA=NHMF,..△ADM^^FHM,AM=FM作FN±DG垂足为N•/△ADM^^MFH,DM=MH,AM=MF=*AFVFH=FG,FN±HG,HN=NGDG=DMHMHNNG=2(MHHN),\mn=-LdgcosZFMG=MMF,・cosNAMD==2MFAF・—=cosAF【点评】本题考查旋转的性质,矩形的性质,全等三角形的判定,三角函数,关键是构造直角三角形.21.(8分)某渔业养殖场,对每天打捞上来的鱼,一部分由工人运到集贸市场按10元/斤销售,剩下的全部按3元/斤的购销合同直接包销给外面的某公司:养殖场共有30名工人,每名工人只能参与打捞与到集贸市场销售中的一项工作,且每人每天可以打捞鱼100斤或销售鱼50斤,设安排x名员工负责打捞,剩下的负责到市场销售.(1)若养殖场一天的总销售收入为y元,求y与x的函数关系式;(2)若合同要求每天销售给外面某公司的鱼至少200斤,在遵守合同的前提下,问如何分配工人,才能使一天的销售收入最大?并求出最大值.【分析(1)根据题意可以得到y关于x的函数解析式,本题得以解决;(2)根据题意可以得到x的不等式组,从而可以求得x的取值范围,从而可以得到y的最大值,本题得以解决.【解答】解:(1)由题意可得,y=10X50(30-x)3100x-50(30-x)=-50x10500,即y与x的函数关系式为y=-50x10500;(2)由题意可得,100x>50(30-x),1100x-50(30-x)>20CVx是整数,y=-50x10500,・•・当x=12时,y取得最大值,止匕时,y=-50X1210500=9900,30-x=18,答:安排12人打捞,18人销售可使销售利润最大,最大销售利润为9900元.【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用,解答本题的关键是明确题意,利用函数和不等式的性质解答.(9分)如图,4ABC是等腰直角三角形,且AC=BC,P是^ABC外接圆。O上的一动点(点P与点C位于直线AB的异侧)连接AP、BP,延长AP到D,使PD=PB,连接BD.(1)求证:PC〃BD;(2)若。O的半径为2,NABP=60°,求CP的长;(3)随着点P的运动,照殳的值是否会发生变化,若变化,请说明理由;若PC不变,请给出证明.[分析(1)根据等腰三角形的性质得到NABC=45°,NACB=90°,根据圆周角定理得到NAPB=90°,得到NAPC=ND,根据平行线的判定定理证明;(2)作BHLCP,根据正弦、余弦的定义分别求出CH、PH,计算即可;(3)证明△CBPs^ABD,根据相似三角形的性质解答.【解答(1)证明::△ABC是等腰直角三角形,且AC=BC,・・・NABC=45°,NACB=90°,.•・NAPC=NABC=45°,AAB为。O的直径,,NAPB=90°,:PD=PB,.•・NPBD=ND=45°,.•・NAPC=ND=45°,,PC〃BD;(2)解:作BH^CP,垂足为H,VOO的半径为2,NABP=60°,,BC=2,2,NBCP=NBAP=30°,ZCPB=NBAC=45°,在Rt^BCH中,CH=BC NBCH=V6,BH=BC NBCH=V2,在Rt^BHP中,PH=BH=..2,.•・CP=CHPH=V6血;(3)解:PR+PB的值不变,PCVNBCP=NBAP,NCPB=ND,.△cbps^abd,A他二坐〜2,PCBC・・・陪〜小陪=5【点评】本题考查的是圆周角定理、相似三角形的判定和性质以及锐角三角函数的概念,掌握圆周角定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.(9分)如图,点A的坐标为(-4,0),点B的坐标为(0,-2),把点A绕点B顺时针旋转90°得到的点C恰好在抛物线y=ax2上,点P是抛物线y=ax2上的一个动点(不与点O重合),把点P向下平移2个单位得到动点Q,则:(1)直接写出AB所在直线的解析式、点C的坐标、a的值;(2)连接OP、AQ,当OPAQ获得最小值时,求这个最小值及此时点P的坐标;(3)是否存在这样的点P,使得NQPO=NOBC,若不存在,请说明理由;若存在,请你直接写出此时P点的坐标.【分析(1)利用待定系数法求出直线AB解析式,根据旋转性质确定出C的坐标,代入二次函数解析式求出a的值即可;(2)连接BQ,可得PQ与OB平行,而PQ=OB,得到四边形PQBO为平行四边形,当Q在线段AB上时,求出OPAQ的最小值,并求出此时P的坐标即可;(3)存在这样的点P,使得NQPO=NOBC,如备用图所示,延长PQ交x轴于点H,设此时点P的坐标为(m,方m2),根据正切函数定义确定出m的值,即可确定出P的坐标.【解答】解:(1)设直线AB解析式为y=kxb,
把A(-4,0),B(0,-2)代入得:Tk+b=0lb=-2解得:・k=^?,,b=-2・♦・直线AB的解析式为y=-1x-2,根据题意得:点C的坐标为(2,2),把C(2,2)代入二次函数解析式得:a=];(2)连接BQ,则易得PQ〃OB,且PQ=OB,・•・四边形PQBO是平行四边形,・・・OP=BQ,AOPAQ=BQAQNAB=2.5,(等号成立的条件是点Q在线段AB上),・•直线AB的解析式为y=-1x-2,・•・・•・可设此时点Q的坐标为(t于是,此时点P的坐标为(t--i-1-2),-11),・•点P在抛物线y=1x2上,•1t=it2,22解得:t=0或t=-1,・••当・••当t=0,点P与点O重合,不合题意,应舍去,AOPAQ的最小值为2.0此时点P的坐标为(-1,1);(3)P(-4,8)或(4,8),如备用图所示,延长PQ交x轴于点H,设此时点P的坐标为(m,1m2),则tanNHPO=^1:: __PH/1rl2|m|又,易得tanNOBC=1_,当tan
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