线性代数第一章行列式课件

教材：线性代数吴天毅等主编第一章行列式•行列式的定义•行列式的性质•克莱姆（Cramer）法则主要内容：•行列式按行（列）展开§1·1行列式定义用消元法解二元一次方程组：一、二阶和三阶行列式分母为的系数交叉相乘相减：用消元法解三元线性方程组：可得的分母为(若不为零）：定义三阶行列式：＋－图示记忆法例

解例

计算三阶行列式的例子：对于数码is和it：逆序数：一个排列中逆序的个数，例

求132、436512的逆序数解逆序数为偶数的排列称为偶排列，n阶（级）排列：由n个不同的数码1,2,…n组成的有序数组132是奇排列，436512是偶排列。但312是偶排列，634512、436521是奇排列。（二）排列与逆序数大前小后叫逆序(反序)记为：为奇数的称为奇排列。可见：交换任何两个元素（对换）改变了排列的奇偶性！定理1

对换改变排列的奇偶性。证（1）设元素i,j相邻：•若i<j,则新排列增加一个逆序;•若i>j,则新排列减少一个逆序。—改变了奇偶性（2）设元素i,j不相邻：共作了2s+1次相邻对换，由（1）知，排列改变了奇偶性。定理2

n个数码构成n!个n级排列，

奇偶排列各占一半（n!/2个）。证设有p

个奇排列，q个偶排列，p个奇排列p个偶排列q个偶排列q个奇排列（三）n阶行列式定义2阶：3阶：n阶：1阶：

右上三角形行列式等于对角线上元素之乘积(P.9)类似可得：特别：

对角形行列式等于对角线上元素之乘积(P.10)OO例的一般项还可记为或（定理1.3）(P.10)列标按自然顺序排列n阶行列式的另外两种表示(证明略）：§1.2行列式的性质复习：定义：的转置行列式行变列，列变行例证D的一般项：它的元素在Ｄ中位于不同的行不同的列，因而在Ｄ的转置中位于不同的列不同的行．所以这n个元素的乘积在Ｄ的转置中应为性质1所以由此性质也知：行具有的性质．列也同样具有．推论：

n阶行列式某两行（列）对应元素全相等，则行列式等于零。证性质3证记左边的行列式为D1,有注：

该性质对列也成立。

推论：

n阶行列式某两行（列）对应元成比例，则行列式等于零。证提出比例系数后，行列式有两行（列）对应相等，由前面的推论知行列式为零。性质5（保值变换）证成比例例计算行列式思路：用保值变换化成三角形行列式例证明奇数阶反对称行列式的值为零。证当n为奇数时有

用性质计算行列式=9一般地，可以计算请牢记这种方法，这类题就这种做法。关于范德蒙行列式注意以下三点1.形式:按升幂排列,幂指数成等差数列.2.结果:可为正可为负可为零.3.共n(n-1)/2项的乘积.对于范德蒙行列式,我们的任务就是利用它计算行列式,因此要牢记范德蒙行列式的形式和结果.你能识别出范德蒙行列式吗？你会用范德蒙行列式的结果做题吗？例：范德蒙行列式行列式按主要内容：1.代数余子式§1.3余子式n-1阶行列式Aij=(-1)i+j

Mijaij

的代数余子式（一）按某一行（列）展开定理4

按行展开按列展开即：D等于第i行（列）元素与对应的代数余子式相乘相加。证（下面就四阶行列式给出证明，方法是从特殊到一般。）(3)四阶行列式按第三行展开的结果＃n阶行列式按第i行展开：例2计算行列式解按第三列展开其中：所以解2按第二行展开按第一列展开例３讨论当Ｋ为何值时解所以，当例4求证证按第1列展开n-1阶即：第i行元素与另一行元素的代数余子式相乘相加等于零。定理5

证0=i行s行综合定理4，定理5对于行：对于列：克莱姆（Cramer）法则§1.4其解：记系数行列式讨论

n个方程、n个未知量的线性方程组的解一、非齐次线性方程组系数行列式：用常数项列替换D的第

j

列，其余列不变。记6911定理5（克莱姆法则）对于方程组（1），若有唯一解，且•证明思路：1°验证满足各方程（存在性）；2°（1）的

解定能表成形式（唯一性）。所用结果：证1°将Dj

按第j列展开代入第1个方程的左端将4左＝（证＝b1)()D按第1行展开＝0＝0满足第1个方程类似验证第2，…，n个方程也满足。是方程组（1）的解。2°由1°知，（1）有解，a11x1+a12x2a1nxn+…+=b1a21x1+a22x2a2nxn+…+=b2an1x1+an2x2annxn+…+=bn……用D的第j列元素的代数余子式乘两边AnjA2jA1jA1j这证明了（1）有解。A1jA1jA