球的切、接问题

2322222222与有的、问232222222241．球的表面积公式＝R；的体积式＝R2．与球有关的切、接题中常见的组合：

3(1)正四面与球：如图，设正四面体的棱长a内切球的半径为r，外接球的半径为，的中点为D，接，SE为正面体的高，在截面三角形SDC内一个与SD和DC相，圆心在高SE上圆．因正四面体本身的称性内切球和外接球球心同为O此时＝＝R，2OE＝r，＝，＝，则有＋＝a－r＝CE＝，得R＝a346r＝12(2)正方体球：①正方体的内切：截面图为正方形的切圆，如图所a示．设正方体的长为a，则|＝＝(r为切球半径)．2②与正方体各棱切的球：截面图为正方形EFHG的接圆，2则GO＝＝23③正方体的外接：截面图为正方形ACCA的外接圆，则A＝R′.111(3)三条侧互相垂直的三棱锥的外接球：①如果三棱锥的条侧棱互相垂直并且相等，则以补形为一个正方体体的接球的球心就是三锥的外接球的球心锥A-D1的外接球的球心正方体-AB的外接球的心重合．如图，设1113＝a，则＝1②如果三棱锥的条侧棱互相垂直但不相等，则以补形为一个长方体，a＋＋cl长方体的外接球球心就是三棱锥的外接球的球R＝＝(l为方体的体对4角线长)．类型一直三棱的外接球已知直三棱柱的6个点都在的面若AB=AC=4,AB⊥11AC=则球O的径为)1B.2D.3解：如图,由球心作平ABC垂,垂足为的点1

222表2222表2又AM=BC=,OM==6,所球O的径R=OA=1类型二正方体外接球

.已知某一多面体接于球构成一个简单组合如果该组合的正视图侧视图俯视图均如图所且图中的四形是边长为2的方,则该球的表面积是解：由三视图,棱长为的正方体内接于,正方体的体对角长为2

,为球的直径.所以球的表面积4π类型三正四面的内切球

=若一个正四面体表面积为其内切球的表面为,则1

=解：设正四面体棱长为a,则正四面体的表面为=a=,其内切球半径为正四1体高的即r=a=a因此内切球表面积为S=r=,2类型四四棱锥外接球

.四棱锥的个点都在一个球面该四棱锥的三视图如图所示,分是棱ABCD的点直线EF被面所截得的线段为则该球的表面积()A.9π

π

ππ解：该几何体的观图如图所示该几何可看作由正方体截得,正方体外接球的直径即为PC.由直线被球面所截得的线段长

,可知正方形ABCD角线AC长为

,得a=在中PC=

=2球的半径R=

,=

2

=π×()

=π2

ABC[通]ABC“切”“接”问的处理规律1．“切的处理解决与球的内切题主要是指球内切多面体与旋体，解答时首先要找准切点，通作截面来解决．果内切的是多面体，则作截面主要抓住多面体过球心的对角面作．2．“接的处理把一个多面体的个顶点放在球面上即为球的外问题．解决这类问题的关键是抓外接的特点，即心到多面体的顶点的距离等于的半径．[高考回顾]1.知是O的面上两点，AOB=90,C为球面上动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36则球的面积为A36B.64C.144πD.256π【解析如所示当点C于垂直于面AOB的径端点时三棱锥O体积最大，设球

的半径为R

，此时VOABCAOB

3

，故

，则球O的面积为S

2

，故选．CAB2.知三棱锥ABC的所有点都在球的求面上，ABC是长为1的三角形，为球的径，且2；此棱锥的体积为）)

2

B

D

26

2【解析】

的外接圆的半径

r

33

，点

到面

的距离

为O的径点到

的距离为

d

132此棱锥的体积为36另：

S6

排除B,CD3

223.知22

为球

的半径，过

的中点

M

且垂直于

的平面截球面得圆

M

，若圆M

的面积为

3

，则球

的表面积等_________________.解：设球半径为

R

，圆M的径为

r

，则

3即r

3

由题得

R

2

R()2

2

，所以

R242

。4.知球的半径为，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．两圆的公