物理竞赛中的数学知识

1(n-1)1(n-1)物理竞赛的数学知识一、重要函数．指函数．三函数y=sinx

y

y=cosx

y

2

2

2

-2

1o-1

2

2

2

2

x

2

2

2

-2

1o

2

2

2

2

xyy=tanx-

-

-

o

x．反角函数反正弦Arcsinx，反余弦Arccos，反正切Arctanx，反余切x这函数的统称，各自表示其正弦、余弦、正切、余切为x的角。二、数列、极限．数一次排列的一列数称为数列列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第项通常也叫做首项在二位的数称为这个数列的第2项排第位的数称为这个数列的第n项数列的一般形式可以写成a，a，，，a，a，1简记为｛通项公式：数列的第N与的序数n之的关系可以用一个公式表示，这个公式n就叫做这个数列的通项公式。．等差列一地，如果一个数列从第项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数个列就叫做等差数个常数叫做等差数列的公差差通常用字母d表。通项公式a，前n项n

n

a(n1nna2等比数列一地如果一个数从第项每项与它的前一项的比等于同一个常数个列就叫做等比数个常数叫做等比数列的公比比通常用字母q表。通项公式an

，前和

aqan)11

(所有项和

Sn

a1(1．求符号．数的极限：设数列无限增大时,若通项无接近某个常数,则数列nnA,或称A为列的限记作limann否则称数列a发散或lima不在nn

n

三、函数的极限：在自变量的变化过程中，对应的函数值f(x)限接近于常数，则称常数A是数f(x当自变量x在变化过程中的极。设fx)(>0)有定,对任

>0,总存在>0,x>X时恒有||<常数A是数f()当+的极限。记为运算法则

lim

()=，或f(x)A(x。lim

[()(

lim

f)

lim

(x)x

xlim

[()x)]=

lim

f(x)

lim

gx)xf(xlimxx(x)

limf(x)xlim(xx

x，其中

lim()四、无穷小量与无穷大量．若

limf(xxx

，则称

f(x

是

xx0

时的无穷小量。（若

limg(x)xx

则称

f(x

是

xx

时的无穷大量或：若

lim

,则称)当时无穷小。0在自变量某变化过程中f)|无限增大则()在自变量该变化过程中为无穷大记为limf(x).2．无穷小量与无穷大量的关系无穷小量的倒数是无穷大量；无穷大量的倒数是无穷小量。3．无穷小量的运算性质有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量。无穷小量乘有界变量仍为无穷小量。有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量。4穷小的比较定义：设

lim

，

lim

x，x若若若若

limlimlimlim

))))))))

=0，则称当x时)是比()高阶无穷小。0=称当)比x)阶无穷小。0=C，称当x时)与x是同阶无穷小，0则当xx与(x是等价无穷小。0．常用的等价无穷小为：当x：sinxxarctanx1等价无穷小可代换五、二项式定理．阶：n!=1×2×3×…×n

11，x。2．组合数：从m个同元素中取出≤m）元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数

．二式定理11ta11ta即六、常用三角函数公式（＋α）＝－sin（/2＋α）α

（＋α）＝－α（/2＋α）＝—α

tan（π＋α）α（π/2＋α）＝－αA)sinAcosBsinsinBcos()cosBcoB

n

cc

oBinssinAA

A

2

A

2

A

2

A

2

tan2

21tansin

11A1itan222co和化公

aasinb2cos22acosaab22tanab积和公asinb2

ab

icsi2

万公a

21

a2a22

a

11

22

a2t22aa1ta223333典物问数列极限等应用．蚂蚁开巢穴直线爬行它速度与到蚁巢中心的距离成反比蚂蚁爬到距中心距离L的A点时，速是V。试问蚁继续由A到距巢中心L=2m的B112点需要多长时间？．m

1

a

1

m

2

a

2ma常见近似处理．人岸上以v速度匀速运动，如图位置时，船的速度是多少？0．如所示，顶杆AB可竖直滑槽K滑动，其下端由凹轮M推动，凸轮绕O轴匀角速度转动.在图示的瞬时，OA=r凸轮轮缘与A接，线n与之间的夹角为，试求此瞬时顶杆的度第十一届全国中学生物理竞赛预赛试题．三个芭蕾舞演员同时从边长为L的三角形顶点A,B,C出发，速率都是v，运动向始终保持着朝着朝C,C朝A。经过多少时间三人相遇？每人经过多少路程？4．如所示，半径为R的质圆柱体置于水平放置的、半径为R的圆柱上，母线互相垂直设圆柱间动摩擦因数足够大会发生相对滑动试问稳定平衡时R与R应足什么条件一狐狸以不变的速沿着直线逃，一只猎犬以不变的速率追击，其运动方1向始终对准狐狸.时刻狐狸在F处猎犬在D处⊥AB且，图141所，求猎犬的加速度的大.解猎犬的运动方向始终对准狐狸且速度大小不变，故猎犬做匀速率曲线运动，根据向心加速度

a

22r

r

为猎犬所在处的曲率半径，因为r不断变化，故猎犬的加速度的大小、方向都在不断变化题要求猎犬在D处加速度大小由大小不变如求出D点曲率半径，此时猎犬的加速度大小也就求得猎犬做匀速率曲线运动，其加速度的大小和方向都在不断改变在求时刻开始的一段很短的时间2a

内，猎犬运动的轨迹可近似看做是一段圆弧，设其半径为R，则加速度其方向与速度方向垂直，如图141甲所示时间内，设狐狸与猎犬分别到F

，猎犬的速度方向转过的角度为

/R而狐狸跑过的距离是：

因而

/R≈

/L

/

所以猎犬的加速度大小为

a

2

=

1

2

/L．如图所示，半径为，量为m的形绳圈，以速率绕中心轴O在光滑水平面上匀速转动时，绳中的张力为多大？解

取绳上一小段来研究，当此段弧长对应的圆心角

很小时，有近似关系式

若取绳圈上很短的一小段绳AB=为研究对象，设这段绳所对应的圆心角为

，这段绳两端所受的张力分别为

A

和

B

（方向见图—3甲绳圈匀速转动切向加速度以

A

和

B

的大小相等等T.

A

和

B在半径方向上的合力提供这一段绳做匀速圆周运动的向心力这绳子的质量为

根据牛顿第二定律有：

sinR2

；因为很短，它所对应的圆心角小以

sin2将此近似关系和

mm22代入上式得绳中的张力为

m

．在铅垂面上有一固定的光滑直角三角形细管轨道ABC光滑小球从顶点A处斜边轨道自静止出发自由地滑到端点C处需时间，恰好等于小球从顶点A处自静止出发自由地经两直角边轨道滑到端点处所需的时这里假设铅垂轨道AB与平轨道的交接处B有极小的圆弧，可确保小球无碰撞的拐弯，且拐弯时间可忽略不.在此直角三角形范围内可构建一系列如图14中线所示的光滑轨道，每一轨道是由若干铅垂线轨道与水平轨道交接而成，交接处都有极小圆弧（作用同上均A点发到点止，且不越出该直角三角形的边界，试求小球在各条轨道中，由静止出发自由地从A滑行到点经时间的上限与下限之比解析直三角形、、三的长分别记为l、l、l，如图——甲所示，小球从A到B的间123记为，从到C的间T，而从A直接沿斜边到2所经历的时间记为

T

，由题意知

T13

，可得

l1

：

l

2

：

l

3

=34：，由此能得

与

的关系因为

l

2

l12所以

lT1l22因为

l

：

l

：4，所以

小球在图144—乙中每一虚线所示的轨道中，经各垂直线段所时间之和为

t1

，经各水平段所需时间之和记为则从A到所时间总和为

t

最的对

t的下限

t

min

，最长的

t

2

对应

t

的上限

t

.小球在各水平段内的运动分别为匀速运动一水平段路程放在低处运动速度大需时间短，因此，所有水平段均处在最低位置（即与重）时t最，其值即为T，故2t

min

=t

5T3的上限显然对应各水平段处在各自可达到的最高位置的方案是垂直段每下降小量便一段水平小量这个小量间恒有2

角即∠ACB水平段到达斜边边界后再降小量并接一相应的水平量此继续下去构成如图所示的微齿形轨道，由于

、

均为小量，小球在其中的运动可处理为匀速率运动，分别所经的时间小量

(i)

与

i

之间有如下关联：i)2(i)1

cot于是作为

i

之和的

t

上限与作为

i

之和的

之比也为

cot

故

t

的上限必为cot

，即得：

t

7T.3这样

t

:t

min求与分一、导数的概念1．导数定义设y=f(x)在的邻域内有定义在邻域内给自变量一个改变量0

函值有一相应改变量

f(xfx00lim0

若极限f(x(x)lim0存在则称此极限值为函数在点的导此时称在x点导用0f)或

y

x

或

dyxx

或

(x)x

表示导数

若f()f)将

在集合内处处可导（这时称在D内导,对任意xx的化而变化,因此它是的数称为y=f(x)导函数记作

相应的f

,或

df(x

2．导数的几何意义若函数f(x)点x处导则0

f)

就是曲线在）切线的斜率,此时切00线方程为

yyf0

)(xx)00

当

f

=0,线在点（x）的切线平行于轴切方程为0

yyf(x0

若在处续又0

xx0

时

f

此时曲线y=f(x)在点（）处的切线0垂直于x轴切线方程为x=x.0．几个基本初等函数的导数⑴

⑵

x

⑶

x

⑷

2．导数的四则运算（1

[cx)]

；（2

[x)()]

；（3

[)x)]

(x

；（4

x)uv(x))v(x(x

1．微分的概念设f()量可以表示为

x

的某邻域内有定义在其中给

x

一改变量

相的函数值的改变(fx0).00其中与无则称f(在点微且称Af(x

在

x

点的微分记为

x

x

A

是函数改变量的性主部.f(x在可微的充条件是

f(x在x可导,

x

f

)

当f(x

时,可得

因此

x

)f由此可以看微分的计算完全可以借助导数的计算来完.（2分的几何意义当x由x变到x点的切线的纵坐标的改变量为dy.如图示.

时函纵坐标的改变量为此时过x

当<当>

时,切线在曲线下方,线为凹时,切线在曲线上方,线为凸f(xf(xf(或2．微分运算法则设

u(xv)

可微则(cu())cdux),d)0.[u()()]du(x)du().[u())]x)()()du().

()(x)()(xdv()()v2x)1．不定积分概念【定义】原函数

若对区间I上每一点,有F(x)或F()f()dx则称（）是函数f(x)该区间上的一个原函原函数的特性

若函数有一个原函数F(x),则它就有无穷多个原函,且这无穷多个原函数可表示为F）的式其C是意常数【定义】(不定积分是f(x)一个原函数则

函数f(x)原函数的全体称为f(x)的不定积,记作(数)fx)F(x)

f()

若2．不定积分的性质（1积分运算与微分运算互为逆运算.f(x)()dxdx

Fdx(x)或

(x)F(x（2

)x)dx

k0)（3

()g)]

f(x

(xdx3本积分公式

kdxkx

dx

o

si

sin四、定积分【定义】定积分

函数

f(x

在区间[]上的定积分定义为Ix)dxlim0

i

f

i

)

i

，【定理牛顿莱布尼茨公式)若数

f(x

在区间]上连续F(x是(x)

在[]上的一个原函数，则

f(x)

Fx)()F)

上述公式也称为微积分基本定是计算定积分的基本公常见应用．一砌堤，堤身在基石上，高为，宽为b如图所示。堤前水深等于堤高，谁和堤身的单位体积重量分别为q和防止堤身绕A点倒，比值b/h应等于多少？2．个半径四分之一的光滑球面置于水平桌面上．球面上有一条光滑均匀的匀质铁链，一端固定于球面顶点A，另一段恰好与桌面接触，且单位长度铁链的质量为p，铁链端所受到拉力以及铁连所受球面的支持力．3．量为m的匀橡皮圈处于自然状态下的半径为，弹性系数为k。将它保持水平套1在半径为的竖直圆柱上（r＞r），套上后橡皮圈的质量分布仍是均匀的，橡皮圈与柱面221之间的静摩擦因数为μ在圆柱体绕竖直轴转动起来图所示要保持橡皮圈不滑下，圆柱转动的角速度ω不超过多少？常数知汇一、三函公1.两和式A)sinAcosBsinsinBcos()cosBcoB

n

cc

oBinstan(A)A)2.二角式

tanBtanABtan(A)1tanAtantanBABcotABA)BcotAcotsinA

A

2

A

2

A

2

A

2

11ta1（）lim11ta1（）limtan2

21tan3.半公

1Acos2AA1Asin21coscosA4.和化公式

aasinb2cos22acosaab22tanab

5.积和公式asinb2

ab

icsi2

6.万公a

21

a2a22

a

11

22

a2t22aa1ta227.平关sin

2

2

2

n

2

2

2

8.倒关tanxsec