三角形内角和 (4) 教学设计

附件：教学设计方案模版教学设计方案课程三角形内角和课程标准教材中本节课的内容之所以称之为核心内容，关键是它的地位举足轻重，教材在这里设置“三角形的内角和定理”的证明及相关内容的简单应用，其目是，起到了一个承上启下的作用，它这所以放在相交线与平行线之后，是因为学习了相交线与平行线后有了证明三角形内角和等于180度的工具，相交线与平行线的相关定理作为重要的推理依据，同时，它放在三角形全等之前，为三角形全等的推理证明提供了证明的依据。由于小学学生已知三角形内角和等于180度，学会用折叠的方式验证，但小学没有上升到严格的证明，所以通过本课学习要求学生初步学会证明，通过“回顾结论、辨析发展、推理论证”进行研究三角形内角和定理。教材在作平行线时用同一个图形两种不同的处理方式，过一个顶点作一边的平行线，但实际上添加辅助线的方法有许多，通过添加辅助线证题，增强学生的观察、猜想和和定理证明的能力，感受探索三角形内角和定理的证明过程，培养学生有条理地思考问题和表达问题的能力，通过渗透＂化归＂的数学思想，培养学生解决数学问题的基本方法。通过师生的共同探究活动，培养学生的概括、总结能力，激发学生探索问题的兴趣，并且能运用三角形内角和定理解决实际问题。由于初一学生第一次接触几何证明，要求不能太高，要求学生基本学会定理的证明，在今后的学习中不断的提高要求。由于学生已经知道“三角形内角和等于180º”这一结论,因此，教学只有围绕“180º”来做文章，而学生已经学习或已经掌握的关于“180º”的性质或定理只有如下几点：（1）一个平角等于180º;（2）互补的两个角（或邻补角）的和等于180º;（3）两直线平行,同旁内角互补,这两个角的和等于180º;（4）两个直角的和等于180º。因此，从这里入手，引导学生去探索定理的证明思路，比较自然、恰当而且科学.教学内容分析【内容】本教学设计依托的课本内容是人教版《数学》第11章第二节11.2与三角形有关的角中的第一课时“11.2.1三角形的内角”,主要介绍了三角形的内角和定理及其证明，以及怎样利用定理解决与三角形的内角和有关的问题.【内容解析】课文一开始就明确指出,学生在小学里已经知道了,任意三角形的三个内角和等于180º,现在的问题是,怎样证明这个结论?而作为学生一面,他们可以思考,如果通过测量每一个三角形,可以得出这个结论,但是,作为教材的一方面,指出这样做是很不严谨的,理由有二:(1)形状各异的三角形有无数个,不可能用度量的方法一一验证所有的三角形；(2)测量是有误差的,可能出现这样的结果,有的同学量得某三角形的三个内角和大于180º,而有的同学量得某三角形的三个内角和小于180º,从而导致了不确定性，这就充分说明了证明“三角形的三个内角和等于180º”这个定理的必要性。教材中引导学生探讨如何进行三角形内角和定理的证明，展示了一个完整的证明过程，让学生看到证明的表达形式，为学生进行逻辑推理的训练作好准备。教材在学习了定理证明后，紧接着利用一道海岛视角问题，介绍了怎样利用“三角形内角和定理”解决一类实际问题。教学目标（1）学会利用已学的相交线与平行线等相关性质证明三角形的内角和定理；（2）通过介绍“三角形内角和定理及其证明”，让学生初步了解什么是几何证明，并感受证明几何问题的基本结构和推导过程（这个定理证明是课本第一次出现的几何证明）.（3）通过例题的学习和练习的初步训练，使学生初步了解到，作为核心内容、核心定理之一的“三角形内角和定理”在航海测量、几何计算等方面的重要的意义和价值.（4）通过学习，使学生初步感受到在证明几何时,通过作辅助线可以给我们证明几何问题带来方便。学习目标基本学会运用三角形内角和定理解决实际问题。学情分析学生只知道“三角形内角和等于180º”是正确的，至于为什么是正确的，则无从知晓，如果真要追问到底的话，学生至多会说，经过测量可以得出这个结论。而对于任意三角形的多样性、复杂性估计不足，至于利用这个结论去解决其他问题时的可靠性则不知所云（课文为了弥补不足，特意另配了一个阅读与思考P78，来加以强化说明证明的必要性），这就是学生学习第一个定理证明时必然要碰到的第一个困难；如何获取证明的思路，如何引导学生利用所学知识将三角形的三个角搬在一起，正确添加辅助线是学生在学习中的第二个困难；而在学习例题时，如何依据A、B、C岛的位置，通过连线准确构成ΔABC，为运用“三角形内角和定理”解决角度计算问题做铺垫，就成为学生学习的第三个困难.重点、难点学生如何获取证明的思路，如何添加辅助线解决问题，并进行合乎情理地思考，有条理地表达；同时如何利用三角形内角和定理解决生活中的实际问题也是本节课教学中的一个难点。教与学的媒体选择多媒体课件、贴纸课程实施类型偏教师课堂讲授类√偏自主、合作、探究学习类备注教学活动步骤序号名称课堂教学环节/学习活动环节长度1引入小组探究，引出课题5分钟2新课探究探索三角形内角和定理证明的方法15分钟3直接应用直接应用，检测基本知识掌握情况5分钟4典例讲解例题分析，加深理解10分钟5小结总结概括，自我评价5分钟……教学活动详情教学活动1：小组探究，引出课题活动目标引出课题解决问题引导学生明白三角形内角和需要证明技术资源PPT常规资源习题、板书、提问活动概述师：小学时我们就知道三角形的内角和是180度，那时侯,大家是怎样知道的呢?生：通过度量的方法,或者剪拼的方法。师：同学们说的有一定的道理，但形状各异的三角形有无数个,不可能--度量；另外测量常常还会出现误差,有的同学量得某三角形的三个内角和有可能为179º，这说明度量法不是特别靠谱，那么今天我们就来学习一个靠谱的方法----用推理证明出三角形三个内角和为180度。师：如何证明？我们可以先从“180度”下手，我们学过哪些角等于180度？生：应该有以下几点：（1）一个平角等于180º;（2）互补的两个角（或邻补角）的和等于180º;（3）两直线平行,同旁内角互补,这两个角的和等于180º;（4）两个直角的和等于180º.师：如果我们能把三角形的三个内角合成一个平角或者互补的角的话，那不就能说明它是180度了吗？接下来，我们的道具拿出来，为了便于分辨，请同学们像老师这样。先在相同的角上标上同样的数字。把两个角撕下来，然后把它们拼合在一起，有多少种不同的拼合方法？拼好后，与原来的三角形叠在一起作对比拼图的目的是为了证明三角形的内角和为180度，看看哪组同学方法最多？说明：学生探索证明过程教师走到学生中帮助学习有困难的学生。教与学的策略小组合作、个别指导反馈评价学生积极踊跃参与讨论并回答问题教学活动2：探索三角形内角和定理证明的方法活动目标探索内角和证明方法解决问题辅助线的做法技术资源PPT、拼图常规资源板书、习题活动概述要证明三角形内角和为180度，通过拼合，你能得到什么启示？图2问题3：证明三角形内角和定理：三角形的三个内角和等于180图2已知：如图2，三角形ABC求证：∠A+∠B+∠C=设计意图：教师指导学生从不同角度思考,添加辅助线,解决证明疑难.作辅助线时，要遵循能够利用前面所学的有关性质、定理进行后续推理的原则.师生活动:学生自主探索，教师一边巡视，一边指学习有困难的学生，根据学生完成的情况，大约给学生5至10分钟的时间探索，然后由学生展示自己的探索结果，教师补充。生1：学生给出证法一(课本证法，利用平角180º):图3过点A作直线同m∥BC,如图图3∵∥BC,∴∠1=∠B,∠2=∠C(两直线平行,内错角相等)∵∠1,∠3,∠2组成平角,∴∠1+∠3+∠2=180º(平角定义)∴∠B+∠3+∠C=180º(等量代换)师：这里可以看出，证明就是由题设(已知)出发,经过一步步的推理,最后推出结论(求证)正确的过程.师：为什么是过点A作BC的平行线DE，不是平行线能移动图4∠B和∠C吗？如图4，将∠B移到∠2位置上，∠C图4∠1位置上，此时DE与BC不平行。生1：过点A用一直线可以有无数条，哪一条才能满足要求？难于判定，但是过点A作BC的平行线只有一条。生2：学生补充给出证法二:（利用平角180º):如图5,延长BC到点D,过点C作CE∥AB∵CE∥AB(作图)图5∴∠2=∠A,(两直线平行,内错角相等图5∠1=∠B.(两直线平行,同位角相等)又根据平角定义,∴∠1+∠2+∠3=180º∴∠A+∠B+∠3=180º(等量代换)师：刚才同学们采用搬动两个角使得三角形的三个内角化为成一个平角的方法来证明，请问还有哪一位同学的方法与刚才的方法不相同？能否只搬动一个角？生3：还可以设计如下证法：（利用两直线平行,同旁内角互补）图6过顶点C作CD∥BA（如图6），则∠1＝∠A图6∵CD∥BA∴∠1+∠ACB+∠B＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．∴∠A+∠ACB+∠B＝180°。师：教师给出证法三:（利用两直线平行,同旁内角互补）图7如图7，分别过点A、B、C作AF∥BD∥CE图7∵AE∥BD∥CF（作图）∴∠1=∠2，∠3=∠4（两直线平行,内错角相等)∴∠1+∠5+∠6+∠4=180º(两直线平行,同旁内角互补)∴∠5+∠6+∠2+∠3=180º（等量代换）设计意图:为学生学习例题