导数常见题型及解题方法总结

导数题型总结1、别离变量-----用别离变量时要特别注意是否需分类讨论〔>0,=0,<0〕2、变更主元-----谁的围就把谁作为主元3、根分布4、判别式法-----结合图像分析5、二次函数区间最值求法-----〔1〕对称轴〔重视单调区间〕与定义域的关系〔2〕端点处和顶点是最值所在一、根底题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立此类问题提倡按以下三个步骤进展解决：第一步：令''(x)=。得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；第三种：变更主元〔即关于某字母的一次函数〕---〔谁的围就把谁作为主元〕。例1：设函数y=f(x)在区间D上的导数为f'(x)，ff(x)在区间D上的导数为g(x)，假设在区间D上，g(x)V0恒成立，那么称函数y=f(x)在区间D上为“凸函数"，实数m是常数，3x2Tx4mx3f(x)=1263x2T求m的取值围;〔1〕假设y=f(x)在区间【0,3］上为“凸函数〃，求m的取值围;〔2〕假设对满足网J2的任何一个实数m函数f(x)在区间(a,b)上都为“凸函数"，x3x3mx2得f(x)=———^—3xx4mx33x2解：由函数f(x)~—1262「.g(x)=x2一mx一3〔1〕y=f(x)在区间【0,3］上为“凸函数〃，那么g(x)=x2一mx一3V0在区间［0,3］上恒成立解法一：从二次函数的区间最值如手：等价于gma(x)V0解法二：别离变量法―►-3<0nm>29-3m-3<0•.当x=0时，g(x)=%2—mx—3=—3<。恒成立,当0时，§(%)=x^-mx-3<0恒成立TOC\o"1-5"\h\zx2-33等价于=—的最大值〔。<工<3〕恒成立,XX3而/z(x)=x--[0<x<3]是增函数，那么。(x)=/z(3)=2

jqmax:.m>2⑵•••当mV2时f3)在区间(。,人)上都为“凸函数〃那么等价于当mV2时g(x)=%2-mx-3<0那么等价于当m变更主元法再等价于F(m)=mx-x2+3>。在|m|<2恒成立〔视为关于m的一次函数最值问题〕—1<X—1<X<1例2:设函</(x)=一±工3+2ax2一3。2工+/?(0<q<1,。e7?)〔I〕求函数f〔X〕的单调区间和极值；〔□〕假设对任意的xe[Q+l,o+2],不等式\fr(x)\<a恒成立，求a的取值围.解：〔I〕尸⑴=-成+4破-3白2二一(]一3。)(1-。)令广⑴〉0,得f3)的单调递增区间为［a,3a］令f'3)<0,得f3)的单调递减区间为〔一8,a〕和〔3a,+8〕3.•.当X=a时，f(x)=-a3+b；当X二3a时，/W=b.极小值4极大值〔II〕由|f'(x)|Va,得：对任意的xe[a+1,a+2],-(2<-4ax+3a^<a恒成立①/、g{x)Sa那么等价于g(x)这个二次函数<maxg(x)=12-4。工+3。2的对称轴［g(x)>-atminx=2a\'Q<a<l,a+l>a+a=2a〔放缩法〕即定义域在对称轴的右边，g3)这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。2]g(x)=X2一4。1+3白2在[白+1,白+2]上是增函数.2]g⑴=g(o+2)=_2i+l.maxg⑴=g(。+1)=—4。+4.min于是，对任意xe[a+l,a+2]y不等式①恒成立，等价于[g(i+2)=-%+4"4〈解碍一VI.Ig(ci+1)——2。+1Z—ci54又0一Vi<l.5点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴〔重视单调区间〕与定义域的关系例3:函数f(x)=X3+ax2图象上一点尸(1力)处的切线斜率为一3,I—6g(X)=X3+X2-Q+l)X+3(t>0)〔I〕求的值;〔U〕当xg［-1,4］时，求f(x)的值域;〔m〕当xg［1,4］时，不等式/(x)<g(x)恒成立，数t的取值围。解：〔I〕f/(x)=3x2+lax\a=—3解得…2〔U〕由〔I〕知，/⑴在［TQ］上单调递增，在［0,2］上单调递减，在［2,4］上单调递减又/(-!)=-4,f(0)=0,f(2)=-4,f(4)=16f3)的值域是[-4,16]〔皿〕令侦=f⑴-g⑴=-捉+('+1)x-3xe[1，4]解：〔I〕f/(x)=3x2+lax\a=—3解得…2思路1:要使f(x)<g(x)恒成立，只需h(x)<0，即t(x2-2x)>2x—6别离变量思路2:二次函数区间最值二、参数问题1、题型一：函数在某个区间上的单调性求参数的围解法1:转化为f，(x)>0或f'(x)<0在给定区间上恒成立，回归根底题型解法2:利用子区间〔即子集思想〕首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；做题时一定要看清楚“在m,n〕上是减函数〃与“函数的单调减区间是现〕〃，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集1a+1、，例4:aeR,函数f(x)—x3+x2+(4a+1)x122'〔I〕如果函数g(x)=f'(x)是偶函数，求f(x)的极大值和极小值；〔皿〕如果函数f(x)是(—8,+8)上的单调函数，求a的取值围.解:f'(x)=4x2+(a+1)x+(4a+1)此时f(x)=1x3-3x此时f(x)=1x3-3xf，(x)=1x2-312，4，令f(x)—0，解得：x=±2、挡.列表如下:x(一8,-2w，3)-2*''3(-2展,2展)2焰(2展,+8)f(x)+0—0+f(x)递增极大值递减极小值递增可知：f(x)的极大值为f(一2.\3)—4、3，f(x)的极小值为f(2、3)=-4.侦3.〔"J：函数f(x)是(-8,+8)上的单调函数，•f(x)=4x2+(a+1)x+(4a+1)>0，在给定区间R上恒成立判别式法

那么△=(a+1)2一4-4-(4a+1)=a2一2a<0,解得：0<a<2.综上，a的取值围是{a|0<a<2}.例5、函数攵f(x)=—x3+—(2一a)x2+(1-a)x(a>0).32〔I〕求f3)的单调区间;〔II〕假设f3)在［0,1］上单调递增，求2的取值围。子集思想解：〔I〕f(x)=x2+(2-a)x+1-a=(x+1)(x+1-a).1、当a=0吐f(x)=(x+1)2>0恒成立，当且仅当x=-1时取“二〃号，f(x)在(—3,+3)单调递增。2、当a>0时,由广3)=0,得x=—1,x=a—1,且x<x,单调增区间：(一3,—1),(a单调增区间：(一3,—1),(a一1,+3)单调增区间：―1,a一1)〔II〕当f(x)在［0,1］上单调递增，那么【0,1］是上述增区间的子集:1、a=0时，f(x)在(一3,+3)单调递增符合题意2、[。,1]£(。—1,+3),a—1<0...a<1综上，2的取值围是［0,1］。2、题型二：根的个数问题题1函数£与与g(x)〔或与x轴〕的交点，即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图”〔即解导数不等式〕和“趋势图"即三次函数的大致趋势“是先增后减再增"还是“先减后增再减"；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式〔组〕主要看极大值和极小值与)的关系;第三步：解不等式〔组〕即可。例6、例6、函及f(x)=3x3—(*+1x2,且f(x)在区间(2,+3)上为增函数.(1)数k的取值围；(2)假设函数f3)与g3)的图象有三个不同的交点，数*的取值围.解：〔1〕由题意f'⑴=x2—(k+l)xf(x)在区间(2,+8)上为增函数，f(x)=x2—(k+Dx>o在区间(2,+8)上恒成立〔别离变量法〕即k+1<x恒成立，又x>2,.•.k+1<2，故k<1k的取值围为k<1x3(k+1)~〔2〕+kx—-3，设h(x)=f(x)—g(x)=〔2〕+kx—-3，h'(x)=x2—(k+1)x+k=(x—k)(x—1)令h'(x)=0得x=k或x=1由〔1〕知k<1，①当k=1时，hf(x)=(x—1)2>0，h(x)在R上递增，显然不合题意…②当k<1时，h(x)，h'(x)随x的变化情况如下表:x(—8,k)k(k,1)1(1,+8)h'(x)+0—0+h(x)/极大值k3k21一一+——-623\极小值k—1/.k—1由于<0，欲使f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，即万程h(x)=0有三个不同的实根，故2k3k21k<1l需—七+£_—1>0，即(k—1)(k2—2k—2)<0，解得k<1-必623k2—2k—2>0综上，所求k的取值围为k<1-一、3根的个数知道，局部根可求或。例7、函数f(x)=ax3+—x2—2x+c2〔1〕假设x=—1是f(x)的极值点且f(x)的图像过原点，求f(x)的极值;〔2〕假设g(x)=1bx2—x+d，在〔1〕的条件下，是否存在实数》，使得函数g(x)的图像与函数f(x)的图像恒有含x=—1的三个不同交点？假设存在，求出实数》的取值围；否那么说明理由。解：〔1〕f(x)

的图像过原点，那么f(0)=0nc=0f(x)=3ax2+x-2又...x=-1是f(x)的极值点，那么f，(—1)=3a—1—2=0na=—1f(x)=3x2+x—2又...x=-1是f(x)的极值点，-一一、3一一222f极大值(x)=f(—1)=2f极小值(x)=f(3)=—~7〔2〕设函数g(x)的图像与函数f(x)的图像恒存在含x=—1的三个不同交点，等价于f(x)=g(x)有含x=—1的三个根，即：f(—1)=g(—1)nd=—L(b—1)2..x3+2x2—2x=2bx2—x—2(b—1)整理得：即：x3——(b—1)x2—x+—(b—1)=0恒有含x=—1的三个不等实根22h(x)=x3—Z(b—1)x2—x+上(b—1)=0有含x=—1的根22那么h(x)必可分解为(x+1)(二次式)=0，故用添项配凑法因式分解，x3+x2—x2——(b—1)x2—x+—(b—1)=022x2(x+1)——(b+1)x2+x——(b—1)=0=0x2(x+1)—2[(b+1)x2+2x—(b—1)十字才目乘法分解：x2(x+1)—2[(b+1)x—(b—1)](x+1)==0(x+1)x2—2(b+1)x+2(b—(x+1)22x3——(b—1)x2—x+—(b—1)=0恒有含x=—1的三个不等实根22等价于x2——(b+1)x+—(b—1)=0有两个不等于-1的不等实根。A=1(b+1)2—4X1(b—1)>04,「nb6(-8,-1)u(-1,3)d(3,+8)(—1)2+1(b+1)+1(b—1)丰0题2切线的条数问题，即以切点X。为未知数的方程的根的个数例7、函数f{x)=ax^+bx^+cx在点％处取得极小值一4,使其导数f'W>0的x的取值围为(1,3),求：⑴f3)的解析式；〔2〕假设过点可作曲线y=fM的三条切线，数m的取值围.〔1〕由题意得：f\x)-3ax2+2bx+c=3<2(x-l)(x-3),(^<0).••在(―8,1)上f‘3)<0；在(1,3)上f'3)>0；在(3,+8)上厂3)<0因此f(x)在x=1处取得极小值-4u+b+c=—4①，f\l)=3a+2b+c=广(3)=27a+6Z?+c=0③a=—l由①②③联立得：<b=6,/(x)=-X3+6x2-9xc=-9〔2〕设切点Q(，,f(，))，y—f(r)=f,(r)(x—r)y——(—3/2+12r—9)(x—t)+(―技+6f2—9f)一(一3技+12—9)x+t(3t2-12f+9)-f(f2-6t+9)——(—3/2+12f—9)x+£(2/2—6f)过(—1,m)th——(—3/2+12r—9)(—1)+2打一6技g(t)-2打一2史-12t+9-m=0令g'(0-6f2-6t-12=6(/2-t-2)=Qy求得：，=—1,，=2,方程g(r)=0有三个根。昂(g(-l)>0J-2-3+12+9-m>0[m<16[g(2)<0[16-12—24+9-m<0\m>-11故：—llvm<16；因此所数m的围为：(-11,16)题3/W在给定区间上的极值点个数那么有导函数二0的根的个数解法：根分布或判别式法例8、

已知函数/(%)=yx3-y(m+3)x2+(m+6)«txelt(7n为常数).Jar(I)当血"时,求函数夫时的单调区间；(0)若函数y^f(x)在区间(1,+8)上有两个极值点，求实数m的取值范围._17解：函数的定义域为R〔I〕当m=4时，f(x)=-X3—-X2+IOX,5zf'(X)=X2—7X+10,令ffW>0,解得x>5,或x<2.令广⑴＜0,解得2＜工＜5可知函数f(x)的单调递增区间为(-°°,2)和〔5,+8〕，单调递减区间为(2,5)〔II〕f(x)=X2—(m+3)x+m+6,要使函数y=f(x)在〔1,+8〕有两个极值点,二>广(尤)=X2—(m+3)x+m+6=0的根在〔1,+oo〕根分布问题：rA=(m+3)2-4(m+6)>0;那么</r(l)=l-(m+3)+m+6>0;,解得m>3TOC\o"1-5"\h\zm+3<>1.2例9、函数/(x)=—X3+—X2)(16A,1卫0)〔1〕求(x)的单调区间；〔2〕令g(x)=；x4+f〔X〕〔XCR〕\o"CurrentDocument"324"有且仅有3个极值点，求a的取值围.解：〔1〕/'(X)=(2X2+%=x(ax+1)\o"CurrentDocument"11当］＞0时，令f\x)＞0解得尤＜一一或尤＞0,令f'M＜0解得—_＜尤＜0,aa11所以(、)的递增区间为(一8,——)U(0,+8),递减区间为(——,。).aa当1＜。时，同理可得(、)的递增区间为(0,——),递减区间为(—00,0)U(―—,+00).aa、1a1〔2〕g(X)=—-X4+—X3+5尤2有且仅有3个极值点T"。匕ng'(x)=工3+。］2+1=x(］2+qi+1)=0有3个才艮，那么x=0或尤2+gx+1=0,a＜-2方程x2+ax+1=0有两个非零实根，所以△=a2-4>0,.，.a<—2或a>2而当a<—2或a>2时可证函数y=g(x)有且仅有3个极值点其它例题：1〔最值问题与主元变更法的例子〕.定义在R上的函数f(x)=ax3—2ax2+b(a>0)在区间［—2,1］上的最大值是5，最小值是一11.〔I〕求函数f(x)的解析式；〔H〕假设te［—1,1］时，f'(x)+tx<0恒成立，数攵x的取值围.解：〔I〕f(x)=ax3-2ax2+b,.f'(x)=3ax2-4ax=ax(3x-4)令f(x)=0,得x=0,x^=4任［—2,1］因为a>0，所以可得下表：x[—2,0)0(0,1]f'(x)+0-f(x)/极大\因此f(0)必为最大值,...f0)=5因此b=5,•.•f(—2)=—1(a+5,f(1=F+5.f(1)>f(—2),即f(—2)=—16a+5=—11,.・.a=1,.•.f(x)=x3—2x2+5.〔"〕,.•f'(x)=3x2—4x，二ff(x)+tx<0等价于3x2—4x+tx<0,令g(t)=xt+3x2—4x，那么问题就是g(t)<0在te［—1,1］上恒成立时，数x的取值围，g(—1)<0

g⑴<0解得0<x<1,所以所数x的取值围是［0,1］.2〔根分布与线性规划例子〕函数攵f(x)=3x3+ax2+bx+c

(I)假设函数f3)在x=1时有极值且在函数图象上的点(°，1)处的切线与直线3x+y=Q平行，求f3)的解析式;(H)当f(x)在ie(0,1)取得极大值且在ie(l,2)取得极小值时，设点M(b—2,a+1)所在平面区域为S,经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两局部，求直线L的方程.解：(I).由f'(X)=2^2+2&X+Z?,函数f3)在x=1时有极值，21+8+2=0/(0)=1c=l又f3)在(0,1)处的切线与直线3x+y=。平行，..f'(0)=b=—3故a=-221/(X)=—X3+—%2-3X+17分(H)解法一：由f\x)=2x2+2ax+b及f(x)在xg(0,1)取得极大值且在xg(1,2)取得极小值,了'(。)>。•./l)V。了'(。)>。•./l)V。广⑵>0b〉0即<2a+b+2<Q4。+Z?+8〉0令M(x,y),那么x=b-2

y=a+\a=y-\4y+x+6>0.-J2y+x+2<0故点M所在平面区域S为如图ZXABC,b4y+x+6>0易得A(-2,0),8(—2,-1),C(2,-2),D(0,-1),E(0,S=2同时DEAABC的中位线，S=-S△DEC3四边形ABEQ所求一条直线L的方程为：x=o另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为1:3的两局部，设直线L方程为亍=收，它与AC,BC分别交于F、G,那么k>0,SAC,BC分别交于F、G,那么k>0,S=1四边形DEGFy=kx2)+x+2—02得点F的横坐标为:1=F2^+1y=kx4)+x+6=0得点G的横坐标为：X=一一-—g4S1•.S=S—S=1X3X—--X1x-^=1即16k2+2k-5=0四边形DEGFXOGEXOFD224k+122k+1'•.S=S—S=1X3X—--X1x-^=1即16k2+2k-5=0四边形DEGFXOGEXOFD224k+122k+1'解得：k=；或k=一;(舍去)故这时直线方程为:y=；x282综上，所求直线方程为:x=0或y=—x2.12分(U)解法二：由ff(x)=2x2+2ax+b及f(x)在xg(0,1)取得极大值且在xg(1,2)取得极小值,f(0)>0•••vf，(1)<0f'(2)>0即"+b+2<04a+b+8>0令M(x,y),那么a=y-17.•」2y+x+2<0b=x+2故点M所在平面区域S为如图△ABC,易得A(-2,0),B(-2,-1),…cc-3C(2,-2),D(0,-1),E(0,-3),S^c=2同时DE^△ABC的中位线，S△DEC1.=3S四边形a^bed•.•所求一条直线L的方程为:x=0另一种情况由于直线BO方程为:y=1-x,设直线BO与AC交于H,得直线L与AC交点为:H(-1,——.^AABC2,SEEC22'AABHAABOAAOH所求直线方程为:x=0或y=3、〔根的个数问题〕函数f(x)=ax3+bx2+(c-3a-2b)x+d(a>0)的图象如下图。y中〔I〕求c、d的值；I〔U〕假设函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为:：\/3x+y-11=0，求函数f(x)的解析式；7:V〔山〕假设x0=5,方程f(x)=8a有三个不同的根，数a的取值围。寸。1二x解：由题知：f'(x)=3ax2+2bx+c-3a-2b〔I〕由图可知函数f(x)的图像过点(0,3),

d=3[d=3得！®,3a+2b+c-3a-2b=0[c=0〔n〕依题意广G)=-3且f(2)=512a+4b-3a-2b=-3解得a=1,b=-68a+4b-6a-4b+3=5所以f(x)=X3-6x2+9x+3〔山〕依题意f(x)=ax3+bx2-(3a+2b)x+3(a>0)=3ax2+2bx—3a—2b由fr(5)=onb=-9a①假设方程f(x)=8a有三个不同的根，当且仅当满足f(5)<8a<f(1)②由①②得-25a+3<8a<7a+3n1_<a<3所以当T1<a<3时，方程f(x)=8a有三个不同的根。•…4、〔根的个数问题〕函数f(x)=3x3-ax2-x+1(aeR)12分〔1〕假设函数f(x)在x=x『x=x2处取得极值，且K:—x〔2〕假设av1，讨论曲线f(x)与g(x)=1x2-(2a+1)x+5(-2<x<1)的交点个数.226=2，求a的值及f(X)的单调区间;解：〔1〕f(x)=x2-2ax-1:.x+x=2a,x-x=-11212二x-x=J(x+x)2-4xx=4a2+4=2a=02分f'(x)=x2-2ax-1=x2-1令f'(x)>0得xv一1,或尤>1令ff(x)v0得-1vxv1f(x)的单调递增区间为(-8,-1)，(1,+8)，单调递减区间为(-1,1)5分〔2〕由题f(x)=g(x)得-x3-ax2-x+1=—x2-(2a+1)x+—326111即一x3-(a+—)x2+2ax+—=0326令中(x)=!x3-(a+—)x2+2ax+—(-2<x<1)3266分「.中'(x)=x2