变换群与几何学

变换群与几何学第一页，共十九页，2022年，8月28日2、射影仿射变换与仿射变换

定义.

在射影仿射平面上,保持无穷远直线不变的射影变换称为射影仿射变换.

定理.

射影变换成为射影仿射变换a31=a32=0.即射影仿射变换形如变换群与几何学射影仿射变换作用于射影仿射平面.第二页，共十九页，2022年，8月28日将(3)式化为非齐次(前二式两边分别除以第三式)得即为仿射变换,仿射变换作用于仿射平面.变换群与几何学第三页，共十九页，2022年，8月28日3、射影相似变换与相似变换

定义.

在射影仿射平面上,称无穷远点I(1,i,0),J(1,i,0)为圆点.

定理.

射影仿射变换(3)成为射影相似变换在(3)中有a22=a11且a21=a12；或者a22=a11且a21=a12.射影相似变换的变换式为

定义.

在射影仿射平面上,保持圆点不变的射影仿射变换称为射影相似变换.变换群与几何学或者注上面两式中的有穷远部分(非齐次形式)即为相似变换.第四页，共十九页，2022年，8月28日

定义.

在射影仿射平面上,称无穷远直线上以两点I(1,i,0),J(1,i,0)为不变元素的椭圆型对合为射影仿射平面上的绝对对合.称经过I,J两点之一的虚直线为迷向直线.

推论.射影相似变换保持平面上的绝对对合不变.

注

射影相似变换保持直线的垂直性不变,从而保持两(通常)直线的夹角不变,保持任意两线段的比值不变.

注

射影仿射平面上以任一通常点为束心的线束中有一个绝对对合,以两条迷向直线为不变直线,其任一对对应直线相互垂直.变换群与几何学第五页，共十九页，2022年，8月28日4、射影正交变换与正交变换

定义.

在射影相似变换中,若A33/a33=1则称之为射影正交变换,其有穷远部分(非齐次形式)即为正交变换.变换群与几何学在射影相似变换中，如果只考虑有穷部分，则将前面两式两端分别除以第三式得或者第六页，共十九页，2022年，8月28日二、群与变换群

定义

(代数运算)设A,B,C为集合,为AB到C的一个对应.则称为AB到C的一个代数运算.

特别地,若B=C=A,则称为集合A上的一个代数运算.

定义了代数运算的集合称为代数系统,

代数学就是研究代数系统的科学.变换群与几何学

比如,实数集R上的加(减)法、乘法都是R上的代数运算.

比如,对于数域F上的向量空间V,数乘向量是FV到V的一个代数运算.

比如,矩阵的乘法是所有矩阵的集合上的代数运算.

比如,sinx不是R上的一个代数运算,

而sinxcosy是R上的一个代数运算.第七页，共十九页，2022年，8月28日

定义.

(群)设G为非空集合.在G上定义一个代数运算,称为乘法.如果满足下述4条公理,则称G对于这个乘法构成一个群,记作G.(1)封闭性.a,bG,有abG.(2)乘法满足结合律.即a,b,cG,有a(bc)=(ab)c.(3)存在单位元.即eG,使得aG,有be=ea=a.(4)存在逆元.即aG,a1G,满足aa1=a1a=e.变换群与几何学

定义.(子群)设G为群,H为G的一个非空子集,若H对于G上的乘法也构成群,则称H为G的一个子群.

定理.

群G的一个非空子集H为G的子群H满足下述条件.(1)a,bH,有abH.(2)若aH,则必有a1H.第八页，共十九页，2022年，8月28日

定义.

(群的同构)两个群G,G'之间的一个能够保持乘法运算的双射称为G与G′之间的一个同构.

如果群G与G′之间存在一个同构映射,则称G同构于G′,记作GG′.

定理.

非空集合S上全体一一变换的集合对于变换的乘法构成群.称为集合S上的全变换群.

定理.非空集合S上部分一一变换的集合G对于变换的乘法构成群(全变换群的子群)(1)若g1,g2G,则g1g2G.(2)若gG,则g–1G.

定义.

集合S上全变换群的任一子群称为S上的一个变换群.变换群与几何学第九页，共十九页，2022年，8月28日三、平面上的几个变换群P={平面上全体射影变换}PA={平面上全体射影仿射变换}PO={平面上全体射影正交变换}A={平面上全体仿射变换}O={平面上全体正交变换}射影平面仿射平面射影变换群P射影仿射变换群PA射影正交变换群PO仿射变换群A正交变换群O上述7个变换群之间显然有下列关系：在射影平面PR2上在仿射平面A2\l上PS={平面上全体射影相似变换}射影相似变换群PSS={平面上全体相似变换}相似变换群S变换群与几何学第十页，共十九页，2022年，8月28日四、Klein变换群观点

定义.设S为一个非空集合,G为S上的一个变换群.称S为空间,S的元素称为点,S的子集称为图形,G称为空间S的主变换群.研究空间S中图形所决定的在G的每一个元素的作用下保持不变的性质(不变性)和数量(不变量)的科学称为一门几何学(S,G).

S的子集(图形)在G下被分成若干等价类,属于同一等价类的图形具有相同的G性质(G给S赋予空间结构)注

显然,在S上给定不同的变换群G,则得到不同的几何学.几何学(S,G)变换群与几何学第十一页，共十九页，2022年，8月28日

设为S的子集,H为G的子群,且对任意的gH,都有g()=

,又H为上的一个变换群,且H≌H.则称(,H)为(S,G)的一个以(S,H)为伴随绝对子几何学的相对子几何学,并称B=S\为的绝对形.

定义.

如果(S,G)为一个几何学,H为G的子群.则称几何学(S,H)为几何学(S,G)的一个绝对子几何学,简称子几何学.HGS几何学(S,G)子几何学(S,H)HG几何学(S,G)子几何学(S,H)HS相对子几何学(,H)例如:变换群与几何学第十二页，共十九页，2022年，8月28日射影几何射影仿射几何射影相似几何仿射几何相似几何绝对子几何关系相对子几何关系伴随关系绝对形：l=PR2\PA2.射影欧氏几何欧氏几何变换群系列射影平面PR2仿射平面PA2变换群与几何学第十三页，共十九页，2022年，8月28日五、几种几何学的比较1、射影几何学空间射影平面PR2主变换群射影变换群P研究内容图形在射影变换下的不变性质和数量同素性、关联性交比其余所有射影不变性在射影平面上做演绎推理、对偶变换基本射影不变性变换群与几何学第十四页，共十九页，2022年，8月28日2、仿射几何学空间射影仿射平面PR2主变换群射影仿射变换群PA研究内容图形在射影仿射变换下的不变性质和数量注

通常也直接将仿射几何学作为射影几何学的子几何学.射影仿射几何学空间仿射平面A2主变换群仿射变换群A研究内容图形在仿射变换下的不变性质和数量仿射几何学不可用对偶原则不可用对偶原则变换群与几何学第十五页，共十九页，2022年，8月28日注

简单比是最基本的仿射不变量.定理.简单比是仿射不变量.仿射不变性平行性简单比平行线段的比,两三角形面积之比,线段的中点,三角形的重心,梯形,平行四边形,……定理.

仿射变换保持平行性不变.注

平行性是最基本的仿射不变性.

仿射几何——首先包括射影几何的所有研究内容.变换群与几何学第十六页，共十九页，2022年，8月28日3、相似几何学空间射影仿射平面PR2主变换群射影相似变换群PS研究内容图形在射影相似变换下的不变性质和数量注

通常也直接将相似几何学作为射影仿射几何学的子几何学.射影相似几何学空间仿射平面A2主变换群相似变换群S研究内容图形在相似变换下的不变性质和数量相似几何学不可用对偶原则不可用对偶原则变换群与几何学第十七页，共十九页，2022年，8月28日注

初等几何的研究内容基本属于相似几何.

定理相似变换保持平面上任意两线段的比值、两直线的夹角不变.4、欧氏几何学

欧氏几何——首先包括相似几何的所有研究内容.定理正交变换保持平面上两点间的距离不变