《数学分析（第4版）》21-6重积分的应用

一、曲面的面积二、重心三、转动惯量应用重积分可求立体的体积及空间物体的质量,还可求曲面的面积、立体的重心、转动惯量和物体之间的引力等.§6重积分的应用数学分析

第二十一章重积分*点击以上标题可直接前往对应内容四．引力设D为可求面积的平面有界区域,在D上具有连续的一阶偏导数，所表示的曲面S的面积.(1)

对区域D作分割T，把D分成n个小区域这个分割相应地将曲面S也分成n个

小曲面片(2)在每个上任取一点作曲面在这一点的切§6重积分的应用曲面的面积重心引力转动惯量曲面的面积现讨论由方程平面,并在上取出一小块使得与在近用切平面代替小曲面片从而当充分小时,这里

分别平面上的投影都是(见图

21-38).

在点附§6重积分的应用曲面的面积重心引力转动惯量的面积.表示(3)当时,定义和式的极限(若存在)作为

的面积.有现在按照上述曲面面积的概念,来建立曲面面积的计算公式.为此首先计算的面积.是曲面S在点处的法向量n,轴的夹角为则§6重积分的应用曲面的面积重心引力转动惯量注意到和数的法向量就

由于切平面记它与z

是连续函数在有界闭域D

§6重积分的应用曲面的面积重心引力转动惯量上的积分和,而右边趋于这就得到曲面S的面积计算公式:

或另一形式:时,上式左边趋于于是当

解据曲面面积公式,其中D是曲面方程例1

求圆锥在圆柱体内

那一部分的面积.故是§6重积分的应用曲面的面积重心引力转动惯量表示，一阶偏导数,

若空间曲面S由参数方程参数曲面的面积公式§6重积分的应用曲面的面积重心引力转动惯量在D上具有连续的其中且则曲面S在点的法线方向为

记

与轴夹角的余弦为§6重积分的应用曲面的面积重心引力转动惯量其中则有由(4),便得参数曲面(3)的面积公式：§6重积分的应用曲面的面积重心引力转动惯量当时,对公式(2)作变换:§6重积分的应用曲面的面积重心引力转动惯量例2

求球面上两条纬线和两条经线之间曲面的面积（图21-39中阴影部分).解设球面的参数方程为其中R是球面半径.这里是求当时球面上的面积.

由于所以由公式(5)即得所求曲面的面积:§6重积分的应用曲面的面积重心引力转动惯量§6重积分的应用曲面的面积重心引力转动惯量求证此曲线绕轴旋转一周得到的旋转面的面积为证由于上半旋转面的方程为*例3

设平面光滑曲线的方程为因此不妨设则

§6重积分的应用曲面的面积重心引力转动惯量设密度函数为的空间物体V，在

V上连续.于是小块的质量可用近似代替,把每一块看作质量集中在的质点时,物体就可用这n个质点的质点系来近似代替.由于质点系的重心坐标公式为在属于T的每一小块上任取一点§6重积分的应用曲面的面积重心引力转动惯量重心为求得V的重心坐标,先对V作分割T,

若整个§6重积分的应用曲面的面积重心引力转动惯量的重心坐标:当物体V的密度均匀分布时,即为常数时，当自然地可把它们的极限定义作为V§6重积分的应用曲面的面积重心引力转动惯量则有同样可以得到,密度函数为的平面薄板D的

重心坐标:当为常数时，则有§6重积分的应用曲面的面积重心引力转动惯量§6重积分的应用曲面的面积重心引力转动惯量例4

求密度均匀的上半椭球体的重心.解设椭球体由表示.又由为常数,所以称性知道由§5例5已知

借助对

即求得上半椭球体的重心坐标为

A的质量,r是A与l的距离.现在讨论空间物体V的转动惯量问题,我们仍然采用前面的办法,

然后用取极限的方法求得V的转动惯量.设为V的密度函数,它在V上连续.对V作分割T,

在属于T的每一小块上任取一点

质点A对于轴l的转动惯量为§6重积分的应用曲面的面积重心引力转动惯量转动惯量其中m是把V看作由n个质点组成的质点系，照例以近似替代的质量.当以质点系近似替代V时,§6重积分的应用曲面的面积重心引力转动惯量质点系对于x轴的转动惯量是令上述和式的极限就是V对于x轴的转动惯量:类似可得V对于y轴与z

轴的转动惯量分别为§6重积分的应用曲面的面积重心引力转动惯量同理,物体V对于坐标平面的转动惯量分别为同样地,平面薄板D对于坐标轴的转动惯量为其中为D中点到l的距离.平面薄板D对于轴l的转动惯量为例5

求密度均匀的圆环D对于垂直于圆环面中心轴的转动惯量(图21-40).解设圆环D为密度为则D中任一点与z轴的距离平方于是转动惯量为为§6重积分的应用曲面的面积重心引力转动惯量其中

为圆环的质量.§6重积分的应用曲面的面积重心引力转动惯量例6

求均匀圆盘D对其直径的转动惯量(图21-41).解设圆盘D为密度为,求对于y轴的转动惯量.与y轴的距离为故其中m为圆盘的质量.由于

D内任一点§6重积分的应用曲面的面积重心引力转动惯量例7

设某球体的密度与各点到球心的距离成正比，试求它对于切平面的转动惯量.解设球体由不等式表示;为

k为比例常数;

则球体对于此平面的转动惯量为密度函数

取切平面方程为

经详细计算,可得§6重积分的应用曲面的面积重心引力转动惯量§6重积分的应用曲面的面积重心引力转动惯量求密度为的立体V对立体外单位质点A

的引力.设A的坐标为V中点的坐标用表

示,V中质量微元对A的引力在坐标轴上的投影为引力现用微元法来求V对A的引力.于是,力F在三个坐标轴上的投影分别为其中k为引力系数，§6重积分的应用曲面的面积重心