函数概念的理解

函数概念的理解第一页，共二十五页，2022年，8月28日

一个中学生对函数概念的理解——案例研究论文框架1研究背景2理论框架——过程概念理论3研究方法4学生行为描述5结论第二页，共二十五页，2022年，8月28日研究背景

函数是数学中基础概念，在教学中给予了很多的时间和重视，但对学生来说在理解上仍面临很多困难。

一是Sierpinska(1992)提出认识论上的障碍：数学的哲学性和思维的抽象性，还有概念关联很多相关术语。

二是函数概念的双重性：既可看做是一个对象——一系列有序实数对，也可以看做是是一个计算过程(Sfard,1991).貌似无关，实则要将两者统一为一个整体。

GrayandTall(1994)也指出函数记号同时具备两种作用：一是对指定自变量可以求得函数值；二是对任意自变量都可以概述其函数概念。

一个中学生对函数概念的理解——案例研究第三页，共二十五页，2022年，8月28日

Sierpinska(1992)强调在理解上要灵活，f(x)可以代表一个函数或是函数f的值。这可能使普通学生觉得混乱。

Even(1990)调查发现教师在函数概念教学上成功与否的条件之一是教师对这一学科知识理解的全面性。

Sfard(1991)从历史和心理的观点指出函数概念的形成过程。她认为函数概念先是在操作上获得的，然后才转化成为数学的名词。

Vinner(1983,1991)基于定义和概念图之间的关联提出一个认知过程模型。这个模型的基础是对比10、11年级学生以及大学生和中学教师对概念和概念图的不同认识。并给出了一些教学建议。第四页，共二十五页，2022年，8月28日研究问题

普通学生对函数概念的理解以及理解的程度（普通学生的函数过程概念以及与教师期望之间的差别）第五页，共二十五页，2022年，8月28日过程概念理论

ProceptTheory（过程概念理论）是DavidTall和他的同事EddieGray（英国WarwickUniversity数学教育研究中心主任）于1994年所发展出来的一个数学学习理论。

理论假定数学有过程和概念的二元性，但显而易见这种二元性又可以由同一个符号既表示过程又表示结果（如1:2）

他们创造了一个新的术语：procept

第六页，共二十五页，2022年，8月28日

一个中学生对函数概念的理解——案例研究第七页，共二十五页，2022年，8月28日

一个中学生对函数概念的理解——案例研究第八页，共二十五页，2022年，8月28日补充认识理论上，典型或传统的符号数学概念的发展，是从步骤（procedure）进步到过程（process）进而发展出过程概念（procept）。学生反覆练习一个步骤（例如：一个公式或规则），可以帮助其正确的处理一些典型的题目（problems）；熟练了针对某一题型的一个或多个相关步骤（进入process阶段），可以帮助学生更灵活且有效率地解题；当学生对某一数学符号发展出过程概念（procept）时，表示该学生能很自由地对此一数学符号背后所隐含的运算过程（process）和数学概念（concept）间做转换。然而，实际上学生符号数学概念的发展并非是单纯线性成长的关系（procedural-conceptual-proceptual），而是在过程（procedural）及概念（conceptual）阶段之间会做来来回回的修正，最后才形成稳定的过程概念（procept）第九页，共二十五页，2022年，8月28日3、研究方法

访谈——持续46分钟，录音记录并写成文字稿做分析，其中K表示被访者Kasia，EXP表示实验者，后面的数字表示说的第几句话。如K24。第十页，共二十五页，2022年，8月28日被访者

Kasia——克拉科夫一所综合高中的16岁学生，数学能力一般，但她还学习希腊语和拉丁语，她被老师形容为“典型的人文主义者”（数学不好），作者认识她已有三年，对她学习数学的情况十分清楚，而且与她关系融洽。她的性格开朗、健谈、愿意说出自己的想法也会表达自己的思考过程。

接受访谈时Kasia已经学过三年的函数，她清楚正式的函数概念，对不同的表述和例子也十分熟悉。数学课上她反复在用这些概念，因此也持续在变化。第十一页，共二十五页，2022年，8月28日任务

给出一个例子：使函数f满足对定义域内任意的实数x、y，下列等式成立：f(x+y)=f(x)+f(y)第十二页，共二十五页，2022年，8月28日4、学生行为描述4.1概述第十三页，共二十五页，2022年，8月28日4.2详述4.2.1任务中的“例子”一词所引发的一系列联想

K3:x、y可以取任何数吗？或者任意的式子？是数还是式呢？

EXP3：读一下题。

K4:……我想是一个式子……

EXP4：什么式子？

K5:函数式。。对，对，是式子，不是一个特殊的数

EXP5：你怎么想的？

K6：我不知道，两种都有可能，我一开始想的是一个特殊的数，x、y可以用两个数字代入，例如3和5,……

Kasia想具体的处理这个问题，所以一开始就关注到数，可能是受“给出一个例子”这些字眼的影响，而函数式不够“具体”，所以用数代替函数自变量。第十四页，共二十五页，2022年，8月28日

EXP7：你怎么读你写的东西？

K8：f(3+5)=f(3)+f(5)

EXP8:你怎么理解f(3)？

K9：恩……它让我想到“函数的零点”之类的，……因为我们经常写一个式子，我的意思是圆括号内不写一个数，所以我认为是一个式子……

Kasia是毫不犹疑的机械的读出这个等式，她很可能并不理解，尽管她读出了“函数”但她关注的是数而不是“f”。而对f(3)联想到与函数概念相关的其他术语——零点，也说明她不能给出正确的解释。

例子——特殊例子——数字代替x、y——f(3)是零点第十五页，共二十五页，2022年，8月28日4.2.2任务中的“等式”一词所引发的一系列联想

K9:…用3,5带入后的式子，我也不知道怎么办？等一下（又读了一遍题目）…这是一个等式？

EXP9：你怎么想？是等式吗？

K10：不是，有个f在肯定不是等式？

EXP10：为什么不是呢？

K11:左边剩下f(x+y)，右边f(x)、f(y)用两个函数代入，这样才是…

EXP11：f(x)、f(y)可以代相同的东西吗？

K12：不，要不同。

EXP12：完全不同吗？

K13：对，例如…第十六页，共二十五页，2022年，8月28日第十七页，共二十五页，2022年，8月28日

对Kasia来说，一个等式可能是两个包含x、y的代数式用等号连接起来，但等号的两边不可以同时有f。她在后面的对话中也提到f是函数是的开始(K24)。如果实验者叫她去解这个等式，她会用特殊值代入去求函数值。等式——包含x、y——两边不可同时含f——函数式是一个等式第十八页，共二十五页，2022年，8月28日4.2.3符号f、f(x)、f(y)引起的一系列联想

K17：…例子总写成y=…或f(x)=…的样子，所以这只是一个新想法或任务的开始。

EXP41：你是不是认为等号左边的y与等号右边式子中的变量是无关的呢？

K44：并不是。

EXP44:都有什么联系呢？

K45：不清楚。

EXP45：那我写成f(b)=x2+5也对吗？

K46：对。

EXP47：那b有什么含义呢？

K48：如果不画图，也没什么其他含义？

EXP48：一点意义也没有？

K49：…和y=x2+5一样。第十九页，共二十五页，2022年，8月28日

Kasia把f(x)、f(y)、f(b)看做三个不同名字的相同函数。

同时我们也发现她有一些几何的解释。

K18：…[f(x)]和y一样指纵坐标。

EXP18：（指着f(x+y)=f(x)+f(y)写下f(a+b)=f(a)+f(b)）一样吗？

K19：一样。

EXP19：这里的b表示纵坐标？

K20：（画出了坐标系并标上了a、b）这样就可以了。

在Kasia的认识中，y与纵坐标密切联系，它的函数过程概念是以图像为中心的。第二十页，共二十五页，2022年，8月28日4.2.4任务中的函数方程引起一系列思考

K115：…如果分开来看，就可以理解为乘法，那就不一样了，可以写成一个一般的等式。

EXP116：怎么说？

K116:3*（2+1）=3*2+3*1，这就不是函数而是等式了对吗？这里重要的是等式不是函数。

EXP117：是吗？

K117：是的，用函数表达这个等式，要检验左右是否相等的。

问题中的等式——乘法分配律——检验左右相等——主要问题是等式而非函数第二十一页，共二十五页，2022年，8月28日4.3访谈过程中学生对函数符号和概念理解上的变化

4.3.1发现符号f(y)与y有关

EXP54：…若z2+5是一个自变量为z的函数的值…

K55：z2+5=f(z)

EXP55:对，那再来看f(y)=x2+5

K56:一样的应该是y2+5

EXP56：那么f(z)隐含了什么意思？

K57：等式里要写什么？

EXP57：差不多。表示z是函数f的自变量。

第二十二页，共二十五页，2022年，