函数逼近的插值法

函数逼近的插值法第一页，共八十三页，2022年，8月28日引言

许多实际问题都用函数来表示某种内在规律的数量关系,其中相当一部分函数是通过实验或观测得到的.虽然在某个区间[a，b]上是存在的，有的还是连续的，但却只能给出[a,b]上一系列点这只是一张函数表；有的函数虽然有解析表达式,但由于计算复杂,使用不方便,通常也构造一个函数表。如三角函数表、对数表、平方根表、立方根表等等。第二页，共八十三页，2022年，8月28日引言问题提出1函数表达式过于复杂不便于计算,而又需要计算许多点处的函数值2仅有采样值,而又需要知道非采样点处的函数值上述问题的一种解决思路：建立复杂函数或者未知函数的一个便于计算的近似表达式.第三页，共八十三页，2022年，8月28日引言

第四页，共八十三页，2022年，8月28日2.1Lagrange插值法第五页，共八十三页，2022年，8月28日线性插值第六页，共八十三页，2022年，8月28日

第七页，共八十三页，2022年，8月28日

第八页，共八十三页，2022年，8月28日Lagrange插值法第九页，共八十三页，2022年，8月28日构造插值基函数引理1设在区间[a,b]上有n+1个互异节点，如果n次多项式满足则第十页，共八十三页，2022年，8月28日构造插值函数Ln(x)第十一页，共八十三页，2022年，8月28日第十二页，共八十三页，2022年，8月28日第十三页，共八十三页，2022年，8月28日第十四页，共八十三页，2022年，8月28日误差估计第十五页，共八十三页，2022年，8月28日特例第十六页，共八十三页，2022年，8月28日第十七页，共八十三页，2022年，8月28日第十八页，共八十三页，2022年，8月28日第十九页，共八十三页，2022年，8月28日例题第二十页，共八十三页，2022年，8月28日第二十一页，共八十三页，2022年，8月28日例题第二十二页，共八十三页，2022年，8月28日第二十三页，共八十三页，2022年，8月28日第二十四页，共八十三页，2022年，8月28日第二十五页，共八十三页，2022年，8月28日第二十六页，共八十三页，2022年，8月28日Lagrange插值算法第二十七页，共八十三页，2022年，8月28日

第二十八页，共八十三页，2022年，8月28日编写程序如下function[yy]=Lagrange(x,y,xi)m=length(x);n=length(y);ifm~=n,error('Thelengthofvectorxandymustbeconsistent');ends=0;fori=1:nz=ones(1,length(xi));forj=1:nifj~=iz=z.*(xi-x(j))/(x(i)-x(j));endends=s+z*y(i);endyy=s;end第二十九页，共八十三页，2022年，8月28日例2已知数据如表所示，试用Lagrange插值多项式求x=0.5626，0.5635，0.5645时的函数近似值。xi0.561600.562800.564010.56521yi0.827410.826590.825770.81495第三十页，共八十三页，2022年，8月28日x=[0.5610,0.56280,0.56401,0.56521];>>y=[0.82741,0.82659,0.82557,0.82495];>>xi=[0.5625,0.5635,0.5645];>>yi=Lagrange(x,y,xi)yi=0.82680.82600.8252>>plot(x,y,'o',xi,yi,'g^')第三十一页，共八十三页，2022年，8月28日第三十二页，共八十三页，2022年，8月28日关于Langrange插值的几点说明仅与已知数据有关，与的原来形式无关，但余式与密切相关。若本身是一个不超过n次多项式，则第三十三页，共八十三页，2022年，8月28日Langrange插值也有其不足为了提高精度有时需增加结点，但这时原来求的全改变，也就是原来的数据不能利用，浪费资源；第三十四页，共八十三页，2022年，8月28日第三十五页，共八十三页，2022年，8月28日例3在区间【-5，5】上取节点数n=11，等距间隔h=1的节点为插值点，对于

进行Lagrange插值，画出和插值多项式的曲线图。作业：取节点数n=21

等距间隔h=1第三十六页，共八十三页，2022年，8月28日t=-5:0.1:5;ft=5./(1+t.*t);t1=-5:1:5;ft1=5./(1+t1.*t1);y1=Lagrange(t1,ft1,t);plot(t,ft,'b+',t,y1,'r:')第三十七页，共八十三页，2022年，8月28日第三十八页，共八十三页，2022年，8月28日第三十九页，共八十三页，2022年，8月28日第四十页，共八十三页，2022年，8月28日第四十一页，共八十三页，2022年，8月28日第四十二页，共八十三页，2022年，8月28日第四十三页，共八十三页，2022年，8月28日差商的性质

第四十四页，共八十三页，2022年，8月28日第四十五页，共八十三页，2022年，8月28日差商的性质第四十六页，共八十三页，2022年，8月28日第四十七页，共八十三页，2022年，8月28日第四十八页，共八十三页，2022年，8月28日第四十九页，共八十三页，2022年，8月28日第五十页，共八十三页，2022年，8月28日第五十一页，共八十三页，2022年，8月28日第五十二页，共八十三页，2022年，8月28日Newton插值计算插商表1一阶插商二阶插商三阶插商单元号F(0)F(1)F(2)F(3)……………………F(n)第五十三页，共八十三页，2022年，8月28日插商表2第五十四页，共八十三页，2022年，8月28日求Nn(x)插商表1计算简单，好实现，但数值不稳定。插商表2在计算机上稳定性好，但算法复杂。下面用n=3举例计算“秦九韶算法”

第五十五页，共八十三页，2022年，8月28日第五十六页，共八十三页，2022年，8月28日例题第五十七页，共八十三页，2022年，8月28日第五十八页，共八十三页，2022年，8月28日第五十九页，共八十三页，2022年，8月28日第六十页，共八十三页，2022年，8月28日functionyi=Newton—Int(x,y,xi)n=length(x);m=length(y);ifn~=merror('Thelengthofvectorxandymustbeconsistent');return;endY=zeros(n);Y(:,1)=y';fork=1:n-1fori=1:n-kY(i,k+1)=(Y(i+1,k)-Y(i,k))/(x(i+k)-x(i));endendyi=0;fori=1:nz=1;fork=1:i-1z=z*(xi-x(k));endyi=yi+Y(1,i)*z;end第六十一页，共八十三页，2022年，8月28日n=2;x=linspace(0,2,n);y=2*exp(x)+sin(x);xi=[0:0.01:2];yi=New_Int(x,y,xi);xx=[0:0.01:2];yy=2*exp(xx)+sin(xx);plot(xx,yy,'b',x,y,'b*',xi,yi,'r-')第六十二页，共八十三页，2022年，8月28日Lagrange插值公式所求得L(x)保证了节点处的函数值相等，也就是保证了函数的连续性，但不少实际问题还需要插值得光滑度，也就是还要求它在节点处的导数值也相等，导数的阶数越高则光滑度越高。现代的仿生学就是一个典型的例子。在设计交通具的外形，就是参照海豚的标本上已知点及已知点的导数，做插值在计算机上模拟海豚的外形制成飞机、汽车等外形。第六十三页，共八十三页，2022年，8月28日第六十四页，共八十三页，2022年，8月28日Hermite插值多项式构造H(x)第六十五页，共八十三页，2022年，8月28日第六十六页，共八十三页，2022年，8月28日第六十七页，共八十三页，2022年，8月28日第六十八页，共八十三页，2022年，8月28日第六十九页，共八十三页，2022年，8月28日第七十页，共八十三页，2022年，8月28日第七十一页，共八十三页，2022年，8月28日第七十二页，共八十三页，2022年，8月28日算法第七十三页，共八十三页，2022年，8月28日第七十四页，共八十三页，2022年，8月28日Hermit