材料力学课件之应力状态理论

第9章应力状态与应变状态分析§9–１应力状态的概念一、问题的提出P铸铁压缩PP低碳钢拉伸

钢筋混凝土梁的斜裂缝2.受力构件内应力的特征1.实例1）构件不同截面上的应力状况一般是不同的。2）构件同一截面上不同点处的应力一般是不相同的。3）构件内同一点处，在不同方位截面上的应力一般也是不相同的。因此，当提及应力时，必须指明“应力的点和面”

二、一点的应力状态通过受力构件内的一点，不同方位截面上的应力集合，称为该点处的应力状态（StateofStressataGivenPoint）。1.定义：3.应力状态的表示在于确定在哪个截面上该点处有最大正应力，在哪个截面上该点处有最大剪应力，以及它们的数值，为处于复杂应力状态下杆件的强度计算提供依据。

2.研究危险点处应力状态的目的用单元体表示点的应力状态。围绕所研究的点，截取一单元体(如微小正六面体)，以单元体各面上的应力分量表示周围材料对其作用，这样的应力单元体，就表示该点处的应力状态。xyzs

xsz

s

ytxytxz4.应力单元体的特征1）单元体的尺寸无限小，每个面上的应力为均匀分布。2）单元体表示一点处的应力，故相互平行截面上的应力相同。3）同一点处的应力状态，若所取单元体的方位不同，则所表示的形态并不相同，如图所示均为轴向拉杆A点处的应力状态，但两单元体是等价的。三、主平面、主应力1.主平面(PrincipalPlane)

应力单元体中剪应力为零的平面，称为主平面。2.主单元体(Principalbidy)由主平面构成的单元体。3.主应力主平面上的正应力。主应力的记号分别用表示，且规定按代数值排列。4.主方向：主平面的法向。5.应力状态的普遍情况在任意载荷的作用下，物体内一点处应力状态的普遍情况，最多可能有9个应力分量，即yxz由剪应力互等定理，可知因比，普遍情况下一点处应力状态的独立应力分量是6个。在普通情况下，任一点处的应力状态，必定存在一个由三对相互垂直的主平面所组成的主应力单元体。但在三个主应力中有两个或三个主应力相等的特殊情况下，主平面及主方向便会多余三个。四、应力状态的分类单向应力状态——只有一个主应力不等于零的应力状态。二向应力状态——有两个主应力不等于零的应力状态。三向（空间）应力状态——三个主应力均不等于零的应力状态。

纯剪切应力状态——单元体的各个侧面只有剪应力而无正应力的应力状态。

单向应力状态和二向应力状态均属于平面应力状态。三向应力状态属于空间应力状态。单向应力状态也称简单应力状态，而二向应力状态和三向应力状态称复杂应力状态。

零应力状态应力状态的叠加：其结果不一定属于原有应力状态。§9–2平面应力状态分析的解析法sxtxysyxyzxysxtxysyO等价xysxtxysyO一、任意a斜截面上的应力sasytyxsxtaaxyOtnatxy符号规定sasytyxsxtaaxyOtnatxy正应力——以拉应力为正；剪应力t——以使单元体绕单元体内任意一点有顺时针转动趋势者为正；方向角a——以逆时针为正。二、用解析法求任意a斜截面上的应力1.公式推导：2.任意a斜截面上的应力公式3.正应力极值——主应力3.正应力极值——主应力max的指向是介于仅由单元体剪应力txy=tyx产生的主拉应力指向与单元体正应力x、y中代数值较大的一个正应力指向之间。xxyytxytyxmaxmin

主单元体4.剪正应应力极极值极值剪剪应力力作用用面上上的正正应力力：5.平面应应力状状态分分析的的特征征1）斜截截面应应力、、主应应力及及最大大剪应应力均均是指指xy平面内内的应应力，即即其作作用面面均垂垂宜于于xy平面。。2)任意两两相互互垂直直截面面上的的正应应力之之和为为常量量3）平面面应力力状态态中，，垂直直于该该平面面的主主应力力为零零。故故单元元体三个主主应力力的序序号应应根据据max和min的正负负号而而定，，即4）主平平面上上的剪剪应力力必等等于零零；最最大剪剪应力力作用用面上上的正正应力一般般不等等于零零，且且等于于(x+y)/2。5）主平平面与与最大大剪应应力作作用面面必互互成450。6.用解析析法求求任意意a斜截面面上的的应力力示例例例：分分析受受扭构构件的的破坏坏规律律。TC例：§9––3平面应应力状状态分分析的的图解法法xysxtxysyOsasytyxsxtaaxyOtnatxy1.应力圆圆（StressCircle）对上述述方程程消去去参数数（2），得应力力圆方方程：：此方程程曲线线为圆圆——应力圆圆（或或莫尔尔圆，，由德德国工工程师师：OttoMohr引入））2.应力圆圆的画画法(2)在坐标系系内画画出点点A(x，xy)和B(y，yx)(3)AB与sa轴的交交点C便是圆圆心。。(4)以C为圆心心，以以AC为半径径画圆——应力圆圆；sxtxysyxyOnsataaOsataCA(sx,txy)B(sy,tyx)x2anD(sa,

ta)(1)建立应应力坐坐标系系，如如下图图所示示，（注意意选好好比例例尺））3.单元体体与应应力圆圆的对对应关关系sxtxysyxyOnsataa单元元体体应力力圆圆单元体体某平平面上上的应应力分分量单元体体两平平面间间的夹夹角a单元体体的主主应力力值单元体体的最最大剪剪应力力值应力圆圆某定定点的的坐标标应力圆圆两对对应点点所夹夹的中中心角角2a应力圆圆与sa轴交点点的坐坐标应力圆圆的半半径OsataCA(sx,txy)B(sy,tyx)x2anD(sa,

ta)2a04.在应力力圆上上标出出极值值应力力OCsataA(sx,txy)B(sy,tyx)x2a12a0s1s2s3§9––4梁的主主应力力及其其主应应力迹迹线12345P1P2q一、梁梁内各各点的的主应应力可见：：梁内内任一一点的的两个个非零零主应应力中中，一一个为为拉应应力，，另一一个为为压应应力，，且互互相垂垂直。。主应应力的的方向向沿梁梁高连连续变变化。。梁内各各点的的主应应力21s1s3s33s1s34s1s1s35a0–45°a0stA1A2D2D1COsA2D2D1CA1Ot2a0stD2D1CD1O2a0=––90°sD2A1Ot2a0CD1A2stA2D2D1CA1O二、平平面弯弯曲梁梁内的的主应应力迹迹线：：在梁的的xy平面内内绘出出的表表示各各点主主应力力方向向两组组正交交曲线线，一一组曲曲线表表示主主拉应应力方方向，，另一一组曲曲线表表示主主压应应力方方向，，曲线线上各各点的的主应应力方方向均均与曲曲线相相切。。1.定义：：2.目的：：在工程程中，，为了了更好好地发发挥材材料的的作用用，常常采用用两种种材料料制成成的梁梁。如如钢筋筋混凝凝土梁梁。明明确主主拉应应力方方向，，以便便合理理地布布置钢钢筋。。拉力压力实线表表示拉拉主应应力迹迹线；；虚线表表示压压主应应力迹迹线。。3.主应力力迹线线的画画法：：xy11截面22截面33截面44截面ii截面nn截面bacdq13314.主应力力迹线线特点：：(1)两组曲曲线在在相交交处互相垂垂直；；(2)所有主应力力迹线线都将穿过过中性性层，，且与中性性层成成450；(3)在梁底底（顶顶）处处，主应力力迹线线与底底（顶））平行行或垂垂直；；(4)梁的支支承和和荷载载不同，主主应力力迹线线形式不同同；(5)主应力力迹线线只显显示主应力力的方方向，，不反映大大小。。§9––5空间应应力状状态简简介1、空间间应力力状态态s2s1xyzs32、三向向应力力分析析图a图btmaxs2s1xyzs3(1)弹性理理论证证明，，图a单元体体内任任意一一点任任意截截面上上的应应力都对应应着图图b的应力力圆上上或阴阴影区区内的的一点点。(2)整个单单元体体内的的最大大剪应应力为为：§9––6广义虎虎克定定律1.单拉下下的应应力--应变关关系2.纯剪的的应力力--应变关关系xyzsxxyz

x

y一、广广义胡胡克定定律3.复杂状状态下下的应应力---应变关关系依叠加加原理理,及根据据连续续均匀匀各向向同性性线弹弹性材材料，，正应应力仅仅引起起线应应变，，剪应应力仅仅引起起相应应平面面的剪剪应变变，得得:

xyzszsytxysx广义胡胡克定定律4.主应力力---主应变变关系系s1s3s2主应力力与主主应变变方向一一致5.平面状状态下下的应应力---应变关关系:二、材材料弹弹性常常数E、G、n间的关系对于各向同同性材料，，独立的弹弹性常数为为2个三、体积应应变与应力力分量间的的关系对于各向同同性材料，，线应变仅仅由正应力力引起，又又由于剪应应变不引起起体积改变变。因此，，在线弹性性、微小应应变情况下下，空间应应力状态单单元体的体积应变为为：体应变又称称体积应变变，是指在在应力状态态下单元体体单位体积积的体积改改变。三、体应变变s1s3s2dxdydz1.主单元体：：2.纯剪切平面面应力状态态txyCtyx可见，剪应力的存存在并不影影响该点处处的体应变变。3.一般单元体体

szsytxysx小变形时连连续均质各各向同性线线弹性体内内，一点处处的体应变变，只与过过该点沿三三个相互垂垂直的坐标标轴方向正正应力的代代数和成正正比，而与与坐标方位位和切应力力无关。结论：例已知一受力力构件自由由表面上某某一点处的的两个面内内主应变分分别为：1=24010-6，2=–16010-6，弹性模量量E=210GPa，泊松比为n=0.3，试求该点处处的主应力力及另一主主应变。例图a所示为承受受内压的薄薄壁容器。。为测量容容器所承受受的内压力力值，在容容器表面用用电阻应变变片测得环环向应变，，若若已知容器器平均直径径D=500mm，壁厚=10mm，容器材料的的E=210GPa，n=0.25，试求:1.导出容器横横截面和纵纵截面上的的正应力表表达式；2.计算容器所所受的内压压力。pppxs1smlDxABy§9－7复杂应力状状态下的弹弹性变形能能一、应变能能和比能1.应变能U弹性体由于于外力在外外力作用方方向的位移移上作功而而积蓄在弹弹性体中的能量量。2.比能（应变变比能）u弹性体单位位体积内积积蓄的应变变能。s微元功元比能(1)单向应力状状态下的比比能(2)三向应力状状态下的比比能23

1二、体积改改变比能和和形状改变变比能23

1图am图bmm图c3-m

1-m2-m1.体积改变比比能uV：图b示单元体受受平均应力力作用，其其体积应变变就是该点点处的体积应变，，即与图所所示单元的的体应变相相同；且由由于三个主主应力相等等，变形后后形状与原原来形状相相似，只有有体积的改改变而无形形状的改变变，故全部部比能为体体积改变比比能。1.体积改变比比能uV2.形状改变比比能或歪形能uf：图c所示单元体体体积应变变为零，其其应变比能能就是该点点处的形状状改变比能